基于凸優(yōu)化提高M(jìn)IMO-STAP檢測性能的波形設(shè)計(jì)*

劉玉春，王洪雁

（1.周口師范學(xué)院機(jī)械與電氣工程學(xué)院，河南 周口 466000；2.大連大學(xué)信息工程學(xué)院，遼寧 大連 116622）

0 引言

近些年來，收發(fā)器均采用多個(gè)天線單元的雷達(dá)系統(tǒng)已成為國內(nèi)外雷達(dá)信號(hào)處理領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，此即所謂的多輸入多輸出（Multi-Input Multi-Output，MIMO）雷達(dá)[1]。MIMO雷達(dá)可以利用發(fā)射單元發(fā)射任意波形，此即波形分集的概念[1]。根據(jù)收發(fā)器陣元間距，MIMO雷達(dá)可分為以下兩類：分置MIMO雷達(dá)[2]以及共置 MIMO雷達(dá)[1]。前者基于收發(fā)間距較大的天線單元并發(fā)射設(shè)定波形以從不同角度觀察感興趣目標(biāo)，從而改善系統(tǒng)目標(biāo)檢測性能。相應(yīng)的，后者采用收發(fā)間距較小的天線單元以期從不同收發(fā)路徑得到一致的目標(biāo)雷達(dá)橫截面積（Radar Cross Sections，RCS），從而利用波形，分集增大接收陣列的虛擬孔徑[1]。由此，共置MIMO雷達(dá)相對(duì)于傳統(tǒng)相控陣?yán)走_(dá)而言具有明顯優(yōu)勢，比如，更好的參數(shù)辨識(shí)性能[3]，以及更加靈活的波束方向圖設(shè)計(jì)[4]。

作為新的寬帶低截獲手段，正交頻分復(fù)用（Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM）技術(shù)近年來受到越來越多關(guān)注[5]。OFDM雷達(dá)利用多個(gè)正交子載波并行檢測目標(biāo)，因而可有效克服由多徑效應(yīng)引起的頻率選擇性衰落，進(jìn)而提高系統(tǒng)的抗干擾性能。

為改善MIMO雷達(dá)的檢測性能，途徑之一為設(shè)計(jì)檢測器。非均勻雜波條件下，Wang Pu等人基于新的混合模型設(shè)計(jì)了恒虛警-最大似然檢測器（Constant False Alarm Ratio Generalized Likelihood Test，CFAR-GRLT）[6]。另一條途徑則通過設(shè)計(jì)發(fā)射波形。文獻(xiàn)[7]提出一種新的迭代方法以聯(lián)合優(yōu)化發(fā)射波形以及接收濾波器系數(shù)，最大化輸出信干噪比（Signal Inference Noise Ration，SINR），并最終提高系統(tǒng)的檢測性能。文獻(xiàn)[8]則基于互信息準(zhǔn)則設(shè)計(jì)發(fā)射波形從而提高自適應(yīng)分布式雷達(dá)的目標(biāo)檢測性能。

眾所周知，空時(shí)自適應(yīng)處理（Space Time Adaptive Processing，STAP）技術(shù)在雜波及干擾抑制方面具有巨大優(yōu)勢，因而可以顯著提高地面慢速目標(biāo)的檢測性能。D.W.Bliss等人首次將STAP概念引入MIMO雷達(dá)系統(tǒng)[9]?；跈E球波形函數(shù)的概念，文獻(xiàn)[10]提出了一種正交波形條件下的MIMO-STAP算法，和全域空時(shí)自適應(yīng)方法相比，所提方法具有較小的算法復(fù)雜度，有利于工程實(shí)現(xiàn)。H.Wang等人則通過設(shè)計(jì)發(fā)射波形以最大化輸出SINR，從而提高M(jìn)IMO-STAP檢測性能[11]。為舒緩MIMO-STAP檢測性能對(duì)初始參數(shù)估計(jì)誤差的敏感性，H.Wang等人考慮了穩(wěn)健波形設(shè)計(jì)[12]。此外，文獻(xiàn)[13]利用目標(biāo)的稀疏特性以及干擾的譜分布對(duì)OFDM-STAP進(jìn)行深入研究，從而改善地面慢速目標(biāo)的檢測性能。由上述討論可知，STAP檢測性能可通過綜合利用OFDM以及MIMO的優(yōu)勢獲得顯著提高，文獻(xiàn)[14]已針對(duì)此問題進(jìn)行了初步研究。

本文考慮了MIMO-OFDM雷達(dá)系統(tǒng)的波形優(yōu)化問題，以改善STAP對(duì)地面慢速目標(biāo)的檢測性能。業(yè)已證明，高斯噪聲條件下，最大化輸出SINR等價(jià)于最大化系統(tǒng)檢測概率，因此，本文通過設(shè)計(jì)具有恒模約束的發(fā)射波形以最大化輸出SINR，從而提高STAP檢測性能。為求解所得復(fù)雜非線性問題，本文首先將非凸約束-恒模約束松弛為凸約束-低峰均比（Peak-to-Average-Rate，PAR）約束以減少計(jì)算復(fù)雜度，從而利于工程實(shí)現(xiàn)，而后提出一種新的基于對(duì)角加載（Diagonal Loading，DL）[15]的方法，以將此問題轉(zhuǎn)化為半定規(guī)劃問題（Semidefinite Programming，SDP）[16]，進(jìn)而此問題可利用諸如最陡梯度下降法獲得高效求解從而方便硬件實(shí)現(xiàn)。

1 問題描述

本文采用的MIMO雷達(dá)中收發(fā)陣列皆為線性分布陣列且平行。發(fā)收陣元數(shù)分別為M，N，且收發(fā)陣元間隔分別為dR，dT。目標(biāo)相對(duì)于收發(fā)陣列具有相同觀測角，且以速度vt向雷達(dá)系統(tǒng)移動(dòng)。位于固定高度為h的雷達(dá)系統(tǒng)以恒定速度v平行于收發(fā)陣列移動(dòng)。每個(gè)發(fā)射陣元發(fā)射一個(gè)OFDM子載波信號(hào)，且在每個(gè)相干處理間隔（CPI，Coherent Processing Interval）以固定重復(fù)周期（PRI，Pulse Repetition Interval）T發(fā)射L個(gè)脈沖。

基于上述，對(duì)于第n個(gè)收陣元，第l個(gè)PRI中接收信號(hào)可表示為：

設(shè)目標(biāo)所在距離單元的反射雜波可建模為NC（NC＞＞NML）個(gè)雜波反射塊的疊加，令，，則經(jīng)過下變頻，式（1）可表示如下：

對(duì)于第l個(gè)PRI，所有接收單元的接收數(shù)據(jù)可表示為：

匹配濾波器輸出可重寫為如下矢量：

基于式（5），全部L個(gè)空時(shí)快拍可表示如下：

將式（5）代入式（6），可得：

基于最小方差畸變（MVDR）準(zhǔn)則[17]，最優(yōu)輸出SINR可表示為：

其中，

假設(shè)雜波與干擾加噪聲項(xiàng)不相關(guān)[17]，則式（9）可重寫如下：

根據(jù)文獻(xiàn)[17]可知，ρi可假設(shè)為服從均值為0，方差為σi2的獨(dú)立高斯分布。由此，式（10）可重寫為：

將式（11）代入式（8）可得：

根據(jù)矩陣求逆定理[18]，式（12）可重新表示為：

將式（14）代入式（13）可得：

需要注意的是，在實(shí)際應(yīng)用中，為了避免非線性效應(yīng)帶來的波形畸變，雷達(dá)發(fā)射機(jī)必須工作在飽和狀態(tài)，從而發(fā)射波形須具有恒模形態(tài)。

基于上述討論，在發(fā)射功率及恒模約束下，最大化MIMO-OFDM-STAP檢測概率的波形優(yōu)化問題可表述如下：

式中，Cm為第m個(gè)發(fā)射波形的幅度，第3項(xiàng)約束是由于每個(gè)發(fā)射陣元的發(fā)射功率須大于等于0[4]。

明顯地，此波形優(yōu)化問題包含了恒模約束，因而為 NP 問題[16]。同時(shí)，由于且，則為非定矩陣[18]。因此，優(yōu)化問題式（16）的目標(biāo)函數(shù)為關(guān)于am非常復(fù)雜的非線性函數(shù)。因而，此問題不容易利用諸如凸優(yōu)化[16]等傳統(tǒng)方法進(jìn)行求解。另外，如果采用數(shù)值方法，比如梯度法，進(jìn)行求解，則可能出現(xiàn)收斂問題。此問題難以求解對(duì)波形設(shè)計(jì)在實(shí)際工程中應(yīng)用非常不利。

2 基于DL的波形設(shè)計(jì)方法

為求解非線性優(yōu)化問題式（16），須先處理恒模約束。根據(jù)文獻(xiàn)[4]，恒模約束可等價(jià)為低PAR約束，即：

根據(jù)式（17），優(yōu)化問題式（16）可等價(jià)為：

比較式（20）及式（16）中的約束可知，通過將非凸約束-恒模約束松弛為凸約束-低峰均比約束，本文將復(fù)雜的非線性約束松弛為較為簡單的凸約束以減少計(jì)算復(fù)雜度，從而利于工程實(shí)現(xiàn)。

利用矩陣求逆定理，可得：

將上式代入式（22），則

此問題等價(jià)于

式中，t為輔助優(yōu)化變量。

根據(jù)如下定理，優(yōu)化問題式（26）可表述為SDP問題。

定理（Schur補(bǔ)）[18]：設(shè)為厄米特矩陣且，則成立，當(dāng)且僅當(dāng)，為Z的Schur補(bǔ)。

基于上述定理，式（26）可轉(zhuǎn)化為如下SDP問題：

式（27）可由文獻(xiàn)[19]開發(fā)的CVX工具箱高效求解。需要注意的是，式（27）的求解可利用諸如最度梯度下降法獲得最優(yōu)解，且計(jì)算量較小，從而非常便于硬件實(shí)現(xiàn)。

3 仿真結(jié)果及分析

通過與文獻(xiàn)[11]提出的MIMO-STAP方法以及非相關(guān)波形比較驗(yàn)證所提方法的有效性。本文中，所使用雷達(dá)為發(fā)射接收陣元數(shù)皆為3的機(jī)載雷達(dá)，且具有如下配置：發(fā)射接收陣列中相鄰陣元間距皆為半波長，記為MIMO雷達(dá)A，發(fā)射陣列相鄰陣元間距為1.5倍波長，接收陣列相鄰陣元間距為半波長，記為MIMO雷達(dá)B。設(shè)置脈沖重復(fù)頻率（PRF）使得雜波脊斜率β=2，PRF為T=1/4 000 s。載波頻率為f0=3 GHz。每個(gè)CPI中發(fā)射脈沖個(gè)數(shù)為L=3，多普勒頻率為fD=0.064 9。雷達(dá)平臺(tái)高度為9 km，速度為v=200 m/s，目標(biāo)斜距為12.728 km。陣列信噪比（ASNR）定義為PMN/σw2，取值范圍為10dB～50dB，σw2為加性噪聲的方差。具有單位幅度的感興趣目標(biāo)位于-4°，目標(biāo)速度為vt=20.45 m/s。假設(shè)雜波塊均勻分布于目標(biāo)所在距離環(huán)，且雜噪比（CNR）取值范圍為10 dB～50 dB。由于接收陣元個(gè)數(shù)的限制，本文假設(shè)場景中存在兩個(gè)發(fā)射與MIMO雷達(dá)信號(hào)不相關(guān)的高斯信號(hào)的干擾源，分別位于15°以及-20°。

本文通過以下兩種情況驗(yàn)證所提方法的有效性：確知參數(shù)下輸出SINR隨ASNR或CNR的變化，以及初始參數(shù)估計(jì)誤差對(duì)輸出SINR的影響。

3.1 確知參數(shù)下輸出SINR隨ASNR或CNR的變化

首先所提方法可以得到ASNR=CNR=30 dB條件最優(yōu)發(fā)射波束方向圖，如圖1所示。由圖可知，所提方法在目標(biāo)所在位置有最大的增益，這說明雷達(dá)發(fā)射功率集中于感興趣目標(biāo)，因而可提高輸出SINR，從而改善MIMO雷達(dá)的檢測性能。此外，可以看到圖1（b）中存在柵瓣，這是由于MIMO雷達(dá)B的稀疏發(fā)射陣列所致。

所提方法，MIMO-STAP方法以及非相關(guān)波形得到的輸出SINR與ASNR或CNR的關(guān)系如圖2所示。明顯地，所得的3個(gè)輸出SINR皆隨ASNR增加而增加，隨CNR增加而減少。并且，相較于MIMO-STAP方法以及非相關(guān)波形，所提方法可顯著提高輸出SINR，這是由于所提方法綜合利用MIMO的空域分集以及OFDM頻域分集的優(yōu)勢，而文獻(xiàn)[11]所提的MIMO-STAP方法僅僅利用MIMO的空域分集。此外，比較圖 2中的（a）和（b）或（c）和（d），可知MIMO雷達(dá)B得到的輸出SINR要優(yōu)于MIMO雷達(dá)A，這是由于前者形成的虛擬陣列長度大于后者。

3.2 初始參數(shù)估計(jì)誤差對(duì)輸出SINR的影響

ASNR=30 dB及CNR=30 dB條件下，所提方法得到的輸出SINR與初始角度或歸一化多普勒頻率估計(jì)誤差關(guān)系如圖3所示（其余參數(shù)設(shè)置與上述仿真相同）。由圖3可知，輸出SINR隨初始參數(shù)估計(jì)誤差變化非常明顯，此現(xiàn)象表明所提方法對(duì)初始參數(shù)估計(jì)誤差比較敏感。換言之，實(shí)際應(yīng)用中所用參數(shù)從接收數(shù)據(jù)估計(jì)得到時(shí)，所提方法性能會(huì)下降。因此，減緩這種敏感性的穩(wěn)健波形設(shè)計(jì)將在未來研究中加以重點(diǎn)關(guān)注。

4 結(jié)論

本文研究了復(fù)雜環(huán)境下提高STAP地面慢速目標(biāo)檢測性能的MIMO-OFDM雷達(dá)波形優(yōu)化問題?；谧畲蠡敵鯯INR準(zhǔn)則，本文首先推導(dǎo)了改善STAP檢測性能且具有恒模約束的波形優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表達(dá)。為求解得到的復(fù)雜非線性問題，本文首先將恒模非凸約束松弛為低峰均比凸約束，從而降低了運(yùn)算復(fù)雜度，利于波形設(shè)計(jì)的工程應(yīng)用。而后提出了一種新的基于DL的方法，此方法可將非線性問題轉(zhuǎn)化為SDP問題，因而可以通過諸如最度梯度下降法獲得高效求解，從而利于硬件實(shí)現(xiàn)。數(shù)值仿真表明，相較于MIMO-STAP方法以及非相關(guān)波形，所提方法可顯著提高輸出SINR，因而可明顯改善STAP檢測性能。需要注意的是，所需參數(shù)需從接收數(shù)據(jù)中估計(jì)時(shí)，所提方法性能可能會(huì)下降?？朔阅芟陆档穆窂街皇情_發(fā)穩(wěn)健波形設(shè)計(jì)方法。此問題在以后研究中會(huì)加以重點(diǎn)關(guān)注。