基于HPM的《三角學(xué)序言課》教學(xué)設(shè)計(jì)*

張海強(qiáng)

(江蘇省宜興中學(xué) 214200)

2.本文是江蘇省教育科學(xué)規(guī)劃“十二五”立項(xiàng)課題《MKT視角下的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)研究》(編號：D/2015/02/363，主持：張海強(qiáng)、劉國祥)的研究成果之一.

1 引言

2017年10月26日，由華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院、宜興市教師發(fā)展中心、宜興市張海強(qiáng)高中數(shù)學(xué)名師工作室聯(lián)合舉辦大型公開教學(xué)活動，筆者開設(shè)《三角學(xué)序言課》，學(xué)生來自于江蘇省宜興中學(xué)高一精一班，知識面廣，反應(yīng)敏捷.本課是三角學(xué)序言課，內(nèi)容包括三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換和解三角形，等.

2 序言課和HPM

2.1 關(guān)于序言課

序言課的教學(xué)是為了促進(jìn)新知識的學(xué)習(xí)，具有先行組織者的作用.序言課的設(shè)計(jì)追求大立意、高境界，旨在勾勒特定內(nèi)容的研究藍(lán)圖，引發(fā)學(xué)生的思考，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.因此，序言課的設(shè)計(jì)宜重“虛”而不重“實(shí)”，重“廓”而不重“具”.

序言課的設(shè)計(jì)不宜設(shè)定一個(gè)通用的模式，應(yīng)視具體內(nèi)容而定.但序言課應(yīng)按一定的線索來設(shè)計(jì)，如知識發(fā)展的線索、研究思想的線索、重要人物的線索、知識應(yīng)用的線索等.序言課大致可分為三類：知識層面的序言課、方法層面的序言課和文化層面的序言課.

序言課要注重回答以下幾個(gè)問題：(1)為什么要學(xué)習(xí)這個(gè)內(nèi)容？它的學(xué)習(xí)價(jià)值是什么？(包括人文的、思想的、邏輯的等方面)(2)這個(gè)內(nèi)容是什么？(包括它的歷史變遷、發(fā)展過程、研究思想和方法等方面)(3)如何學(xué)好這個(gè)內(nèi)容？(主要是學(xué)法指導(dǎo))

2.2 關(guān)于HPM

HPM是History&Pedagogy of Mathematics的簡稱，即數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育.在過去的四十余年間，HPM領(lǐng)域的研究工作涉及五個(gè)方面：

·關(guān)于“為何”和“如何”的探討；

·教育取向的數(shù)學(xué)史研究；

·數(shù)學(xué)理解的歷史相似性實(shí)證研究；

·數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐；

·HPM與數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展.

其中數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐的方式主要有三種：一是提供直接的歷史信息；二是借鑒歷史進(jìn)行教學(xué)；三是開發(fā)對數(shù)學(xué)及其生活文化背景的深刻覺悟.其中第二種方式就是發(fā)生教學(xué)法，即通常所說的HPM視角下數(shù)學(xué)教學(xué)的主要內(nèi)容.

本教學(xué)設(shè)計(jì)定位于文化層面的序言課，它將從HPM的視角，以時(shí)間為軸線，選擇三角學(xué)發(fā)展過程中的重大事件和關(guān)鍵人物為節(jié)點(diǎn)，用故事的形式展示三角學(xué)發(fā)展的歷史畫卷，以高度凝練的語言揭示三角學(xué)研究的目的、內(nèi)容和方法.

3 基于HPM的序言課案例設(shè)計(jì)

案例1引言

出示兩件文物：一件是大英博物館永久館藏——萊因德紙草書(古埃及)，其中第56-60題均與金字塔的計(jì)算有關(guān)；另一件是哥倫比亞大學(xué)珍藏的“普林頓322”號泥版(古巴比倫)，其中涉及大量的勾股數(shù)，它表明巴比倫人比畢達(dá)哥拉斯早一千年知曉了畢達(dá)哥拉斯定理.

設(shè)計(jì)理由：三角學(xué)起源于古埃及和古巴比倫，選擇兩件重要且具有代表性的文物作為本節(jié)課的引言，引出課題：三角學(xué)的緣起、內(nèi)容與方法.

案例2詞源考證

三角學(xué)的英文單詞trigonometry，來源于希臘文字trigonon和metron，前者相當(dāng)于英文單詞triangle，意思為三角形，后者相當(dāng)于英文單詞measure，意思為度量、測量.

早期的三角學(xué)是天文學(xué)的一部分，天文學(xué)家只是關(guān)注“量天的學(xué)問”，不關(guān)注“量地的學(xué)問”，因此，早期三角學(xué)的內(nèi)容主要是球面三角學(xué).

設(shè)計(jì)理由：從三角學(xué)的詞源考證入手揭示了早期三角學(xué)的內(nèi)容，從三角學(xué)與天文學(xué)的關(guān)系闡釋了早期三角學(xué)的工具性.

案例3正弦函數(shù)的演進(jìn)

在“量天”的計(jì)算過程中有一個(gè)核心技術(shù)，即在圓中，求已知弧長所對弦的長度.這涉及正弦函數(shù)的定義.希臘數(shù)學(xué)家希帕普斯(Hipparchus)認(rèn)為正弦是圓弧所對弦的弦長；印度數(shù)學(xué)家阿耶波多(Aryabhata)認(rèn)為正弦是圓弧所對弦的半弦長;奧地利數(shù)學(xué)家雷蒂庫斯(Rheticus)認(rèn)為正弦是比值，他最先給出角的正弦概念，把原來弧的正弦改成了銳角的正弦.

設(shè)計(jì)意圖:正弦函數(shù)概念的變遷反映了三角函數(shù)的歷史發(fā)展.“正弦是比值”這一定義與學(xué)生初中學(xué)習(xí)的正弦函數(shù)定義相吻合，與學(xué)生的已有知識掛鉤，在學(xué)生的心里產(chǎn)生強(qiáng)烈的共鳴.

案例4弦表的編制

在缺乏現(xiàn)代計(jì)算工具的古代，如何才能快速求出已知弧所對弦的弦長呢？

古人采用編制弦表的方式來達(dá)到快速計(jì)算的目的.

(1)托勒密(Ptolemy)

那么他是如何做到的呢？其中重要的工具之一就是著名的Ptolemy定理：圓內(nèi)接凸四邊形ABCD中，AC·BD=AB·CD+AD·BC.

問題1：在圖1中，你能利用托勒密定理得出哪些三角公式？

(注：可以得出sin2α+cos2α=1；

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ；

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.)

圖1

(2)僧一行

一行，本名張遂，中國唐代著名的天文學(xué)家和佛學(xué)家.他主張?jiān)趯?shí)測的基礎(chǔ)上編訂歷法，編制了《大衍歷》.設(shè)計(jì)制造了“水運(yùn)渾天儀”，提供了相當(dāng)精確的地球子午線一度弧的長度.

他在《大衍歷》“步晷漏術(shù)”中建立了從0°到80°的每度影長與太陽天頂距之間的對應(yīng)數(shù)表，其本質(zhì)即為正切函數(shù)表，堪稱數(shù)學(xué)史上最早的正切函數(shù)表.

(3)阿布?韋發(fā)

阿布?韋發(fā)是三角學(xué)歷史上最早使用所有六個(gè)三角函數(shù)、并系統(tǒng)研究它們之間關(guān)系的數(shù)學(xué)家.

問題2：在圖2中，你能發(fā)現(xiàn)哪些三角函數(shù)關(guān)系?

圖2

(注：tanα:1=sinα:cosα；cotα:1=cosα:sinα；

tanα:1=1:cotα；sin2α+cos2α=1；

需要指出的是：阿布?韋發(fā)所生活的時(shí)代，三角函數(shù)并不是用比率，而是用線段來表示的，同角三角函數(shù)關(guān)系則往往以比例的形式出現(xiàn).)

阿布?韋發(fā)為編制精確的弦表，幾乎演繹出了所有的三角公式.但三角學(xué)僅局限于銳角，而且每個(gè)三角公式均脫胎于幾何證明.這正是我們將要學(xué)習(xí)的“三角恒等變換”的主要內(nèi)容.

設(shè)計(jì)理由：編制弦表是三角學(xué)作為計(jì)算工具的重要工作，在編制弦表的過程中演繹出了豐富的三角公式，這些公式僅局限于銳角，均脫胎于幾何證明.這一教學(xué)環(huán)節(jié)有利于學(xué)生認(rèn)識、理解和記憶三角公式，也為三角恒等變換的教學(xué)提供了全新的視角.

案例5承前啟后的韋達(dá)

韋達(dá)是三角公式的集大成者，他總結(jié)了前人的三角學(xué)研究成果，并補(bǔ)充了自己發(fā)現(xiàn)的新公式，系統(tǒng)論述了平面三角與球面三角，采用完整的代數(shù)公式解決斜三角形和球面直角三角形問題，首次給出余弦定理的現(xiàn)代表達(dá)形式.這即是我們將要學(xué)習(xí)的“解三角形”的主要內(nèi)容.

韋達(dá)被稱為代數(shù)學(xué)之父，他承前啟后，在數(shù)學(xué)符號語言方面有獨(dú)到的表現(xiàn).他首次將代數(shù)變換的方法引入三角學(xué)，為解析三角學(xué)的出場準(zhǔn)備了必要的布景.

韋達(dá)還是第一個(gè)將代數(shù)方法系統(tǒng)應(yīng)用到三角學(xué)中的數(shù)學(xué)家，韋達(dá)就像是一個(gè)守門人，他轉(zhuǎn)變了三角學(xué)這道門，從此三角學(xué)不僅通向幾何，而且通向代數(shù).

韋達(dá)是初中學(xué)生熟悉的、為數(shù)不多的數(shù)學(xué)家之一，把韋達(dá)作為三角學(xué)的關(guān)鍵人物，可以使學(xué)生產(chǎn)生“他鄉(xiāng)遇故知”的感覺!

案例6三角學(xué)的近現(xiàn)代發(fā)展

從日常生活的力學(xué)世界中選擇四幅圖片:彈簧振子、鐘擺、大提琴、摩天輪.

問題3：你能從中發(fā)現(xiàn)什么內(nèi)在聯(lián)系？你準(zhǔn)備用什么模型來刻畫它？

(通過動畫分別展示鐘擺和摩天輪隨時(shí)間運(yùn)動的圖象(正弦型圖象))

于是歐拉來了！

在4000年的歷史發(fā)展中，三角學(xué)的研究對象本質(zhì)上是圓，歐拉首次用單位圓中的有向線段表示三角函數(shù)，故三角函數(shù)又稱圓函數(shù).

三角函數(shù)是勻速圓周運(yùn)動的本質(zhì)體現(xiàn)，研究圓周運(yùn)動，最重要的是研究圓周上一點(diǎn)(x,y)與角θ的函數(shù)關(guān)系.歐拉使三角學(xué)成為一門獨(dú)立的學(xué)科.

三角學(xué)從強(qiáng)調(diào)計(jì)算轉(zhuǎn)變到強(qiáng)調(diào)函數(shù)方法,函數(shù)方法成為研究三角學(xué)最有力的工具,三角函數(shù)則是刻畫“周期現(xiàn)象”最理想的數(shù)學(xué)模型.

值得一提的是，歐拉的著述浩瀚，不僅包含科學(xué)創(chuàng)見，而且富有科學(xué)思想，他給后人留下了極其豐富的科學(xué)遺產(chǎn)和為科學(xué)現(xiàn)身的精神.歷史學(xué)家把歐拉同阿基米德、牛頓、高斯并列為數(shù)學(xué)史上的“四杰”.如今，在數(shù)學(xué)的許多分支中經(jīng)常可以看到以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定理.

歐拉是所有中國數(shù)學(xué)家和中國人的導(dǎo)師.這首先是因?yàn)槊恳粋€(gè)進(jìn)入學(xué)校接受教育的人，都要學(xué)習(xí)他所創(chuàng)造的數(shù)學(xué)知識；這更是因?yàn)椋强嚯y而光輝的一生給后世無限的啟迪，教導(dǎo)人們?nèi)绾巫鋈?，如何做學(xué)問，如何生存.

設(shè)計(jì)理由：18世紀(jì)以后，三角函數(shù)與振動、波動現(xiàn)象的關(guān)系成為人們關(guān)注的焦點(diǎn).突出三角函數(shù)與振動、波動的聯(lián)系要抓住三角函數(shù)的本質(zhì).三角函數(shù)就是勻速圓周運(yùn)動的本質(zhì)表現(xiàn)，因此三角函數(shù)也稱圓函數(shù).這就確定了單位圓在三角函數(shù)研究中的工具地位.而研究圓周運(yùn)動最重要的是研究圓周上一點(diǎn)(x，y)與角θ的函數(shù)關(guān)系，這就指出了三角函數(shù)研究的研究內(nèi)容和研究方法.

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)日常生活中比比皆是的周期現(xiàn)象，并提出問題：如何用數(shù)學(xué)模型來刻畫周期現(xiàn)象？讓學(xué)生感悟三角函數(shù)是刻畫“周期現(xiàn)象”的數(shù)學(xué)模型.

歐拉是三角學(xué)發(fā)展中的關(guān)鍵人物之一，對歐拉生平的介紹不僅具有教學(xué)價(jià)值，而且具有重要的教育功能，體現(xiàn)數(shù)學(xué)在“立德樹人”教育中不可或缺的地位和作用.

案例6變遷與躍進(jìn)

三角學(xué)起源于古埃及、古巴比倫，興盛于古希臘，發(fā)展于印度、中國、阿拉伯，完善于歐洲地區(qū).簡言之，三角學(xué)經(jīng)歷了從弧到角、從全弦到半弦、從線段到比值、從球面三角學(xué)到平面三角學(xué)、從計(jì)算三角學(xué)到解析三角學(xué)、從天文計(jì)算方法到數(shù)學(xué)獨(dú)立分支的演進(jìn)過程，三角學(xué)發(fā)展史實(shí)際上也是一部浩瀚的人類發(fā)展史.

設(shè)計(jì)理由：以高度凝練的文字概括了三角學(xué)的歷史發(fā)展過程，從數(shù)學(xué)史的角度描述了三角學(xué)的大致輪廓，體現(xiàn)了序言課重“虛”不重“實(shí)”，重“廓”不重“具”的特征.

4 結(jié)語

序言課有助于為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)構(gòu)建知識框架，以形成新知識的固著點(diǎn)，為學(xué)生學(xué)習(xí)新知識做好必要的知識準(zhǔn)備和心理準(zhǔn)備.數(shù)學(xué)史則為序言課的設(shè)計(jì)提供了獨(dú)特的視角和豐富的資源；首先，數(shù)學(xué)史揭示了特定知識的緣起及其發(fā)展過程，這一過程正是人類對特定數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識過程；其次，數(shù)學(xué)史演繹了特定知識從古到今對推動時(shí)代發(fā)展和人類文明進(jìn)步所作出的巨大貢獻(xiàn)；再次，數(shù)學(xué)史中的軼事具有故事性和趣味性,可以引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.因此，基于HPM的序言課可成為文化層面的序言課教學(xué)設(shè)計(jì)的一種重要操作樣式.