基于多先驗(yàn)譜模型的低慢小目標(biāo)子空間檢測器

呂 寬，張 玉，唐 波

（國防科技大學(xué)電子對抗學(xué)院，合肥 230037）

0 引言

低慢小目標(biāo)是指適宜低空飛行、飛行速度慢、雷達(dá)截面積（RCS）小的目標(biāo)，具有聲學(xué)、光學(xué)檢測難的特點(diǎn)，地基雷達(dá)很難遠(yuǎn)距離探測，所以通常使用機(jī)載雷達(dá)進(jìn)行檢測[1]。機(jī)載雷達(dá)在其有效作用范圍內(nèi)接收到的回波含有大量的雜波，傳統(tǒng)自適應(yīng)檢測器需要利用訓(xùn)練樣本來估計(jì)雜波協(xié)方差矩陣，這些訓(xùn)練樣本通常來自與待檢測單元鄰近并且具有相同譜特性的參考單元，當(dāng)雜波表現(xiàn)出非均勻性時(shí)，會(huì)導(dǎo)致得到的訓(xùn)練樣本與待檢測單元快拍矢量不再獨(dú)立同分布[2-3]，如果使用這些非均勻訓(xùn)練樣本來估計(jì)協(xié)方差矩陣，雷達(dá)檢測性能將急劇下降[4]。

為了解決雜波非均勻性對檢測性能的不利影響，學(xué)者們提出了許多基于先驗(yàn)信息的處理方法[5]。文獻(xiàn)[6]研究了利用協(xié)方差矩陣的多個(gè)先驗(yàn)譜模型自適應(yīng)雷達(dá)檢測算法，而對于高分辨力雷達(dá)，復(fù)合高斯模型能夠更好地描述雜波的統(tǒng)計(jì)特性。文獻(xiàn)[7]中假定紋理分量為未知的確定性參量，推導(dǎo)了基于多先驗(yàn)譜的MIMO雷達(dá)廣義似然比檢測器，但其并未用到任何紋理分量的先驗(yàn)信息，因而本文采用逆伽馬分布作為紋理分量的先驗(yàn)分布，因?yàn)閷?shí)測雜波數(shù)據(jù)研究表明，對于高分辨力雷達(dá)，使用逆伽馬分布對紋理分量建模的復(fù)合高斯模型能夠很好地?cái)M合嚴(yán)重拖尾雜波[8]。

對于低慢小目標(biāo)，由于其自身運(yùn)動(dòng)，會(huì)出現(xiàn)多普勒擴(kuò)展效應(yīng)[9]，將目標(biāo)建模為秩1模型會(huì)損失較多的回波信息，所以使用多維目標(biāo)子空間模型才更符合實(shí)際場景[10-11]。此外傳統(tǒng)的檢測器要求獨(dú)立同分布的輔助數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)大于系統(tǒng)維數(shù)的兩倍時(shí)，才能保證檢測性能相比于最優(yōu)處理時(shí)的平均信雜比損失在3 dB以內(nèi)[12]，這在非均勻雜波環(huán)境下很難做到。針對上述問題，結(jié)合低慢小目標(biāo)特性，提出了基于多先驗(yàn)譜與目標(biāo)子空間算法的低慢小目標(biāo)檢測器（T-MDET）。

1 信號(hào)模型

假設(shè)雷達(dá)系統(tǒng)接收數(shù)據(jù)為N維，使用多維目標(biāo)子空間模型對目標(biāo)信號(hào)進(jìn)行建模，復(fù)合高斯雜波中低慢小目標(biāo)檢測問題可以描述為如下二元檢測問題：

現(xiàn)假設(shè)待檢測單元雜波矢量與訓(xùn)練數(shù)據(jù)具有相同的分布，但兩者的協(xié)方差存在一個(gè)比例系數(shù)γ，即，其中γ稱為能量尺度，且當(dāng)γ=1時(shí)表示均勻雜波環(huán)境。定義X=R-1，因而觀測數(shù)據(jù)在假設(shè)Hi，i=0，1下的聯(lián)合概率密度函數(shù)為：

其中，Γ（·）表示伽馬函數(shù)，αk，βk分別表示形狀參量和尺度參量。

設(shè)在H0下，，在H1下，那么，聯(lián)合式（2）、式（3），對紋理分量積分得到的結(jié)果如式（4）所示：

與此同時(shí)，實(shí)際應(yīng)用中，可以利用多個(gè)先驗(yàn)雜波譜模型的結(jié)構(gòu)信息來減少對有效訓(xùn)練樣本數(shù)的需求，即假設(shè)X為先驗(yàn)雜波譜模型協(xié)方差矩陣的線性組合，屬于如下集合：

其中，Xi為已知的先驗(yàn)雜波譜，ti可采用最大似然估計(jì)得到[6]。

2 目標(biāo)子空間自適應(yīng)檢測器

2.1 參數(shù)估計(jì)

針對式（1）的二元檢測問題，可利用式（5）中協(xié)方差矩陣逆的先驗(yàn)結(jié)構(gòu)信息估計(jì)X和a的約束最大似然估計(jì)值（MLE）。這樣，就將檢測問題轉(zhuǎn)換成優(yōu)化問題，在假設(shè)H0和H1下的約束MLE分別是如式（6）定義的最優(yōu)化問題PH0和PH1的最優(yōu)解，其中，和。

由對數(shù)行列式的凹性質(zhì)以及凸函數(shù)非負(fù)加權(quán)求和仍是凸函數(shù)兩條性質(zhì)[13]可知：式（6）所示的最優(yōu)化問題是一個(gè)凸優(yōu)化問題，可以用MATLAB中凸優(yōu)化工具包CVX[14]獲得未知參數(shù)的最優(yōu)解。

2.1.1 假設(shè)H0下估計(jì)算

在假設(shè)H0下，待檢測單元不存在目標(biāo)，（y0，y1，…，yK）=（z0，z1，…，zK），那么直接用凸優(yōu)化工具包直接解決PH0凸優(yōu)化問題，得到協(xié)方差矩陣逆的約束MLE，同時(shí)利用一種次優(yōu)的估計(jì)算法對參數(shù)估計(jì)如表1所示。

表1 H0假設(shè)的參數(shù)估計(jì)

2.1.2 假設(shè)H1下估計(jì)算法

在假設(shè)H1下，待檢測單元存在目標(biāo)，即a不為0，那么需要迭代計(jì)算約束MLE和。在每一次迭代中，a的最大似然估計(jì)值可以表示為

具體估計(jì)算法步驟如表2所示。

表2 H1假設(shè)的參數(shù)估計(jì)

2.2 目標(biāo)子空間檢測器設(shè)計(jì)

將在1.1中獲得的未知參數(shù)的估計(jì)值，代入式（6），那么T-MDET檢測器為如式（8）所示，

3 仿真與性能分析

仿真時(shí)，設(shè)主數(shù)據(jù)和訓(xùn)練數(shù)據(jù)的紋理分量所滿足的逆伽馬分布的形狀參量和尺度參量均相同，即α0=…αK=α，β0=…βK=β，由此推導(dǎo)出傳統(tǒng)基于漸進(jìn)最大似然估計(jì)（AMLE）的GLRT檢測器為如式（9）所示。

式（10）中迭代次數(shù)選取5次，因?yàn)榈?次之后協(xié)方差性能提升不再明顯，初始化值取協(xié)方差矩陣逆的正則化樣本協(xié)方差矩陣估計(jì)值。同時(shí)假設(shè)待檢測單元雜波協(xié)方差矩陣滿足高斯型相關(guān)矩陣結(jié)構(gòu)，即

其中，ρc表示雜波一步滯后相關(guān)系數(shù)，fc表示雜波歸一化多普勒頻率。

假設(shè)多先驗(yàn)矩陣模型為高斯型矩陣，即R0=I，并且對于 1≤i≤H，有

其中，表示Kronecker函數(shù)，ρi表示第i個(gè)先驗(yàn)矩陣的一步滯后相關(guān)系數(shù)，fi表示其歸一化多普勒頻率。由此可得 Xi=Ri-1，0≤i≤H。

為計(jì)算檢測概率，需設(shè)置門限，采用蒙特卡洛仿真方法，次數(shù)為100/Pfa，檢測門限由固定虛警率仿真得到。為簡化計(jì)算，虛警概率選取為Pfa=10-2，需要指出的是此虛警概率是較高的，但對于低慢小目標(biāo)來說，因?yàn)槠涞吐√匦?，這么高的虛警概率也是合理的。同時(shí)令 N=8，H=20，β=α-1，r=2，ζ=0.01，ρc=0.90，fc=0.05，ρi=0.85，fi= 在 [-0.5，0.5] 上均勻分布，即

當(dāng)不使用目標(biāo)子空間信息時(shí)r=1，同時(shí)定義信雜比定義為

圖1（a）～ 圖 1（d）給出不同能量尺度和不同訓(xùn)練樣本數(shù)下，基于多先驗(yàn)譜模型與子空間算法結(jié)合、單獨(dú)基于多先驗(yàn)譜模型、單獨(dú)基于子空間算法和基于漸進(jìn)協(xié)方差矩陣估計(jì)的GLRT檢測器的性能對比。4幅圖中均表明T-MDET檢測器比傳統(tǒng)基于AML的GLRT檢測器性能要好。在均勻雜波環(huán)境下，γ=1，訓(xùn)練樣本數(shù)K＜2N時(shí)，傳統(tǒng)GLRT檢測器性能下降較大，而另外3種檢測器性能保持良好；在部分均勻環(huán)境下，即γ=0.7時(shí)，傳統(tǒng)基于AML的GLRT檢測器已喪失檢測功能，而T-AML檢測器利用目標(biāo)子空間信息，MDET檢測器利用雜波的先驗(yàn)結(jié)構(gòu)信息，T-MDET檢測器同時(shí)利用雜波先驗(yàn)信息和目標(biāo)子空間信息，雖然3種檢測器性能略有下降，但總體保持性能良好，尤其是T-MDET檢測器在訓(xùn)練數(shù)據(jù)足夠時(shí)，檢測概率同均勻情況非常接近。

4 結(jié)論

本文提出了基于先驗(yàn)譜模型的目標(biāo)子空間檢測器。該檢測器使用紋理分量為逆伽馬分布的復(fù)合高斯模型來描述雜波，利用多先驗(yàn)譜模型的線性組合來表示雜波協(xié)方差矩陣的逆，能在均勻和非均勻雜波背景下檢測低慢小目標(biāo)。仿真表明該檢測器比傳統(tǒng)基于AML的GLRT檢測器和基于多先驗(yàn)譜的MDET檢測器性能更好，能夠在均勻和非均勻環(huán)境下且訓(xùn)練樣本數(shù)不足的情況下保持很好的性能。