從“概率與統(tǒng)計”考點看高考中的“數(shù)據(jù)分析”學科核心素養(yǎng)①
——以2016—2017兩年高考理科數(shù)學全國卷為例

陳 曉 周仕榮

(閩南師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院 363000)

1 前言

2017年，新修訂的普通高中數(shù)學課程標準(下述簡稱為新課標)提出了六大數(shù)學學科核心素養(yǎng)，包括數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析，強調(diào)在數(shù)學學習過程中著力發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng).筆者注意到新課標對于數(shù)學高考命題原則提出建議：“命題應(yīng)依據(jù)學業(yè)質(zhì)量標準和課程內(nèi)容，注重對學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的考查，處理好數(shù)學學科核心素養(yǎng)與知識技能的關(guān)系，要充分考慮對教學的積極引導作用.”并進一步在考試命題路徑中建議：“對于每道試題，除了要給出傳統(tǒng)的評分標準外，還需要給出反映相關(guān)數(shù)學學科核心素養(yǎng)的水平劃分依據(jù).”可是高考命題如何處理好數(shù)學學科核心素養(yǎng)與知識技能的關(guān)系？如何充分考慮對教學的積極引導作用？針對上述問題，新課標提出了學業(yè)質(zhì)量水平，即對學生在完成本學科課程學習后的學業(yè)成就表現(xiàn)的總體刻畫，從情境與問題、知識與技能、思維與過程和交流與反思四個方面對數(shù)學學科核心素養(yǎng)的具體表現(xiàn)進行描述并將其劃分為三個水平”.故我們可以利用學業(yè)質(zhì)量水平這個新工具去分析近兩年的高考試題，具體從四個方面和三個水平去分析相關(guān)試題，觀察這兩年的試題反映了數(shù)學學科核心素養(yǎng)的哪一種水平，并進一步預(yù)測未來的高考命題趨勢和討論對教學的積極引導作用.考慮到學生的“數(shù)據(jù)分析”學科核心素養(yǎng)主要是通過“概率與統(tǒng)計”這部分內(nèi)容知識進行集中考查，且往年高考對于這部分知識考查要求相對簡單和考查類型相對穩(wěn)定，這里便選擇“數(shù)據(jù)分析”學科核心素養(yǎng)去進行分析和討論.故本文以2016-2017兩年高考理科數(shù)學全國卷的“概率與統(tǒng)計”相關(guān)試題為研究對象，從上述的四個方面和三個水平去分析相應(yīng)的試題，觀察近兩年“概率與統(tǒng)計”相關(guān)試題體現(xiàn)了“數(shù)據(jù)分析”核心素養(yǎng)的哪一種水平和進一步討論未來高考關(guān)于“概率與統(tǒng)計”的命題趨勢，并討論對教學的積極引導作用.

2 相關(guān)概念知識

2.1 “數(shù)據(jù)分析”學科核心素養(yǎng)的內(nèi)涵

數(shù)據(jù)分析，是指針對研究對象獲取數(shù)據(jù)，運用數(shù)學方法對數(shù)據(jù)進行整理、分析和推斷，形成關(guān)于研究對象知識的數(shù)學學科核心素養(yǎng).數(shù)據(jù)分析過程主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型，進行推理，獲得結(jié)論.數(shù)據(jù)分析是研究隨機現(xiàn)象的重要數(shù)學技術(shù)，是大數(shù)據(jù)時代數(shù)學應(yīng)用的主要方法，也是“互聯(lián)網(wǎng)+”相關(guān)領(lǐng)域的主要數(shù)學方法.數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)具體表現(xiàn)為學生通過課程的學習之后，提升獲取有價值信息并進行定量分析的意識和能力，適應(yīng)數(shù)字化學習的需要，增強基于數(shù)據(jù)表達現(xiàn)實問題的意識，形成通過數(shù)據(jù)認識事物的思維品質(zhì)；積累依托數(shù)據(jù)探索數(shù)據(jù)的本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律的活動經(jīng)驗.

2.2 數(shù)學學業(yè)質(zhì)量水平

學業(yè)質(zhì)量，是指學生在完成本學科課程學習之后的學業(yè)成就表現(xiàn).而學業(yè)質(zhì)量標準是以學科核心素養(yǎng)及其表現(xiàn)水平為主要維度，結(jié)合課程內(nèi)容對學生成就表現(xiàn)的總體刻畫.學業(yè)質(zhì)量是學生自主學習與評價、教師教學活動與評價、教材編寫的指導性要求，也是相應(yīng)考試命題的依據(jù).數(shù)學學業(yè)質(zhì)量水平，是指六個數(shù)學學科核心素養(yǎng)的綜合表現(xiàn).每一個數(shù)學學科核心素養(yǎng)劃分為三個水平，而這里的每一個水平都是通過四個方面進行表述，即情境與問題、知識與技能、思維與表達和交流與反思：(1)情境與問題，其中情境主要是指現(xiàn)實情境、數(shù)學情境、科學情境，問題則是指在情境中提出的數(shù)學問題；(2)知識和技能，主要是指能夠幫助學生形成相應(yīng)數(shù)學學科核心素養(yǎng)的知識和技能；(3)思維與表達，主要是指數(shù)學活動過程中反映的思維品質(zhì)、表述的嚴謹性和準確性；(4)交流與反思，主要是指能夠用數(shù)學語言直觀地解釋和交流數(shù)學概念、結(jié)論、應(yīng)用和思想方法，并能進行評價、總結(jié)與拓展.除此之外，新課標的附錄1對“數(shù)據(jù)分析”學科核心素養(yǎng)的三個水平給出了具體表現(xiàn)的描述，分別為水平一、水平二、水平三.每一個水平均是通過上述的四個方面去進行描述，而下面對于高考試題的分析主要是參考了新課標的附錄1中對于“數(shù)據(jù)分析”學科核心素養(yǎng)的水平劃分和附錄2中教學案例與案例評價的分析.

3 試題分析

表1 “概率與統(tǒng)計”在2016-2017兩年高考理科全國卷的題號分布情況

從表1看出，這里先對2016-2017年高考理科數(shù)學全國卷兩年的相關(guān)試題進行編號、分類和分析，其中的相關(guān)試題指的是和概率與統(tǒng)計相關(guān)的試題，全國卷分為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷三部分構(gòu)成，從表1可以看出，“概率與統(tǒng)計”的內(nèi)容知識基本是以一道客觀題(5分)加上一道解答題(12分)的固定模式去進行考查，這里主要是分成客觀題和解答題兩部分進行分析，以(年、卷)的形式來表示以上試題，如(17、Ⅰ)表示2017年全國高考數(shù)學理科全國卷Ⅰ中的題目.同樣，(16、Ⅱ)表示2016年全國高考數(shù)學理科全國卷Ⅱ中的題目,以此類推.

表2 (2016-2017年)高考理科數(shù)學全國卷客觀題的考查狀況分布

表2具體展示了“數(shù)據(jù)分析”學科核心素養(yǎng)的四個方面，觀察表格發(fā)現(xiàn)，從情境與問題來看，對于(16，Ⅰ)和(17，Ⅰ)這兩道題來說，16年是通過熟悉的現(xiàn)實情境來設(shè)計數(shù)學問題，17年則是通過特意設(shè)計的數(shù)學情境去設(shè)計數(shù)學問題.從知識與技能來看，這兩道題都是考查了幾何概型的知識點和運用幾何概型去解決數(shù)學問題的技能，在思維與表達這方面來講，這兩道題反映了學生在體會概型模型思想之后并利用該模型思想進行解決數(shù)學問題.

為了簡便，下面對于試題的分析直接從情境與問題、知識與技能、思維與表達這三個方面去進行分析.(16，Ⅱ)和(17，Ⅱ)均是利用熟悉的現(xiàn)實情境去設(shè)計數(shù)學問題，主要是考查計數(shù)原理的分步乘法原理這個知識點和掌握運用分步乘法原理去解決該數(shù)學問題的技能，同時反映了學生利用分類思想去解決復(fù)雜的計數(shù)問題.(16，Ⅲ)和(17，Ⅲ)這兩道題都是采用數(shù)學情境去設(shè)計數(shù)學問題，均考查了統(tǒng)計圖的識別和掌握從統(tǒng)計圖中獲取所需信息的技能，同時也反映了學生對統(tǒng)計模型思想的理解.從“交流與反思”來看，顯然從學生的卷面考查是無法體現(xiàn)“交流”這個過程，而按照“反思”的涵義，在做題的過程中其實有體現(xiàn)了“反思”這一個過程，比如將運算之后的結(jié)果帶入題目中進行驗證，這種“回顧”過程便可稱之為反思，或者對于較為復(fù)雜的題目，在解決問題過程中反復(fù)對自己的解題策略進行調(diào)整、運用和再調(diào)整從而得到答案，這也可稱之為反思等等，從以上對“反思”的理解來看，這里認為在上述題目的考查反映了“反思”這個過程.根據(jù)上述的描述和參考新課標的附錄1中對于“數(shù)據(jù)分析”學科核心素養(yǎng)的水平劃分，這六道客觀題可以劃分為“數(shù)據(jù)分析”核心素養(yǎng)的水平一.

表3 (2016-2017年)高考理科數(shù)學全國卷解答題的考查狀況分布

從表3中，首先可以看到這六道解答題均是基于現(xiàn)實情境里提出的數(shù)學問題.(16，Ⅰ)、(16，Ⅱ)和(17，Ⅲ)這三道解答題均是運用離散型隨機變量去刻畫隨機對象，要求學生掌握求隨機變量的分布列和期望的方法，這類題目也反映了學生在一定程度上可以利用離散型隨機變量思想去描述和分析隨機現(xiàn)象.(16，Ⅲ)這道題目主要是考查學生對最小二乘法和線性回歸方程的相關(guān)知識和技能的掌握，同時也反映了學生可以利用統(tǒng)計模型去表達隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律的思維過程.(17，Ⅰ)考查了學生對正態(tài)分布概型和求隨機變量的方差和均值等知識的理解，也反映了學生可以用概率模型去表達隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律的思維過程.(17，Ⅱ)則考查了獨立性檢驗與估計中位數(shù)的相關(guān)知識，并要求學生理解獨立性檢驗的基本思想并應(yīng)用于解決問題.在交流與反思上，和上述對客觀題的分析是一樣的，在考查過程中僅僅反映了“反思”這一過程.整體而言，根據(jù)上述描述和新課標的附錄1中對于“數(shù)據(jù)分析”學科核心素養(yǎng)的水平劃分，這六道題可以劃分為“數(shù)據(jù)分析”學科核心素養(yǎng)的水平二.

4 總結(jié)和討論

4.1 客觀題基本處于水平一，解答題基本處于水平二

根據(jù)上述對試題的分析和參考新課標的附錄1中對于“數(shù)據(jù)分析”學科核心素養(yǎng)的水平劃分得到以下結(jié)論：近兩年的六道客觀題的考查基本處于“數(shù)據(jù)分析”的水平一;近兩年的六道解答題的考查則基本處于“數(shù)據(jù)分析”的水平二.故整體而言，近兩年高考試卷關(guān)于“概率與統(tǒng)計”的命題難度基本可以達到“數(shù)據(jù)分析”的水平二.而之所以說是“基本”，則是因為從知識與技能方面去看，上述的解答題可以說達到了“水平二”狀態(tài)，但從客觀題和解答題這兩種題型的解題情況，無法確定學生是否在思維與表達這個方面上同樣達到“數(shù)據(jù)分析”的水平二.原因是無法確認學生在解題過程中是否經(jīng)歷所考查的思維過程，可能僅是靠記憶和經(jīng)驗去解決類似問題，又或者是通過一些所謂的“考試訣竅”——如對于選擇題，將選項答案代入題目進行驗證所得，這種做法顯然扭曲了命題人希望考查學生思維過程的最初想法，并且上述情況有可能助長消極教學的風氣.

4.2 未來高考考查難度依然會以水平一與水平二為依據(jù)

從上述的結(jié)論中，可以發(fā)現(xiàn)往年“概率與統(tǒng)計”的高考試題難度基本達到“數(shù)據(jù)分析”核心素養(yǎng)的水平二，由于新課標中的學業(yè)質(zhì)量水平將“數(shù)據(jù)分析”劃分出三個水平，通常我們會有一個想法，既然新課標提出了三個水平，是不是意味著未來高考命題將會出現(xiàn)處于“水平三”的試題？但根據(jù)新課標的建議：“數(shù)學學業(yè)質(zhì)量水平二是高考的要求，是數(shù)學高考的命題依據(jù)，學業(yè)質(zhì)量水平的“水平三”則可用于大學自主招生的參考.”由于高考命題和考試大綱的制定均是以課標為依據(jù)，我們可以預(yù)測：未來高考關(guān)于“統(tǒng)計和概率”方面的考查依然會處于“數(shù)據(jù)分析”的水平二.”但這里需要注意的是，新課標提到：“對于每道試題，除了要給出傳統(tǒng)的評分標準外，還需要給出反映相關(guān)數(shù)學學科核心素養(yǎng)的水平劃分依據(jù).”基于該建議，高考命題組成員在未來的命題過程中就得從上述的四個方面去進行綜合的考慮，進而設(shè)計能反映“數(shù)據(jù)分析”核心素養(yǎng)所需水平的高考試題.從4.1的結(jié)論來看，往年的試題僅僅是基本達到了“數(shù)據(jù)分析”的水平二，不夠充分.而新課標明確提出利用上述的四個維度來綜合評價學生的學科核心素養(yǎng)，故未來的高考試題難度則會傾向于從多個方面達到“數(shù)據(jù)分析”核心素養(yǎng)的水平二，即充分意義上的水平二.

4.3 設(shè)置開放題，綜合考查“數(shù)據(jù)分析”學科核心素養(yǎng)

在上述對于解答題的分析當中，我們只能根據(jù)學生的解題情況去判斷知識與技能這個方面上的水平，難以確定學生是否運用了相應(yīng)水平的思維去解題，而上述也得到：未來的高考命題很有可能會從多個維度去綜合考查學生的學業(yè)質(zhì)量水平.這里建議，設(shè)置合理的開放題，可以從答題情況和答題理由中觀察學生的思維和表達過程，顯然這種類型的命題形式可以從多個維度上綜合反映學生“數(shù)據(jù)分析”核心素養(yǎng)的水平，故筆者認為未來的高考命題可能會出現(xiàn)這類型題目.但由于開放題是遵循滿意原則和加分原則進行評分(達到測試的基本要求視為滿意，有所拓展或創(chuàng)新可以根據(jù)實際情況進行加分)，由于這種評分方式往往會帶來評分的公平性問題，故命題時往往要考慮這類題目閱卷的公平性和可操作性.

4.4 設(shè)置綜合題，對不同數(shù)學學科核心素養(yǎng)的綜合考查

前面提到未來的高考命題會趨向于從多個方面去綜合考查學生的“數(shù)據(jù)分析”學科核心素養(yǎng).而這里講的不同數(shù)學學科核心素養(yǎng)的綜合考查，則是指一道高考題目綜合考查了不同的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，其中不同數(shù)學學科核心素養(yǎng)是指新課標提出的六種數(shù)學學科核心素養(yǎng).

比如在一道估計總體性質(zhì)的題目中，用樣本空間的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征或性質(zhì)，是統(tǒng)計建模的基本思想和基本手法，既可以表現(xiàn)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)水平，也可以表現(xiàn)數(shù)學建模素養(yǎng)水平，像這道題目在考查了“數(shù)據(jù)分析”素養(yǎng)的同時，也考查了“數(shù)學建模”素養(yǎng).故筆者認為，未來的高考命題可以對不同數(shù)學學科核心素養(yǎng)進行綜合考查.

4.5 倡導積極教學，提升學生的“數(shù)據(jù)分析”學科核心素養(yǎng)

從上述的分析和討論中，我們可以看到近兩年高考關(guān)于“統(tǒng)計和概率”的考查難度可以說基本達到“數(shù)據(jù)分析”素養(yǎng)的水平二.照理說，相關(guān)試題的考查難度都不大，學生應(yīng)該可以很好把握這部分題目，然而考查情況卻不容樂觀，特別是不少同學反映難以理解“概率和統(tǒng)計”的思想和畏懼這部分課程內(nèi)容的學習，從筆者看來，一方面是因為學生從小接受的內(nèi)容大多是確定性數(shù)學，所以學生習慣用確定性思維去理解不確定性數(shù)學內(nèi)容難免會出現(xiàn)思維混亂，另一方面是學生在“概率與統(tǒng)計”的教學中沒有很好地理解不確定思維和進一步感受統(tǒng)計思想對現(xiàn)實生活的便利性.總而言之，上述情況啟示教師在關(guān)于“概率與統(tǒng)計”主題的教學中，要讓學生認識到確定性數(shù)學和不確定性數(shù)學之間的差異，在新內(nèi)容的學習中理解并接受不確定性思維，并懂得運用統(tǒng)計思想和概率模型思想去解決問題.其實早在普通高中數(shù)學課程標準(實驗)中，就已經(jīng)意識到這個問題，并強調(diào)在教學中要讓學生了解統(tǒng)計方法的基本思想及其初步應(yīng)用，其理論基礎(chǔ)不作要求，避免單純記憶和機械套用公式進行計算.新課標提出通過四個方面去綜合評價學生“數(shù)據(jù)分析”核心素養(yǎng)水平，實質(zhì)也是避免學生單純記憶和機械套用公式進行計算，是進一步對學生在思維與表達、交流與反思等方面提出具體的要求，這就要求教師在教學過程中要注意學生是否很好地理解了不確定性思維并初步運用其相關(guān)思想去解決問題.新課標明確提出，對于每一道試題，命題人除了要給出傳統(tǒng)的評分標準外，還需要給出反映相關(guān)數(shù)學學科核心素養(yǎng)的水平劃分依據(jù).從以上的分析，新課標倡導積極教學，提升學生的“數(shù)據(jù)分析”學科核心素養(yǎng).