矩陣方程組異類約束解的MCG1-3-5算法

(福建工程學(xué)院 應(yīng)用技術(shù)學(xué)院，福建 福州 350001)

矩陣方程特殊解的計算在電學(xué)、結(jié)構(gòu)動力學(xué)、振動理論、自動控制理論等領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用。由于涉及的數(shù)據(jù)不夠完整或需要對已有數(shù)據(jù)進(jìn)行修正，許多問題最后都?xì)w結(jié)或轉(zhuǎn)化為求矩陣方程(組)的約束解問題。盛興平、袁飛、鄭鳳芹、張騫和Dehghan等建立了求單變量和雙變量矩陣方程(組)同類約束解的迭代算法[1-6]，武見、解培月、李書連和劉曉敏等建立了求雙變量和多變量矩陣方程(組)異類約束解的迭代算法[7-10]。但在求解矩陣方程組的異類約束對稱解、中心對稱解、自反解領(lǐng)域研究較少，本文以3個未知矩陣方程組為例，參考文獻(xiàn)[7-10]，建立求其異類約束解的迭代算法。

1 問題的提出

本文討論矩陣方程組

(1)

的下列問題：

問題Ⅰ 給定Ai,Ci,Ei,Bi,Di,Fi,Gi∈Rn×n(i=1,2)，求X∈Ω1,Y∈Ω3,Z∈Ω5,使得

1.1 求解問題Ⅰ的迭代算法

引進(jìn)記號：gi(X,Y,Z)=AiXBi+CiYDi+EiZFi(i=1,2)

Ri=Gi-(AiXBi+CiYDi+EiZFi) (i=1,2)

其中，P∈Rn×n,PT=P,P2=I

修正共軛梯度算法(MCG1-3-5算法)

第1步 選取初始矩陣(X,Y,Z)∈Ω1-3-5,置k:=1，計算

第2步 若Rk=O或Rk≠O而Qk=O，停止，否則計算

第3步 置k=k+1，轉(zhuǎn)第2步。

下面討論MCG1-3-5算法的基本性質(zhì)，證明MCG1-3-5算法在有限步計算后停止。

性質(zhì)1 MCG1-3-5算法中的殘量矩陣Ri以及任意X,Y,Z滿足

證明 由矩陣的跡運(yùn)算性質(zhì)可知

證明 由于Qi∈Ω1-3-5，運(yùn)用矩陣跡的性質(zhì)可得

證明 由MCG1-3-5算法知

性質(zhì)4 設(shè)k≥2，對MCG1-3-5算法中的矩陣Ri和Qi，有

(i≠j,i,j=1,2,3,…,k)

(2)

利用性質(zhì)1和性質(zhì)2可得

假設(shè)k=s(s≥2)時,(2)式成立，則當(dāng)k=s+1(s≥2)時，有

所以當(dāng)k=s+1時，(2)式也成立。由歸納法原理可得1≤j

性質(zhì)5 設(shè)(X,Y,Z)是問題Ⅰ的任意一組解，則由MCG1-3-5算法得到的矩陣X(k),Y(k),Z(k),Qk及Rk滿足

(3)

證明 當(dāng)k=1時，由

假設(shè)，當(dāng)k=i(i≥2)時，(3)式成立，則當(dāng)k=i+1時，由

由數(shù)學(xué)歸納法原理，可得性質(zhì)5成立。

推論1 設(shè)問題Ⅰ相容，則由MCG1-3-5算法得到的矩陣序列中，如果Ri≠O，那么Qi≠O(i=1,2,3,…)。

定理1 設(shè)問題Ⅰ相容，對任意的初始矩陣(X(1),Y(1),Z(1))∈Ω1-3-5，MCG1-3-5算法可在有限步計算后得到問題Ⅰ的一組解，即矩陣方程組(1)的一組約束1-3-5解。

引理1[11](25-27)設(shè)A∈Rm×n,b∈Rm，若線性方程組Ax=b有解，則Ax=b的極小范數(shù)解唯一，且極小范數(shù)解在R(AT)中，而在R(AT)中只有Ax=b的一個解。

定理3 設(shè)問題Ⅰ相容，對任意的H1,H2∈Rn×n，選取初始矩陣為

(4)

則MCG1-3-5算法可在有限步計算后得到問題Ⅰ的唯一極小范數(shù)解，即矩陣方程組(1)的唯一極小范數(shù)約束1-3-5解。

1.2 問題Ⅱ的解

當(dāng)問題Ⅰ相容時，其解集合SE非空，取(X,Y,Z)∈SE,由對稱矩陣與反對稱矩陣的正交性知

令

則求解問題Ⅱ等價于求矩陣方程組

(5)

(6)

2 數(shù)值算例

在結(jié)構(gòu)動力模型修正的問題中，需要求三矩陣變量的矩陣方程組的約束解及其最佳逼近問題，方程組如下

(7)

用本文建立的MCG1-3-5算法求矩陣方程組(7)的一組約束1-3-5解和極小范數(shù)約束1-3-5解，并在SE中求給定矩陣X(0),Y(0),Z(0)∈Rn×n的最佳逼近矩陣，其中

B2=-C1,C2=B1,X0=(xij)4n×4n,

X1=2(xij)4n×4n,xij=1，ε=10-10(終止準(zhǔn)則)

W1=X0A1+X0B1+X0C1,

W2=X1A2+X1B2+X1C2

表1 約束1-3-5解的計算結(jié)果

2)在式(4)中,取H1=(aij)4n×4n,H2=2H1,aij=1，選取初始約束1-3-5矩陣，按照MCG1-3-5算法，可求得矩陣方程組(7)的極小范數(shù)約束1-3-5解，計算時間(s)、迭代次數(shù)、實際誤差及解矩陣的范數(shù)結(jié)果如表2。

表2 極小范數(shù)約束1-3-5解的計算結(jié)果

表3 給定矩陣的最佳逼近矩陣的計算結(jié)果

3 結(jié)論

建立的求3個未知矩陣的矩陣方程組異類約束解的迭代算法MCG1-3-5，是對求線性矩陣方程組同類約束解的迭代算法的拓展，該算法可以判斷矩陣方程組的異類約束解是否存在，而且具備有限步收斂性。數(shù)值算例表明，該算法是可行的。通過增加矩陣方程組中矩陣變量的個數(shù)和方程的個數(shù)，采用類似的方法，可以建立求其他矩陣方程組的異類約束解的迭代算法。