利用幾何畫板探究圓內(nèi)外旋輪線的性質(zhì)

趙雪嬌 宗法永 四川民族學(xué)院

現(xiàn)代多媒體教學(xué)技術(shù)的應(yīng)用越來越廣泛，以黑板和粉筆為主的傳統(tǒng)教學(xué)模式也因計算機輔助教學(xué)軟件的運用變得越來越豐富。一個方便學(xué)生觀察、探索、實驗且操作簡單、功能強大、小巧便捷的數(shù)學(xué)軟件——幾何畫板，在幾何教學(xué)中起到很大的輔助作用。幾何畫板把傳統(tǒng)教學(xué)方法與現(xiàn)代教學(xué)輔助軟件結(jié)合起來，動態(tài)地表現(xiàn)相關(guān)對象之間的幾何關(guān)系，能將點的軌跡的形成直觀地展現(xiàn)出來。

點的運動軌跡是解析幾何學(xué)習(xí)中的重點和難點，對于抽象能力較差的學(xué)生，很難從已知條件中發(fā)現(xiàn)點的運動規(guī)律，更難進一步探索點的運動軌跡。解析幾何中“數(shù)”和“形”的運動規(guī)律和內(nèi)在關(guān)系通過幾何畫板的各種功能完美地呈現(xiàn)在屏幕上，讓學(xué)生在點的軌跡的動態(tài)探索中培養(yǎng)抽象思維。本文利用幾何畫板動態(tài)作圖功能，探究不同半徑比值下圓內(nèi)外旋輪線的性質(zhì)。

1 圓內(nèi)外旋輪線的動態(tài)作圖

（1）圓內(nèi)旋輪線作法：

1）利用<數(shù)據(jù)/新建參數(shù)>選項，建立參數(shù)R=3.60厘米；r=1.20厘米；

2）利用<數(shù)據(jù)/計算>選項，計算R-r的值，將標(biāo)簽修改為c；

4）任取一點O，以點O為圓心，R，c為半徑作同心圓c1，c2；

5）在圓c2上構(gòu)造點A，以點A為圓心，r為半徑作圓c3（此時圓c3外切于圓c1）；

6）在圓c3上構(gòu)造點P，選中點P、點A，利用<編輯/操作類按鈕/動畫>，構(gòu)造動畫按鈕，在彈出的操作類按鈕動畫點對話框中修改動畫，點A以慢速逆時針方向環(huán)繞圓2，點P以慢速順時針方向環(huán)繞圓3，點擊確定；

7）選中點P，單擊<顯示/追蹤點>；

8）隱藏圓c2；

9）點擊動畫點按鈕，得到圖1。

圖1 R=3r時的圓內(nèi)旋輪線

圖2 R=3r時的圓外旋輪線

（2）圓外旋輪線作法：

1）利用<數(shù)據(jù)/新建參數(shù)>選項，建立參數(shù)R=2.40厘米；r=0.80厘米；

2）利用<數(shù)據(jù)/計算>，計算R+r的值，將標(biāo)簽修改為b；

4）任取一點O，以點O為圓心，R，b為半徑作同心圓c1，c2；

5）在圓c2上構(gòu)造點A，以點A為圓心，r為半徑作圓c3（此時圓c3外切于圓c1）；

6）在圓c3上構(gòu)造點P，選中點P和點A，利用<編輯/操作類按鈕/動畫>，構(gòu)造動畫按鈕，在彈出的操作類按鈕動畫點對話框中修改動畫，點A以慢速逆時針方向環(huán)繞圓2，使點P以慢速逆時針方向環(huán)繞圓3，點擊確定；

7）選中點P，單擊<顯示/追蹤點>；

8）隱藏圓c2；

9）點擊動畫點按鈕，得到圖2。

2 圓內(nèi)外輪線性質(zhì)的探究

修改定圓半徑和動圓半徑時，圓內(nèi)（外）旋輪線的分支數(shù)及動點的返回位置有所不同。

圖3 R=r時的圓外旋輪線

圖4 R=2r時的圓內(nèi)旋輪線

圖5 R=2r時的圓外旋輪線

圖6時的圓內(nèi)旋輪線

（4）m為無理數(shù)時，外旋輪線有無窮多個分支，動點運動后不返回起始點（如圖8）；

圖7時的圓外旋輪線

圖8時的圓外旋輪線

繼續(xù)探索不同大圓半徑R和小圓半徑r的比值，可得如下結(jié)論：

（2）當(dāng) 時，圓內(nèi)旋輪線為定圓半徑；圓外旋輪線有2個分支，每個分支和定圓交點與圓心O所成的夾角為180.°，動點P動點運動2圈后返回起始點；

金大定九年，王重陽云游至掖縣，掖縣武官人劉長生聞訊前來迎接。早在此年春，劉長生就在鄰家墻壁間，人所不及的隱秘處，看到二頌，其中寫道：“武官養(yǎng)性真仙地，須有長生不死人?！贝笞止P力雄勁，墨跡尚新。劉長生看后，心下頗感奇怪。此時與王重陽師徒相遇。重陽祖師相顧而笑，問道：“壁間墨痕，汝知之乎？”劉長生這才恍然大悟。于是提出拜師請求，重陽祖師仍取壁間語意，以長生為之號，處玄為之諱，通妙為之字。時劉長生年21歲，至此，邱、譚、馬、劉四大士始得相聚 。

至此世稱為“全真七子”的王重陽的七個弟子全部聚齊。

金世宗大定十年，王重陽去逝，享年58歲。馬鈺等將師父靈柩送回終南山，葬于劉蔣村茅庵，守墓三年乃去。全真七子四方傳道，并且各立支派，即：馬鈺遇仙派、丘處機龍門派、譚處端南無派、劉處玄隨山派、郝大通華山派、王處一全真派、孫不二清靜派。其中，又以丘處機及其龍門派影響最大。雖各創(chuàng)一派，但宗教思想和修煉方式大致相似，在他們的努力下使王重陽開創(chuàng)的全真道盛極一時。

全真道中所謂“全真”，就是全其本真，就是保全作為人性命之根本的精氣神三要素，使其不受染污。人的真心真性本來清靜無染，但世人皆被后天的物欲所迷惑，不能識得自心本性，因而流轉(zhuǎn)生死苦海，不得解脫。修行者若能在心地上做功夫，澄心靜慮，一念回光，識得自身真性，保持不亂，便可證得無形無相的法身，使精神超越生死之外。