借助操作活動(dòng)提升西藏小學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)

◆韓鵬

一、問(wèn)題的提出

運(yùn)算教學(xué)是西藏小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中特別重要的內(nèi)容之一，西藏的教師也十分重視學(xué)生計(jì)算能力的訓(xùn)練，在平時(shí)花費(fèi)大量的精力進(jìn)行口算、筆算練習(xí)，以達(dá)到發(fā)展學(xué)生運(yùn)算能力的目的。但教師對(duì)學(xué)生在計(jì)算中出現(xiàn)的問(wèn)題，卻往往簡(jiǎn)單地歸結(jié)為“學(xué)生的粗心、馬虎，加之運(yùn)算能力薄弱”等原因，缺乏對(duì)該問(wèn)題深層次的思考與定位。

筆者通過(guò)近一年的援藏工作，還發(fā)現(xiàn)在西藏的小學(xué)運(yùn)算教學(xué)中，存在以下四個(gè)方面的問(wèn)題。

1.認(rèn)識(shí)與思考

運(yùn)算包含了“運(yùn)”和“算”兩個(gè)層面的含義。算是形式，也是技能；運(yùn)是內(nèi)涵，也是思想。學(xué)生在小學(xué)階段要學(xué)習(xí)和經(jīng)歷整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)三類(lèi)運(yùn)算，盡管數(shù)的形式不同，算的方法不同，但是運(yùn)的本質(zhì)卻是相通的，都需要在相同的計(jì)數(shù)單位下進(jìn)行。對(duì)小學(xué)生而言，運(yùn)算不僅是一種技能的獲得，更是一種數(shù)學(xué)思想與能力的發(fā)展，即運(yùn)算能力。

運(yùn)算能力主要體現(xiàn)在數(shù)的認(rèn)識(shí)、數(shù)的比較、數(shù)的估計(jì)以及數(shù)的運(yùn)作四個(gè)方面。尤其是“數(shù)的估計(jì)”這一內(nèi)容指向的是學(xué)生數(shù)感能力的發(fā)展目標(biāo)。但部分教師的認(rèn)識(shí)并沒(méi)有更新，仍然認(rèn)為只要反復(fù)練習(xí)口算，會(huì)用豎式計(jì)算就可以了。

2.結(jié)果與過(guò)程

小學(xué)生學(xué)習(xí)計(jì)算方法，獲得計(jì)算技能的過(guò)程是一個(gè)相對(duì)緩慢而復(fù)雜的過(guò)程，需要經(jīng)歷小學(xué)6年時(shí)間，從數(shù)數(shù)開(kāi)始直到分?jǐn)?shù)以及代數(shù)思想的萌芽。即便是同一種運(yùn)算也包含了多種運(yùn)與算的過(guò)程，比如635÷5的除法中，就包含了試商與估計(jì)；在豎式計(jì)算中，還需要借助乘法和減法等不同的運(yùn)算進(jìn)行。但部分教師在教學(xué)中更關(guān)注計(jì)算結(jié)果的對(duì)與錯(cuò)，將運(yùn)算能力的培養(yǎng)結(jié)果，簡(jiǎn)單地歸結(jié)為“又對(duì)又快”這樣單一的指標(biāo)。

3.算理與算法

運(yùn)算教學(xué)一直強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)算理的理解，因?yàn)樗憷頌檎_計(jì)算提供了正確的運(yùn)作方式，教學(xué)中要突出算理在學(xué)生頭腦中“運(yùn)”的價(jià)值，不同算法的背景不同，形式不同，所以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)不同算法的比較，才能更好地把握算理的合理性和可行性。但部分教師認(rèn)為，課堂上講太多的方法，也不能保證學(xué)生會(huì)做題，以至于教師對(duì)“運(yùn)”的過(guò)程不太關(guān)注。比如在解答一個(gè)計(jì)算題時(shí),學(xué)生需要多個(gè)步驟才能完成，但教師在批改計(jì)算題時(shí)，并沒(méi)有關(guān)注錯(cuò)誤的原因，到底是哪一步出錯(cuò)，為什么會(huì)出錯(cuò)。學(xué)生也失去了一次對(duì)算法進(jìn)行反思，對(duì)算理的不斷清晰的機(jī)會(huì)。

4.估算與計(jì)算

面對(duì)計(jì)算問(wèn)題，學(xué)生采用的計(jì)算方法不盡相同，但要求依舊是正確、合理和簡(jiǎn)潔。學(xué)生從不同的解法中選擇合理的算法，達(dá)到算法最優(yōu)化。由于學(xué)生擔(dān)心算錯(cuò)，即使面對(duì)“123×4＋123×25”這樣能夠簡(jiǎn)便計(jì)算的題目也不去簡(jiǎn)便計(jì)算。

再比如當(dāng)學(xué)生面對(duì)下面應(yīng)該采用估算策略來(lái)解決問(wèn)題時(shí)，卻不去選擇最合理的方法。學(xué)生始終不認(rèn)可估算能提供正確的答案，以至于出現(xiàn)圖1中“12”這樣明顯的錯(cuò)誤時(shí)也沒(méi)有察覺(jué)。

圖1

基于對(duì)以上問(wèn)題的思考，筆者認(rèn)為運(yùn)算教學(xué)的目的絕不僅僅是讓學(xué)生獲得必備的計(jì)算技能，最重要的是，要在學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，體現(xiàn)出他們的思維過(guò)程和創(chuàng)造能力，并將過(guò)程生動(dòng)地展現(xiàn)出來(lái)，成為后續(xù)學(xué)習(xí)的支架和相互交流的平臺(tái)。而操作活動(dòng)則能有效地實(shí)現(xiàn)這一目的，不僅因?yàn)槠渚哂兴季S外顯化的特點(diǎn)，而且操作活動(dòng)也符合小學(xué)生的身心特點(diǎn)，是小學(xué)階段重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)形式之一，尤其是低中段的小學(xué)生，更適合開(kāi)展直觀(guān)操作性的學(xué)習(xí)活動(dòng)。

二、概念的解讀

1.課程標(biāo)準(zhǔn)的要求

運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心能力，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中指出，“運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題。”

運(yùn)算能力有兩個(gè)明確的要求，一是正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力，并掌握不同的運(yùn)算方法。二是在解決問(wèn)題的過(guò)程中合理地運(yùn)算、恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)算。在不同的方法中發(fā)現(xiàn)最佳的方案。

2.教材內(nèi)容的要求

通過(guò)對(duì)教材的梳理，發(fā)現(xiàn)可以將運(yùn)算內(nèi)容劃分為知識(shí)層面和能力層面兩個(gè)維度，運(yùn)算的知識(shí)層面主要包括運(yùn)算的意義、運(yùn)算的順序、運(yùn)算定律和運(yùn)算的性質(zhì)等，運(yùn)算的能力層面包括合理估算的能力、理解算理的能力、抽象概括的能力、合情推理的能力以及解決問(wèn)題的能力等。

結(jié)合這兩個(gè)維度，教材對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力，提出了更為明確的要求。

能選擇恰當(dāng)?shù)挠?jì)算形式解決問(wèn)題，做到可以口算就口算，需要筆算就筆算，不要精確得數(shù)就估算，遇到大數(shù)目的計(jì)算就使用計(jì)算器。

對(duì)計(jì)算的結(jié)果能夠反思，有及時(shí)檢驗(yàn)得數(shù)的習(xí)慣，能夠采用合適的方法進(jìn)行驗(yàn)算并隨時(shí)糾正計(jì)算錯(cuò)誤。

合理的簡(jiǎn)便運(yùn)算的意識(shí)，能夠根據(jù)具體情況，合理而靈活地利用運(yùn)算律或運(yùn)算性質(zhì)，提高計(jì)算效率。

3.核心素養(yǎng)的指向

在《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）中的“四基”要求之上，我國(guó)學(xué)者還提出了“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”一詞。就數(shù)學(xué)學(xué)科而言，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包含數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀(guān)想象、數(shù)據(jù)分析等六個(gè)方面。數(shù)學(xué)運(yùn)算是其中重要的一個(gè)方面。在運(yùn)算的過(guò)程中，學(xué)生可以對(duì)數(shù)產(chǎn)生一定的直覺(jué)和感悟，能夠有意識(shí)地“用數(shù)學(xué)的眼光觀(guān)察世界”。在問(wèn)題解決的過(guò)程中，學(xué)生用運(yùn)算來(lái)推理自己的觀(guān)點(diǎn)，嘗試“用數(shù)學(xué)的思維分析世界”，在交流的過(guò)程中，學(xué)生用數(shù)和運(yùn)算來(lái)表達(dá)思想，相互啟發(fā)以實(shí)現(xiàn)“用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界”的目的，并不斷地形成運(yùn)算的策略，發(fā)展運(yùn)算的素養(yǎng)。

因此，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求教師不僅要成為運(yùn)算方法的傳遞者，更要成為運(yùn)算過(guò)程的推動(dòng)者。讓學(xué)生在運(yùn)算的學(xué)習(xí)中，不僅做到知其然，還要做到知其所以然。

三、操作活動(dòng)的價(jià)值

操作活動(dòng)對(duì)于西藏的學(xué)生而言，其價(jià)值尤為突出。以藏語(yǔ)為母語(yǔ)的學(xué)生，在學(xué)習(xí)漢文版的數(shù)學(xué)內(nèi)容時(shí)，往往對(duì)題目的理解存在著一定的障礙，進(jìn)而影響學(xué)生對(duì)知識(shí)的把握。

同時(shí)，不同學(xué)校在對(duì)教材的使用上，也存在著顯著的差異。比如，有的學(xué)校從一年級(jí)開(kāi)始就采用漢語(yǔ)版的數(shù)學(xué)教材，有的鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校則采用藏?cái)?shù)和漢數(shù)教材混合使用，還有的學(xué)校則全部采用藏?cái)?shù)教材。這一差異最終也反映在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的水平上。

無(wú)論從學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解上，還是從教師對(duì)學(xué)習(xí)效果的評(píng)價(jià)上，語(yǔ)言上的差異都對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)產(chǎn)生了一定的影響。

筆者在對(duì)學(xué)生的調(diào)研中，也發(fā)現(xiàn)了這一問(wèn)題。調(diào)研對(duì)象是拉薩市某小學(xué)一年級(jí)藏族班的40名學(xué)生，調(diào)研題目如下：

先把左邊的4只小鳥(niǎo)圈起來(lái)；從左邊數(shù)，給第4只小鳥(niǎo)涂上顏色。

被擋住的是第（）個(gè)和第（）個(gè)，擋住了（）個(gè)。

兩個(gè)題所測(cè)查的目的是相同的，都是檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)序數(shù)和基數(shù)的掌握程度。但題目的表述形式和理解方式卻是不同的。第一題學(xué)生必須通過(guò)理解漢字的意思之后再來(lái)作答，而第二題的問(wèn)題和圖示緊密地聯(lián)系在一起，學(xué)生需要借助直觀(guān)操作的方式來(lái)分析。學(xué)生面對(duì)同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，兩種不同的提問(wèn)方式，呈現(xiàn)出了不同的反映。

對(duì)于第一個(gè)漢字類(lèi)型的題目，近73%的學(xué)生由于不能理解題目要求，導(dǎo)致無(wú)法做對(duì)。特別值得注意的是，近40%的學(xué)生完全不理解題目的要求。

在第二個(gè)直觀(guān)操作類(lèi)型問(wèn)題的反饋中，發(fā)現(xiàn)近70%的學(xué)生能夠正確理解題目要求，并能做出正確的回答。

通過(guò)以上調(diào)研發(fā)現(xiàn)，藏族學(xué)生面對(duì)漢字類(lèi)型的問(wèn)題時(shí)，存在很大程度的理解困難，但這個(gè)困難并不完全源于數(shù)學(xué)知識(shí)本身。而直觀(guān)操作型的題目，則能更加有效地反映出學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“真問(wèn)題”。

因此，操作活動(dòng)不僅能幫助學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)數(shù)，還能推動(dòng)他們實(shí)現(xiàn)對(duì)運(yùn)算的理解和把握，并進(jìn)一步清晰算理的意義，實(shí)現(xiàn)算法的豐富。

四、操作活動(dòng)的實(shí)施

1.借助操作活動(dòng)感受算理核心

操作學(xué)習(xí)理論的代表布魯納認(rèn)為，學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者主動(dòng)建構(gòu)內(nèi)部心里表征的過(guò)程。知識(shí)是依托于具體的、可感知的、情境的活動(dòng)之中，不是一套獨(dú)立于情境的知識(shí)符號(hào)，而是通過(guò)具體的情境應(yīng)用才能被理解和解釋。

因此，運(yùn)算教學(xué)中的動(dòng)手操作活動(dòng)是學(xué)生根據(jù)教師創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境與任務(wù)要求，通過(guò)親自操作學(xué)具探究運(yùn)算問(wèn)題、獲得運(yùn)算方法、理解運(yùn)算意義的一種重要的學(xué)習(xí)方式。

教師引導(dǎo)學(xué)生用語(yǔ)言表述操作的過(guò)程，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)“實(shí)物操作”向“算法操作”過(guò)渡，讓學(xué)生體驗(yàn)從直接經(jīng)驗(yàn)到抽象概念的逐漸演變過(guò)程，逐步擺脫對(duì)操作的依賴(lài)，不斷促進(jìn)學(xué)生抽象思維能力的發(fā)展。

在四年級(jí)下冊(cè)《小數(shù)的加減法》（見(jiàn)圖4）教學(xué)案例中，教師提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生嘗試解決問(wèn)題，交流各自算法，最后概括歸納出小數(shù)加減法的算理，并掌握正確的計(jì)算方法。

圖4

整個(gè)過(guò)程，教師放手讓學(xué)生自主去嘗探索、去獲取知識(shí)，最大限度地讓學(xué)生都能參與到探索新知的過(guò)程中，參與知識(shí)形成的過(guò)程中，在探究算法中使每位學(xué)生都有獲得成功學(xué)習(xí)的體驗(yàn)。

教學(xué)案例片段（見(jiàn)圖5）

圖5

請(qǐng)同學(xué)們運(yùn)用轉(zhuǎn)化的方法，先獨(dú)立思考，在練習(xí)本上嘗試算一算，在小組內(nèi)交流一下你的計(jì)算方法。

生1：6.45元=6元4角5分，4.29元=4元2角9分

6元4角5分+4元2角9分=10元7角4分=10.74元

（學(xué)生從實(shí)際的意義出發(fā)）

生2：筆算

師：請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)你是怎么想的嗎？生介紹豎式。

來(lái)評(píng)價(jià)一下，你認(rèn)為是正確還是錯(cuò)誤？還有誰(shuí)也用了這種方法（筆算）

根據(jù)你們計(jì)算一位小數(shù)加減法的經(jīng)驗(yàn)，小組討論一下，為什么要把小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊呢？（理解小數(shù)點(diǎn)對(duì)其就是相同數(shù)位對(duì)齊）

學(xué)生交流、匯報(bào)。

師總結(jié)：只有小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊了，才能做到相同數(shù)位對(duì)齊，也就是把表示元、角、分的數(shù)對(duì)齊。

師：擦掉元角分這些單位，你還能說(shuō)一說(shuō)為什么小數(shù)點(diǎn)要對(duì)齊嗎？

生：明確個(gè)位和個(gè)位上的數(shù)對(duì)齊，十分位和十分位上的數(shù)對(duì)齊……

張?zhí)煨⑾壬?jīng)說(shuō)過(guò)：“算理是運(yùn)算的根本，掌握了算理就能更好地落實(shí)算法，讓學(xué)生用算理去駕馭多變的算法，自主發(fā)現(xiàn)和發(fā)明算法。”

算理是客觀(guān)存在的規(guī)律，主要回答“為什么這樣算”的問(wèn)題，而學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作把操作活動(dòng)與知識(shí)教學(xué)緊密聯(lián)系起來(lái)，幫助學(xué)生把抽象的思維外顯為直觀(guān)的操作活動(dòng)，學(xué)生的思維由易到難，循序漸進(jìn)不斷深入。因此，組織學(xué)生進(jìn)行操作活動(dòng)，促使學(xué)生能從多種路徑共同參與學(xué)習(xí)，建立豐富的表象和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生更好的理解算理打下良好的基礎(chǔ)。

2.通過(guò)操作活動(dòng)提升運(yùn)算能力

數(shù)學(xué)家華羅庚指出，數(shù)缺形時(shí)少直觀(guān)，形缺數(shù)時(shí)難入微。在學(xué)習(xí)運(yùn)算的活動(dòng)中學(xué)生同樣需要借助直觀(guān)的形式，通過(guò)操作學(xué)具、畫(huà)圖表示等活動(dòng)，將“內(nèi)隱”的思維活動(dòng)轉(zhuǎn)化為“外部”的學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)。

（1）操作與思考相結(jié)合

“操作”具有看得見(jiàn)，摸得到的特點(diǎn)，但并不意味著只要把學(xué)具交到學(xué)生手里，他們就能夠順利地進(jìn)行操作。

比如在三年級(jí)上冊(cè)《口算乘法》一課中，教師結(jié)合“20×3”，設(shè)計(jì)了圖6中的情景，希望學(xué)生能夠借助“小棒”進(jìn)行操作活動(dòng)，表達(dá)對(duì)不同運(yùn)算方法的理解。

圖6

通過(guò)對(duì)學(xué)生作品的觀(guān)察，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的操作結(jié)果與算式表達(dá)之間出現(xiàn)了很大的差距，暴露了兩個(gè)主要的問(wèn)題。

操作與學(xué)具使用的“脫節(jié)”

圖7

第一，從學(xué)生的作品（圖7）中不難發(fā)現(xiàn)，他們對(duì)乘法意義還不太理解，學(xué)生不能區(qū)別20×3和30×2的不同，僅憑結(jié)果相等就認(rèn)為是一回事。

第二，學(xué)生在操作前沒(méi)有認(rèn)真思考到底要用多少學(xué)具（小棒）才能進(jìn)行研究。當(dāng)教師提出“你想用幾捆小棒研究？”的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生給出的想法是比較混亂的，而且很多學(xué)生認(rèn)為，教師給多少學(xué)具就用多少學(xué)具。

操作與運(yùn)算表達(dá)的“脫節(jié)”

許多學(xué)生認(rèn)為，只要計(jì)算出結(jié)果，用了某種技巧與方法就是學(xué)會(huì)了運(yùn)算，但忽視了對(duì)運(yùn)算本身的理解。

圖8

在學(xué)生的作品（圖8）中，如果只看學(xué)生的想法似乎沒(méi)問(wèn)題，但在算式中學(xué)生寫(xiě)成了“6……2”的字樣，表明學(xué)生只是從形式上完成了算的過(guò)程，并沒(méi)有明白其中的算理，這進(jìn)一步暴露了學(xué)生“知其然，而不知其所以然”的狀態(tài)。

學(xué)生的操作活動(dòng)，一定是一種有意識(shí)、有目的的思維活動(dòng)。

（2）操作與算理相結(jié)合

運(yùn)算教學(xué)中最核心的部分，就是對(duì)算理的理解與表達(dá)，通過(guò)加強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)手操作，能夠有效實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)算理的把握。

比如，三年級(jí)下冊(cè)的《筆算除法》52÷2中（見(jiàn)上圖），學(xué)生遇到了十位上除后出現(xiàn)有余數(shù)的情況，學(xué)生感到困難的是為什么要把十位的數(shù)字與個(gè)位的數(shù)字“合”起來(lái)繼續(xù)除。

教師采用了擺小棒的操作活動(dòng)幫助學(xué)生理解這一算理。在學(xué)生動(dòng)手拆開(kāi)、合并小棒的探究過(guò)程中，逐漸認(rèn)識(shí)到5捆（5個(gè)10）平均分2份，每份是2捆（2個(gè)10），因此十位商2；剩下1捆表示1個(gè)10，要繼續(xù)平均成兩份，只能拆開(kāi)和2根合并成12根，再平均分2份，每份是6根（6個(gè)1），因此個(gè)位商6。

學(xué)生借助直觀(guān)的操作，清楚地表達(dá)出剩下的一捆應(yīng)該如何繼續(xù)分，使學(xué)生理解了有余數(shù)除法的算理，學(xué)生把動(dòng)手操作活動(dòng)和豎式相對(duì)應(yīng)，數(shù)與形的結(jié)合為后續(xù)的運(yùn)算學(xué)習(xí)不斷助力。

（3）操作與表達(dá)相結(jié)合

在師大版教材三年級(jí)下冊(cè)的《分桃子》一課中，教師出示這樣一個(gè)問(wèn)題，“68個(gè)桃子平均分給兩只猴子，每只分到多少個(gè)？”這個(gè)問(wèn)題的重點(diǎn)是學(xué)習(xí)用豎式除法解決問(wèn)題，難點(diǎn)是學(xué)生如何理解除法豎式每一步的含義。在教學(xué)中，教師讓學(xué)生借助直觀(guān)的方式進(jìn)行多種形式的數(shù)學(xué)表達(dá)，可以擺小棒，也可以畫(huà)圖，不斷加深學(xué)生對(duì)除法豎式每一步含義的理解。

學(xué)生通過(guò)操作小棒、畫(huà)圖和算式記錄的方式，記錄下分物的過(guò)程，同時(shí)還要結(jié)合分物的過(guò)程，說(shuō)清豎式中每一步運(yùn)算所代表的含義，將運(yùn)算與表達(dá)相結(jié)合，進(jìn)一步突出了操作與思維相結(jié)合。

綜上所述，適時(shí)、合理地運(yùn)用直觀(guān)操作活動(dòng)，能夠有效地幫助西藏學(xué)生理解抽象的運(yùn)算意義，溝通不同形式算法之間的聯(lián)系，形成豐富的數(shù)學(xué)表達(dá)。更重要的是，操作活動(dòng)能夠有效地避免數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)被過(guò)早地形式化，讓運(yùn)算不僅只停留在技能層面上，更指向了學(xué)生未來(lái)數(shù)學(xué)能力的發(fā)展。這一點(diǎn)也必將推動(dòng)西藏學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的持續(xù)發(fā)展與全面提升。