矩陣等價(jià)、相似、合同的區(qū)別與聯(lián)系

李伯忍

摘 要：矩陣的等價(jià)、相似與合同在線性代數(shù)課程教學(xué)中占據(jù)非常關(guān)鍵的地位，但是學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)這一部分的內(nèi)容往往很難準(zhǔn)確把握。為此，本文針對(duì)它們之間的區(qū)別和聯(lián)系進(jìn)行探討，為學(xué)生對(duì)這些概念的理解提供一定的幫助。

關(guān)鍵詞：等價(jià);相似;合同

中圖分類(lèi)號(hào)：G4 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ?doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2021.04.065

《線性代數(shù)》是大學(xué)數(shù)學(xué)中的一門(mén)非常重要的必修基礎(chǔ)課程。學(xué)好這一門(mén)課程，不僅有利于對(duì)學(xué)生的理解和邏輯推理能力的培養(yǎng)與訓(xùn)練，而且對(duì)其后續(xù)專(zhuān)業(yè)課程的學(xué)習(xí)也發(fā)揮著極其重要的支撐作用。

本文將就線性代數(shù)課程矩陣之間的非常重要的關(guān)系：矩陣的等價(jià)、相似與合同進(jìn)行討論，著重探討三者之間的區(qū)別與聯(lián)系，為學(xué)生對(duì)這些概念的理解提供一定的支持。

1 基本概念

矩陣等價(jià)定義：假定矩陣A和B為同型矩陣，若存在可逆的矩陣P，Q，滿足PAQ=B，那么稱(chēng)A和B是等價(jià)的。

矩陣相似定義：假定矩陣A和B均為n階方陣，若存在可逆的矩陣P，滿足P-1AP=B，那么稱(chēng)A和B是相似的。

矩陣合同定義：假定矩陣A和B均為n階方陣，若存在可逆的矩陣P，滿足PTAP=B，那么稱(chēng)A和B是合同的。

2 區(qū)別和聯(lián)系

（1）矩陣的等價(jià)只是要求矩陣A和B是具有相同的行和列的矩陣，不要求必須是方形矩陣，但是相似和合同則要求矩陣A和B必定是同階的方形矩陣。

（2）等價(jià)的矩陣、相似的矩陣以及合同的矩陣均是同可逆或者同為不可逆。

（3）等價(jià)的矩陣、相似的矩陣以及合同的矩陣均滿足反身性、對(duì)稱(chēng)性和傳遞性。

（4）矩陣的等價(jià)、相似以及矩陣合同實(shí)際上均是矩陣和矩陣之間進(jìn)行初等變換，只是初等變換的要求有些區(qū)別。

詳細(xì)的說(shuō)明展示如下：

依據(jù)可逆矩陣的充要條件，n階方形矩陣陣A是可逆的矩陣A等于一系列初等矩陣的乘積。

故矩陣A和B等價(jià)的條件PAQ=B可轉(zhuǎn)化成：存在m階初等矩陣P1，P2，…Ps和n階初等矩陣Q1，Q2，…Qt，使得Ps…P2P1AQ1Q2…Qt=B。

相似的條件P-1AP=B可轉(zhuǎn)化成：存在n階初等矩陣P1，P2，…Ps使得Ps-1…P2-1P1-1AP1P2…Ps=B。

合同的條件PTAP=B可轉(zhuǎn)化成：存在n階初等矩陣P1，P2，…Ps使得PsT…P2TP1TAP1P2…Ps=B。

可見(jiàn)等價(jià)變換是對(duì)矩陣作一系列的有限次初等行或列變換;相似變換和合同變換也是作一系列的有限次初等行或列變換，但行變換的次數(shù)與列變換的次數(shù)是相同的，而且矩陣行變換與矩陣列變換的變換方式是相對(duì)應(yīng)的;相似變換要求作一次矩陣列變換，相應(yīng)的也要求作一次矩陣逆行變換;合同變換要求作一次矩陣列變換，也相應(yīng)的作一次相同的矩陣行變換。

3 文氏關(guān)系圖

4 如何判定矩陣與矩陣之間的相互關(guān)系

在判定矩陣的等價(jià)關(guān)系、相似以及合同關(guān)系時(shí)，滿足矩陣等價(jià)、矩陣相似或者矩陣合同的兩個(gè)矩陣的秩都必定相等，再適當(dāng)?shù)睦锰卣髦蹬c正負(fù)慣性指數(shù)來(lái)判定矩陣相似或者矩陣合同。

（1）矩陣A與B等價(jià)R（A）=R（B）。

（2）判定矩陣相似的四個(gè)必要條件：①A與B的秩相等;②A與B的特征值相同;③A與B的特征多項(xiàng)式相等;④A與B的行列式相等。

假定滿足上述的必要性，我們還不可以判定矩陣是相似的，如何判別兩個(gè)一般矩陣的相似，一般考試大綱不做要求，但如果矩陣A和B均與一個(gè)對(duì)角陣相似，那么可由相似矩陣滿足傳遞性，可以知道A和B是相似的。

（3）對(duì)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，有一些非常重要的結(jié)論，可用于判斷矩陣是相似的或者是合同的：①A與B均是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣并且是相似的矩陣A和B的特征值相同;②A與B均是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣并且是合同的二次型xTAx和xTBx的正負(fù)慣性指數(shù)是相同的;③A與B均是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣并且是相似的A與B必定是合同的。

矩陣的合同主要應(yīng)用于二次型，故判定矩陣是否合同的前提主要是在實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的前提下進(jìn)行，所以實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A和B是否合同，只需要判定矩陣A與B的特征值符號(hào)是否一樣;矩陣相似是指兩個(gè)矩陣的特征值相同;矩陣等價(jià)是指兩個(gè)矩陣的秩相等。

5 矩陣的等價(jià)、相似以及合同關(guān)系，有下面的幾個(gè)結(jié)論

（1）矩陣A和B是相似的，則矩陣A和B一定是等價(jià)的，反之不一定成立。

（2）矩陣A和B是合同的，則矩陣A和B一定是等價(jià)的，反之不一定成立。

（3）若矩陣A和B均是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣且相似，則矩陣A和B一定是合同的，反之則不一定成立。

參考文獻(xiàn)

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