復合控制導彈反步滑模IGC自適應(yīng)設(shè)計方法

夏 川, 董朝陽, 王 青, 程昊宇

(1. 北京航空航天大學航空科學與工程學院, 北京 100191; 2. 北京航空航天大學自動化科學與電氣工程學院, 北京 100191; 3. 西北工業(yè)大學航天學院, 陜西 西安 710072)

0 引 言

傳統(tǒng)的導彈制導與控制系統(tǒng)分別設(shè)計制導回路和控制回路,在此框架下,需要反復設(shè)計兩個回路,無法達到最優(yōu)性能,且未考慮兩個回路間的耦合,全局穩(wěn)定性不能在數(shù)學上得到嚴格證明[1]。制導與控制一體化(integrated guidance and control, IGC)[2-3]方法根據(jù)彈目相對運動狀態(tài)直接產(chǎn)生控制指令,能夠提高導彈機動能力、作戰(zhàn)響應(yīng)速度及攻擊精度。

國內(nèi)外已有學者對此進行了許多有意義的研究,文獻[4]選取合適的二次加權(quán)函數(shù)將制導與控制問題轉(zhuǎn)化為仿射動態(tài)約束下的離散時間有限時域二次優(yōu)化問題。文獻[5]基于反步滑?？刂圃O(shè)計模糊逼近器,對內(nèi)外不確定性進行補償,但由控制器直接求解出的控制量較大,響應(yīng)劇烈。文獻[6]將一類高速旋轉(zhuǎn)導彈線性化為一個線性參數(shù)時變(linear parameter-varying,LPV)系統(tǒng),并設(shè)計IGC算法,消除了旋轉(zhuǎn)引起的橫向耦合。文獻[7]針對一類舵機具有開關(guān)特性的導彈,設(shè)計滑?？刂破?實現(xiàn)了對不精確建模和目標機動的誤差抑制。文獻[8]建立了高超聲速飛行器再入段IGC嚴反饋模型,通過自適應(yīng)動態(tài)面將10階非線性不確定系統(tǒng)的控制器設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為輸出調(diào)節(jié)問題,證明了系統(tǒng)一致最終有界。

現(xiàn)代戰(zhàn)爭中目標機動性越來越高,入侵空天領(lǐng)域越來越大,例如對臨近空間高機動性目標進行攔截和打擊時,空氣稀薄,氣動舵面甚至失效。直接力/氣動力復合控制技術(shù)可有效解決這一問題,提高導彈動態(tài)性能。然而,橫側(cè)向噴流與空氣流場發(fā)生的復雜干擾效應(yīng)將會出現(xiàn)于脈沖發(fā)動機作動時,導彈飛行氣動區(qū)域內(nèi)會出現(xiàn)分離激波和分離渦等復雜的氣動現(xiàn)象[9],對控制系統(tǒng)的抗干擾設(shè)計提出了更高的要求。文獻[10]基于擴張狀態(tài)觀測器(extended state observer,ESO)為反射鏡穩(wěn)定平臺設(shè)計了一類自適應(yīng)魯棒控制器,對模型誤差和外界干擾力矩具有魯棒性。文獻[11]設(shè)計了一類具有誤差補償?shù)木€性ESO,但自適應(yīng)滑模控制器的參數(shù)切換會引起觀測器輸出小幅抖動現(xiàn)象。文獻[12]提出一種模糊逼近方法,用以逼近未知不確定性,但需假設(shè)狀態(tài)的范圍,模糊基函數(shù)選取較為隨意。文獻[13]為吸氣式高超聲速飛行器設(shè)計了非線性誤差觀測器,保證了在輸入限幅、氣動參數(shù)不確定情況下的誤差觀測效果。

針對直接力/氣動力復合導彈,在發(fā)動機約束、舵偏約束等多約束條件下,如何發(fā)揮多執(zhí)行機構(gòu)優(yōu)勢,使得控制達到最優(yōu)是需要解決的問題?？刂品峙涫墙鉀Q這類問題的有效方法[14-16]。傳統(tǒng)方法先設(shè)計氣動控制回路,再進行直接力分配設(shè)計,這樣兩步分開的做法避免了控制系統(tǒng)綜合設(shè)計的困難,但設(shè)計經(jīng)驗性很強,且需要反復設(shè)計才能獲得較好的控制策略[17]。文獻[18]在執(zhí)行機構(gòu)不對稱性和飽和約束情況下,基于凸優(yōu)化和非線性規(guī)劃,設(shè)計回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制分配器,但通過實驗獲取分配器,缺乏理論依據(jù)效率較低。文獻[19]提出一種修正的廣義逆矩陣方法,將控制分配問題抽象為約束條件下的參數(shù)化輸入矩陣歸零問題,但推導復雜,難以運用于工程實踐。

本文在以上研究的基礎(chǔ)上,使用ESO對氣動參數(shù)攝動、噴流干擾、建模誤差等復合干擾進行觀測,并設(shè)計自適應(yīng)律對觀測誤差進行補償;使用反步法設(shè)計滑?？刂破?通過自適應(yīng)補償來抑制復合干擾對系統(tǒng)的影響;隨后定義了一個虛擬控制力矩,規(guī)避了在控制器中直接求解控制量,并基于梯度下降法和混合整數(shù)線性規(guī)劃提出一種自適應(yīng)控制分配策略,充分使用了控制系統(tǒng)中誤差信息,在誤差增長快時能夠提高解算的實時性和精度,使系統(tǒng)快速收斂,誤差不再增長。最后仿真驗證了IGC控制器設(shè)計方法、控制分配策略的有效性。

1 IGC系統(tǒng)建模

以導彈俯仰通道為例來說明直接力/氣動力復合控制導彈的IGC問題,偏航、滾轉(zhuǎn)通道可以通過設(shè)計協(xié)調(diào)通道與俯仰通道解耦[20-21],在此不再贅述。

1.1 彈目相對運動模型

彈目相對運動關(guān)系如圖1所示,XOY為慣性系,M和T分別代表導彈和目標,R為彈目相對距離,λ為視線角,VM、VT分別為導彈和目標速度,θM、θT分別為導彈和目標的彈道傾角。

圖1 彈目相對運動關(guān)系圖Fig.1 Missile and target relative motion geometry

由圖1可得導彈和目標在縱向平面的相對運動方程為

(1)

(2)

對式(2)求導可得

(3)

(4)

控制系統(tǒng)的設(shè)計目標是使相對速度Vr→0,相對距離R→0。

1.2 直接力模型

當氣動舵效率不足時,為提高導彈動態(tài)響應(yīng),使用脈沖發(fā)動機產(chǎn)生側(cè)向力和力矩,如圖2所示,脈沖發(fā)動機共有10環(huán),每環(huán)18個,相鄰的兩環(huán)間隔10°交錯排列,令e為圈號,e=1,2,…,10,p為脈沖發(fā)動機在各自圈內(nèi)的編號。

圖2 脈沖發(fā)動機示意圖Fig.2 Diagram of pulse engine

彈體坐標系下不同位置的脈沖發(fā)動機產(chǎn)生的力矩[22]為

式中,當e為奇數(shù)時,e*=2;當e為偶數(shù)時,e*=1。

脈沖發(fā)動機一般成對使用,當導彈載重有限時,僅使用位于z軸和y軸上的4個脈沖發(fā)動機就能產(chǎn)生所需要的控制力矩。本文在縱向平面內(nèi)僅使用位于正y軸方向5個和負y軸方向5個共10個脈沖發(fā)動機。脈沖發(fā)動機安裝緊湊,忽略不同脈沖發(fā)動機與質(zhì)心的間距差別。

已知單個脈沖發(fā)動機的推力F隨時間的變化規(guī)律可近似為

(5)

式中,Fm為穩(wěn)態(tài)推力;τ為推力延遲時間;由于τ值較小,發(fā)動機較快達到穩(wěn)態(tài)噴流,關(guān)閉發(fā)動機時推力迅速衰減,通過近似將脈沖發(fā)動機特性描述為矩形脈沖,總的直接力Fc可表示為

Fc=nF

(6)

式中,n為一個噴流周期內(nèi),使用的脈沖發(fā)動機個數(shù),0≤n≤5;上次噴流后不能馬上再次使用標號相同的脈沖發(fā)動機,最小噴流間隔時間為t0。

1.3 IGC模型建立

縱向平面內(nèi)導彈動力學模型[23]為

(7)

式中,m為導彈質(zhì)量;α為攻角;ωz為俯仰角速度;?為俯仰角;Jz為導彈對z軸的轉(zhuǎn)動慣量;MZ為俯仰力矩，表示為

MZ=M0+Mδzδz+Mf

(8)

δz為升降舵偏角;Mδz為舵偏角力矩系數(shù);Mf=LTFc為脈沖發(fā)動機產(chǎn)生的力矩;LT為脈沖發(fā)動機到導彈質(zhì)心的距離,取平均值;M0=M0(α,M,h,Vt,ωz)為攻角,馬赫數(shù)和高度等因素引起的力矩,通常線性化[24]為

M0=Mαα+Mωzωz

(9)

其余力和力矩可寫為

δz)

(10)

(11)

末制導段導彈速度近似為常值不變[5],假設(shè)有界復合干擾為dv、dα、dωz,復合干擾包括模型誤差、脈沖噴流干擾及目標機動和氣動參數(shù)不確定性等,推導得到IGC模型為

(12)

(13)

(14)

(15)

式中

|di|≤di,max,i=1,2,3

系統(tǒng)受到噴流干擾產(chǎn)生的附加未知干擾力和力矩的影響,并且氣動參數(shù)存在攝動,目標存在機動。在復合干擾條件下,進一步設(shè)計控制器及控制分配策略。

2 制導控制律及控制分配策略設(shè)計

2.1 IGC控制器設(shè)計

設(shè)計控制律使式(15)表述的存在復合干擾的嚴格反饋非線性系統(tǒng)的狀態(tài)變量x1收斂至零,利用反步法分3步進行IGC設(shè)計。

步驟1對式(15)中子系統(tǒng)1

(16)

進行外環(huán)設(shè)計,設(shè)計滑動模態(tài)面為

s1=x1

(17)

當系統(tǒng)在該滑模面滑動時,狀態(tài)將快速下降,使得狀態(tài)x1→0,將s1對時間t求導得

(18)

由于d1為系統(tǒng)內(nèi)外干擾,無法預(yù)知,設(shè)計式(19)所示的二階ESO對其進行觀測[25]。

(19)

式中,β11,β12為觀測器增益;函數(shù)fal(·)可以避免高頻震蕩,定義為

(20)

(21)

定義

觀測器的輸出滿足

Z11→x1,Z12→d1

(22)

為消除逼近誤差E12的影響,引入自適應(yīng)律對觀測誤差進行補償,以提高制導精度,減小脫靶量。定義x2為外環(huán)控制量,則虛擬控制指令x2c可寫為

(23)

(24)

式中,c1>0,γ1>0,ρ1>0為待設(shè)計的參數(shù)。自適應(yīng)律可以對系統(tǒng)誤差進行補償,減小系統(tǒng)控制誤差。

為避免下一步設(shè)計中對虛擬控制量求導,避免反步法設(shè)計中存在的“計算膨脹”問題,設(shè)計一階低通濾波器對虛擬控制量x2c進行濾波,即

(25)

(26)

將式(26)求導可得

(27)

與步驟1類似,采用ESO對未知復合干擾d2進行觀測

(28)

為補償觀測器的觀測誤差,將虛擬控制指令x3c寫為

(29)

(30)

(31)

步驟3對式(15)中的子系統(tǒng)3進行內(nèi)環(huán)設(shè)計,定義復合虛擬控制力矩為

v=bu

(32)

其與真實力矩的關(guān)系為

(33)

(34)

對時間t求導可得

(35)

同理,采用ESO對未知復合干擾d3進行觀測，即

(36)

為補償干擾觀測誤差,復合虛擬力矩v可以寫為

(37)

(38)

綜上所述,給出完整的一體化控制律為

(39)

由式(39)可看出,通過引入復合虛擬控制力矩項,規(guī)避了直接在控制器中求解控制量,通過控制分配策略,即可求解出所需的舵偏量和使用的脈沖發(fā)動機個數(shù)。

2.2 自適應(yīng)控制分配策略

定義整體精度為

χ=v-bu

(40)

v為虛擬控制力矩,b∈R1×2為控制效率矩陣,u∈R2×1為控制量。操縱面偏轉(zhuǎn)位置和偏轉(zhuǎn)速率滿足

(41)

假設(shè)計算機離散系統(tǒng)控制周期為T,操縱面偏轉(zhuǎn)的位置約束集合為凸集，表示為

(42)

(43)

脈沖發(fā)動機的使用約束集合為

(44)

s.t.δ∈Ωδ,n∈Ωn

式中,Wn和Wδz為脈沖發(fā)動機和舵機使用懲罰權(quán)重,均為正常值,為適應(yīng)分配實時性要求,減少控制分配中的抖振現(xiàn)象,使得控制量平穩(wěn),減少不必要的控制量飽和,取整體精度權(quán)值Wu為變權(quán)值,其更新策略為

Wu(k+1)=Wu(k)+ηΔWu(k)

(45)

控制目標是使誤差滑模面趨于0,使用梯度下降法進行在線自適應(yīng)調(diào)整，即

(46)

式中,si為誤差滑模面；η為自適應(yīng)調(diào)節(jié)因子，表示為

(47)

整個控制系統(tǒng)如圖3所示。

圖3 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Structure of control system

控制分配算法本質(zhì)上屬于迭代算法,由于控制系統(tǒng)實時性要求較高,設(shè)計迭代終止條件為分配權(quán)值限制和迭代次數(shù)限制，即

(48)

式中,β為容忍的權(quán)值限；M0為最大迭代次數(shù)。若系統(tǒng)以增大的速度遠離滑模面,則按照梯度法增大整體精度權(quán)重Wu,此時使得權(quán)值變化大,系統(tǒng)更易達到權(quán)值限制,從而提高實際控制力矩對虛擬控制力矩的跟蹤精度,并使算法易收斂,提高實時性,使系統(tǒng)快速趨于滑模面;若誤差面增長較緩慢,則對實時性要求不高,可充分尋優(yōu)?？刂品峙洳呗阅苁瓜到y(tǒng)逼近所要求的虛擬控制力矩。

2.3 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

定理1對于不確定系統(tǒng)式(15),采用ESO對復合干擾d1、d2和d3進行觀測,使用在線自適應(yīng)律式(24)、式(30)和式(38)對觀測誤差進行補償,并取滑?？刂坡墒?39),則閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)跟蹤誤差將在有限時間內(nèi)收斂至原點附近任意小的緊集,x1趨于0。

取準Lyapunov函數(shù)

(49)

式(49)對時間求導得

(50)

將式(22)、式(23)、式(26)、式(28)、式(29)、式(34)、式(36)、式(37)代入式(50),得

(51)

將在線自適應(yīng)律式(24)、式(30)和式(38)代入式(51),并由觀測誤差有上界可得

(52)

(53)

必存在非負的連續(xù)函數(shù)ξj(j=1,2)使得

(54)

將式(54)代入到式(53)可得

(55)

由式(53)和式(55),可得

(56)

應(yīng)用Young不等式ab

(57)

將式(56)和式(57)代入到式(52)可得

(58)

取濾波器時間常數(shù)τi足夠小,則

此時有

則式(58)退化為

(59)

(60)

將式(60)代入到式(59)可得

這意味著系統(tǒng)跟蹤誤差si最終有界穩(wěn)定,并滿足

至此,可以證明閉環(huán)系統(tǒng)一致最終有界,誤差收斂至距離原點任意小的鄰域,且此鄰域大小與有界復合干擾無關(guān),僅由控制器設(shè)計參數(shù)決定,最終使得x1→0。

證畢

3 仿真驗證

為驗證本文提出了控制方法及分配策略的正確性、高精度,針對如下模型進行仿真驗證。

導彈速度初始速度1 197 m/s,初始彈道傾角θM0為30°,初始攻角α(0)為10°,俯仰角速率ωz(0)為0,導彈初始位置為(xM,yM)=(0 m,11 000 m);目標初始速度為926 m/s,初始彈道傾角θT0為160°,目標初始位置為(xT,yT)=(23 000 m,28 000 m)。導彈標稱氣動力參數(shù)為

設(shè)計控制器參數(shù)k1=29,k2=1.6,k3=1.6,自適應(yīng)律參數(shù)為

c1=c2=c3=1.5;γ1=γ2=1

γ3=0.01;ρ1=ρ2=ρ3=0.000 1

ESO參數(shù)為

β11=β21=β31=5;β12=β22=β32=30

μ11=μ21=μ31=0.25;δ1=δ1=δ1=0.2

分配策略權(quán)重取為:Wn=1,Wδz=0.1,Wu初值取Wu(0)=100,其他參數(shù)取κ=-0.1,權(quán)值限β=1.2,最大迭代次數(shù)M0=500。

對本文提出的方法在標稱情況下和存在復合干擾情況下分別進行仿真。標稱情況綜合擾動信號d1=d2=d3=0;復合干擾包括氣動參數(shù)存在±20%不確定性,目標以6g振幅、周期3/π正弦機動,噴流干擾d11=0.1sin(πt/2),d21=0.2sin(πt/2)和d31=0.1sin(πt/2)。

使用文獻[5]中的無控制分配的自適應(yīng)反步滑模控制設(shè)計方法作為對比,表1和圖4～圖14為結(jié)果對比。

表1 脫靶量和攔截時間

圖4 彈目相對距離RFig.4 History of missile and target relative distacnce R

圖5 復合干擾d1Fig.5 History of disturbance d1

圖6 復合干擾d2Fig.6 History of disturbance d2

圖7 復合干擾d3Fig.7 History of disturbance d3

圖8 攻角αFig.8 History of attack angle α

圖9 俯仰角速率ωzFig.9 History of pitch rate ωz

圖10 升降舵偏角δzFig.10 History of deflection δz

圖11 直接脈沖力Fig.11 History of pulse engine

圖13 滑模面s2Fig.13 History of surface s2

圖14 滑模面s3Fig.14 History of surface s3

由表1和圖4可以看出,本文提出的一體化控制及控制分配策略具有較小的脫靶量,并能快速攔截目標。

圖5～圖7為復合干擾觀測曲線,可以看出,本文設(shè)計的ESO能夠準確估計系統(tǒng)中存在的隨機擾動,說明ESO對隨機擾動觀測較為精確且具有魯棒性。

圖8～圖10分別為攻角、俯仰角速率、升降舵偏角響應(yīng)曲線,可看出文獻[5]無控制分配的滑模反步設(shè)計方法響應(yīng)量大,變化劇烈,且舵面存在飽和現(xiàn)象;而本文提出的方法,攻角、俯仰角速率、舵偏角響應(yīng)明顯減小且變化平緩,無飽和現(xiàn)象;圖11為直接力使用情況,直接脈沖力在存在復合干擾時動作頻繁,而文獻[5]直接求解出的控制量未充分利用直接力,導致舵偏飽和。

圖12～圖14為設(shè)計的滑模面響應(yīng)曲線,本文設(shè)計方法快速收斂且無增長,最終趨近于零。

綜上,本文設(shè)計方法能夠使得導彈快速精確打擊到目標,自適應(yīng)干擾補償能夠使系統(tǒng)對復合干擾具有魯棒性,自適應(yīng)控制分配避免了反復設(shè)計,減小了舵偏量,使得系統(tǒng)狀態(tài)量響應(yīng)小,變化平滑,滑模誤差面無震蕩較快收斂。

4 結(jié) 論

本文針對直接力/氣動力復合控制導彈的IGC問題,設(shè)計ESO對系統(tǒng)復合干擾進行觀測,構(gòu)造自適應(yīng)誤差滑模面補償觀測誤差,并使用反步法設(shè)計控制器,實現(xiàn)對復合干擾的抑制。

本文提出一種自適應(yīng)控制分配方法,綜合考慮控制的實時性和精度要求,使用滑模誤差對控制分配權(quán)值進行在線自適應(yīng)調(diào)整,設(shè)計算法迭代終止條件,在誤差增大時提高實時性和分配精度,加快系統(tǒng)收斂。

仿真結(jié)果表明,所設(shè)計的廣義控制律和控制分配策略可以對復合干擾進行補償,使得動態(tài)過程較為平滑,控制量較小,提高了系統(tǒng)魯棒性,脫靶量較小。