函子范疇的incidence代數(shù)的兩個例子

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(1. 福建師范大學協(xié)和學院 信息技術(shù)系, 福建 福州 350117; 2. 福建工程學院 數(shù)理學院, 福建 福州 350118)

在范疇理論中,函子是用來研究范疇之間的對應關(guān)系,以兩個范疇間的函子為對象,函子間的自然變換為態(tài)射的范疇稱為函子范疇。許多常見的范疇是函子范疇，如常見的G-集范疇是函子范疇[1],而且任意給定范疇可嵌入一個函子范疇。偏序集是聯(lián)系代數(shù)、拓撲、邏輯等眾多分支的一類重要數(shù)學對象,偏序集在表示論發(fā)展中占據(jù)重要地位[2]。incidence 代數(shù)是定義在有限偏序集上的一類代數(shù)，多年來, incidence代數(shù)一直是代數(shù)學研究領(lǐng)域的熱點之一[3]。 本文探討箭圖誘導的incident代數(shù), 得到關(guān)于incident代數(shù)維數(shù)的一個結(jié)果與一個猜想。

1 預備知識

為引用方便,對重要的相關(guān)定義作簡要的回顧。

定義1 設(shè)C是一個小范疇,D是范疇,定義范疇DC(稱之為函子范疇):objDC={T|T:C→D為共變函子}，HomDC(T,T′)={τ:T→T′為自然變換}，合成是自然變換的合成。

定理1[4]設(shè)k是有單位元1的交換環(huán),范疇C為小范疇,若范疇D是k上小范疇，則函子范疇DC仍為k上小范疇。

2 兩個例子

例1 設(shè)k是有單位元1的交換環(huán),

圖1 Kronecker箭圖與A2箭圖誘導的incidence代數(shù)

證明：箭圖Q1可視為范疇Γ1:obj:a,b,α,β, mor:Hom(a,b)=<α>,Hom(b,a)=<β>,Hom(a,a)=,Hom(b,b)=。

箭圖Q2可視為范疇Γ2:obj:1,2,mor:Hom(1,1)=,Hom(2,2)=,Hom(1,2)=。

顯然,Γ1,Γ2都是k上小范疇。根據(jù)定理1,Γ1Γ2也是k上小范疇:obj:F1,F2,F3,F4,mor:Hom(F1,F1)=,Hom(F2,F2)=,Hom(F3,F3)=,Hom(F4,F4)=,Hom(F1,F2)=,Hom(F2,F1)=,Hom(F3,F1)=,Hom(F4,F2)=,Hom(F3,F4)=,Hom(F2,F1)=。 具體地, 有：

obj:F1:Γ2→Γ1:F1(1)=a,F1(2)=b,F1(l)=α,F1(e1)=ea,F1(e2)=eb,F2:Γ2→Γ1:F2(1)=b,F2(2)=a,F2(l)=β,F2(e1)=eb,F2(e2)=ea,F3:Γ2→Γ1:F3(1)=a,F3(2)=a,F3(l)=ea,F3(e1)=ea,F3(e2)=eb,F4:Γ2→Γ1:F4(1)=b,F4(2)=b,F4(l)=eb,F4(e1)=ea,F4(e2)=eb。

mor:eF1:F1→F1,eF2:F2→F2,eF3:F3→F3,eF4:F4→F4,γ=(γ1,γ2):F1→F2,δ=(δ1,δ2):F2→F1,ε=(ε1,ε2):F3→F1,η=(η1,η2):F4→F2,σ=(σ1,σ2):F3→F4,τ=(τ1,τ2):F4→F3滿足函子交換圖(圖2)如下。

圖2模γ,δ,ε,η,σ,τ的函子交換圖

Fig.2Functorexchangegraphofmorγ,δ,ε,η,σ,τ

kΓ1Γ2=keF1+keF2+keF3+keF4+kγ+kδ+kε+kη+kσ+kτ,故Γ1Γ2(圖3)同構(gòu)于Γ誘導的10維代數(shù)的模范疇,其中γδ=0,δγ=0,ητ=0,τη=0,γε=0,ετ=0,ησ=0,δη=0。

圖3 Γ1Γ2范疇中對象關(guān)系圖

例 2 設(shè)k是有單位元1的交換環(huán),

kQ1=kea+keb+kα+kβ,kQ3=ke1+ke2+ke3+kl+km+k(ml),記Γ1=kQ1-mod,Γ3=kQ3-mod, 那么Γ1Γ3是k上小范疇,且同構(gòu)于箭圖Q′(圖4)誘導的24維代數(shù)的模范疇, 其中,αβ=0,βα=0,γδ=0,δγ=0,εη=0,ηε=0,θη=0,δθ=0,μδ=0,βμ=0,λε=0，γλ=0，νγ=0，αν=0, 且με1=α,νη1=β,θε2=γ,λη2=δ,ε2λ=η,σε2=μ,τη2=ν。

證明：類似例1,箭圖Q3可視為范疇Γ3:obj:1,2,3,m,l,ml,mor:Hom(1,1)=,Hom(2,2)=,Hom(3,3)=,Hom(1,2)=,Hom(2,3)=,Hom(1,3)=。

與例1同理可得Γ1Γ3也是k上小范疇:obj:F1,F2,F3,F4,F5,F6。

圖4 Kronecker箭圖與A3箭圖誘導的incidence代數(shù)

mor:Hom(F1,F1)=,Hom(F2,F2)=,Hom(F3,F3)=,Hom(F4,F4)=,Hom(F5,F5)=,Hom(F6,F6)=,Hom(F1,F2)=,Hom(F1,F3)=,Hom(F1,F4)=,Hom(F2,F1)=,Hom(F2,F5)=,Hom(F2,F6)=,Hom(F3,F2)=,Hom(F3,F4)=,Hom(F3,F6)=,Hom(F4,F2)=,Hom(F4,F5)=,Hom(F4,F6)=,Hom(F5,F1)=,Hom(F5,F3)=,Hom(F5,F4)=,Hom(F6,F1)=,Hom(F6,F3)=,Hom(F6,F5)=。

具體地,有：

obj:F1:Γ3→Γ1:F1(1)=a,F1(2)=a,F1(3)=a,F1(l)=ea,F1(m)=ea,F1(ml)=ea,F1(e1)=ea,F1(e2)=ea,F1(e3)=ea;F2:Γ3→Γ1:F2(1)=b,F2(2)=b,F2(3)=b,F2(l)=eb,F2(m)=eb,F2(ml)=eb,F2(e1)=eb,F2(e2)=eb,F2(e3)=eb;F3:Γ3→Γ1:F3(1)=a,F3(2)=a,F3(3)=b,F3(l)=ea,F3(m)=α,F3(ml)=α,F3(e1)=ea,F3(e2)=ea,F3(e3)=eb;F4:Γ3→Γ1:F4(1)=a,F4(2)=b,F4(3)=b,F4(l)=α,F4(m)=eb,F4(ml)=α,F4(e1)=ea,F4(e2)=eb,F4(e3)=eb;F5:Γ3→Γ1:F5(1)=b,F5(2)=a,F5(3)=a,F5(l)=β,F5(m)=ea,F5(ml)=β,F5(e1)=eb,F5(e2)=ea,F5(e3)=ea;F6:Γ3→Γ1:F6(1)=b,F6(2)=b,F6(3)=a,F6(l)=eb,F6(m)=β,F6(ml)=β,F6(e1)=eb,F6(e2)=eb,F6(e3)=ea。

mor:F11:F1→F1,F22:F2→F2,F33:F3→F3,F44:F4→F4,F55:F5→F5,F66:F6→F6,F12:F1→F2,F13:F1→F3,F14:F1→F4,F21:F2→F1,F25:F2→F5,F26:F2→F6,F32:F3→F2,F34:F3→F4,F36:F3→F6,F42:F4→F2,F45:F4→F5,F46:F4→F6,F51:F5→F1,F53:F5→F3,F54:F5→F4,F61:F6→F1,F63:F6→F3,F65:F6→F5滿足函子交換圖(圖5)如下。

Fig.5FunctorexchangegraphofmorFij:Fi→Fj(i=1,…6,)

圖6 Γ1Γ3中對象關(guān)系圖

故Γ1Γ3(圖6)同構(gòu)于Q′誘導的24維代數(shù)的模范疇。其中,αβ=0,βα=0,γδ=0,δγ=0,εη=0,ηε=0,θη=0,δθ=0,μδ=0,βμ=0,λε=0，γλ=0，νγ=0，αν=0。

注1: 若P1,P2均為有限偏序k-范疇,記由范疇P1,P2,函子范疇P1P2誘導的 incidence 代數(shù)分別為A、B、C,P1,P2的點數(shù)分別記為|P1|,|P2|。

根據(jù)例1得到:dimkC=dimkA×|P2|+|P1|×(dimkB-|P2|),而根據(jù)例2有:

dimkC=24≠dimkA×|P2|+|P1|×(dimkB-|P2|)=4×3+2×(6-3)=18。

注2: 設(shè)Q1=A2箭圖,Q2=An箭圖,令A=kQ1,B=kQ2,C=k(Q1Q2),則有:

dimkC=dimkA×|P1|+|P1|×(dimkB+1-|P2|)。由此,我們大膽猜想以上結(jié)論對其它情況可能也成立,有待進一步考究證明。