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    一類廣義部分Kloosterman 和的上界估計

    2018-10-17 11:24:58胡雙年刁天博尹秋雨牛玉俊吳宏鍔
    關(guān)鍵詞:和式上界正整數(shù)

    胡雙年,刁天博,尹秋雨,牛玉俊, 吳宏鍔

    (1.南陽理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,河南 南陽 473004;2.鄭州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,河南 鄭州 450001;3.四川大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610064)

    經(jīng)典Kloosterman 和是指下述形式的指數(shù)和:

    Kloosterman和的研究在數(shù)論中有著重要的意義。近年來,人們通過對Kloosterman和更加精細(xì)的估計,在許多領(lǐng)域取得了重要成果。 如Duke,Friedlander和Iwaniec在文獻(xiàn)[9]中得到了著名結(jié)果:設(shè)f(x)=ax2+2bx+c∈Z[x],且D=ac-b2>0。則對任意給定h≠0,有

    所謂部分Kloosterman和,是指如下形式的和式:

    其中a,b為整數(shù),m為正整數(shù),gcd(a,m)=1,M,N是正整數(shù),N≤m。x限制在與m互素的整數(shù)上取值,x*為不超過m的正整數(shù),且xx*≡1 (modm)。若該和式是空和(即求和區(qū)間內(nèi)沒有元素),則我們規(guī)定該和等于0。對于部分Kloosterman和, 數(shù)學(xué)家們也做了許多研究[12-14]。同時,除了對經(jīng)典部分Kloosterman和進(jìn)行研究以外,數(shù)學(xué)家們還對其進(jìn)行了推廣,定義了一些新的和式。如部分雙線性 Kloosterman和:

    其中M1,M2,N1,N2,m為正整數(shù),a為整數(shù)。

    2014年Bourgain和Garaev[16]通過研究同余方程的解的個數(shù),給出了一類部分Kloosterman和的上界估計。本文利用文獻(xiàn)[17]中得到的一類同余方程解數(shù)的上界,給出一類新的部分多重線性Kloosterman和的估計,這推廣了文獻(xiàn)[16]中的部分結(jié)果。

    定理1設(shè)n,k1,k2為正整數(shù),n≥2,N為不超過m的正整數(shù),Ki(i=1,…,n)為大正整數(shù),并且對任意1≤j≤n-1,有2Kj

    1 預(yù)備知識

    本節(jié)主要給出幾個證明定理1時所需要的引理。

    引理1[17]設(shè)n,k為正整數(shù),且n≤2。對任意i=1,…,n,Ki為大正整數(shù),并且對任意 1≤j≤n-1,有2Kj

    引理2[16]設(shè)k為任意正整數(shù)。N為不超過m的正整數(shù),I=[1,N]。設(shè)J2k(N)表示同余方程

    滿足xi∈I∩P的解的個數(shù),其中1≤i≤n。則有

    特別地,在H?lder不等式中取p=q=2,即得著名的Cauchy-Schuwarz不等式:

    引理4對于任意復(fù)數(shù)z, 均存在一個依賴于z的常數(shù)ζz,使得|z|=ζzz,且|ζz|=1。

    證明由復(fù)數(shù)的指數(shù)表示知,對任意復(fù)數(shù)z, 均有z=|z|eiθ。令ζz=e-iθ即得|z|=ζzz,且顯然有|ζz|=1。

    引理5對任意a∈Z, 有

    證明注意到em(a)=1當(dāng)且僅當(dāng)m|a。因此利用等比數(shù)列求和公式,直接計算即得結(jié)論。

    2 定理1的證明

    在這一節(jié)中,我們證明定理1。記定理1中不等式左邊絕對值中的和式為S1,即

    我們分兩種情形討論。

    情形1k2=1。此時由三角不等式,有

    情形2k2>1。此時由引理3(H?lder不等式)得

    因此無論哪種情形,均有

    (1)

    由引理4知,存在一個依賴于q的復(fù)數(shù)|ζq|=1,使得

    將上式代入式(1),有

    |S1|k2≤

    (2)

    令集合

    S:={x:x=p(1)p(2)…p(n),p(j)∈Ij∩P},

    其中Ij為引理1中定義的整數(shù)區(qū)間。對于任意整數(shù)λ, 0≤λ≤m-1,令Jk(λ)表示同余方程

    滿足xi∈S的解的集合。

    對式(2)兩邊再次使用H?lder不等式(或者三角不等式)得

    (3)

    由Cauchy-Schwarz不等式可得

    |S1|2k1k2≤

    (4)

    注意到

    其中ζqi為依賴于qi的復(fù)數(shù),且|ζqi|=1。因此

    (5)

    其中最后一個等式我們利用了引理5。將式(2), (5)代入(4),即有

    |S1|2k1k2≤

    由引理1和引理2,可得

    |S1|2k1k2≤

    (6)

    注意k1,k2為正整數(shù),故2k1+2k2-2≤2k1k2。從而在式(6)兩邊開2k1k2次方即得定理1。

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