考慮節(jié)點(diǎn)過載的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效模型

郝羽成, 李成兵, 魏 磊

(1. 北京交通大學(xué)交通運(yùn)輸學(xué)院, 北京 100044; 2. 內(nèi)蒙古大學(xué)交通學(xué)院, 內(nèi)蒙古 呼和浩特 010070;3. 北京航空航天大學(xué)交通科學(xué)與工程學(xué)院, 北京 100191)

0 引 言

隨著網(wǎng)絡(luò)的規(guī)?；?、復(fù)雜化,微小故障均可能會(huì)對(duì)網(wǎng)絡(luò)的抗毀性產(chǎn)生嚴(yán)重影響。由于網(wǎng)絡(luò)中某節(jié)點(diǎn)失效,造成負(fù)載重新分配使得其他節(jié)點(diǎn)相繼失效,如此循環(huán)易造成網(wǎng)絡(luò)大規(guī)模癱瘓。在交通網(wǎng)絡(luò)[1-2]、電力網(wǎng)絡(luò)[3-5]、通信網(wǎng)絡(luò)[6]、指揮控制網(wǎng)絡(luò)[7-8]、供水網(wǎng)絡(luò)[9-10]方面,級(jí)聯(lián)失效現(xiàn)象已引起學(xué)者們的關(guān)注。但是,現(xiàn)實(shí)中節(jié)點(diǎn)通常存在些許冗余能力,并非負(fù)載超過其容量就必定失效,這種情況即為節(jié)點(diǎn)的過載狀態(tài)。因此,如何在級(jí)聯(lián)失效過程中減少過載節(jié)點(diǎn)數(shù)并緩解其承擔(dān)的負(fù)載量以增強(qiáng)抗毀性,將成為網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)中研究的重要問題。

在級(jí)聯(lián)失效模型方面,文獻(xiàn)[11]最早提出負(fù)載容量級(jí)聯(lián)失效模型,根據(jù)節(jié)點(diǎn)度為負(fù)載賦值并進(jìn)行仿真。文獻(xiàn)[12]提出非線性容量負(fù)載模型,從網(wǎng)絡(luò)費(fèi)用以及魯棒性兩方面對(duì)多種網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行研究。文獻(xiàn)[13]分別對(duì)小世界網(wǎng)絡(luò)與無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)失效現(xiàn)象進(jìn)行研究,發(fā)現(xiàn)兩種網(wǎng)絡(luò)在不同情況下所呈現(xiàn)的抗毀性相反。在加權(quán)網(wǎng)絡(luò)模型方面,文獻(xiàn)[14-15]分別以節(jié)點(diǎn)度、介數(shù)為依據(jù)進(jìn)行加權(quán),結(jié)果表明參數(shù)在特定值下網(wǎng)絡(luò)抵抗級(jí)聯(lián)失效的魯棒性最強(qiáng)。文獻(xiàn)[16]基于介數(shù)、節(jié)點(diǎn)度提出了一種連邊加權(quán)模型,發(fā)現(xiàn)特定參數(shù)組合可以增強(qiáng)網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。文獻(xiàn)[17]根據(jù)節(jié)點(diǎn)與相鄰節(jié)點(diǎn)的權(quán)重提出了一種級(jí)聯(lián)失效模型。在失效節(jié)點(diǎn)的負(fù)載分配范圍方面,文獻(xiàn)[18]提出了一種負(fù)載局域分配策略的級(jí)聯(lián)失效模型,發(fā)現(xiàn)無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建的參數(shù)與魯棒性相關(guān)。文獻(xiàn)[19-20]根據(jù)負(fù)載局域、全局分配策略進(jìn)行了級(jí)聯(lián)失效仿真。在級(jí)聯(lián)失效優(yōu)化方面,文獻(xiàn)[21-22]分別從容量及其參數(shù)兩方面對(duì)級(jí)聯(lián)抗毀性進(jìn)行優(yōu)化。文獻(xiàn)[23]以進(jìn)化算法對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行演化,發(fā)現(xiàn)聚類系數(shù)、模塊化、路徑距離對(duì)于抵抗級(jí)聯(lián)失效現(xiàn)象存在顯著影響。在相依網(wǎng)絡(luò)方面,文獻(xiàn)[24-26]分別對(duì)小世界網(wǎng)絡(luò)模型與無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行了級(jí)聯(lián)失效仿真。

綜上所述,既有文獻(xiàn)大多未考慮節(jié)點(diǎn)的過載狀態(tài),失效均為確定性的模式,且缺乏對(duì)過載節(jié)點(diǎn)負(fù)載疏散的探討。然而在現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)中個(gè)體均具有一定彈性。譬如,在交通網(wǎng)絡(luò)中交叉口的負(fù)載大于容量時(shí),交叉口并非完全堵死,只是其運(yùn)行效率降低,負(fù)載的持續(xù)增加使其更易失效?；诖?本文考慮過載狀態(tài)并進(jìn)行研究,以過載系數(shù)描述節(jié)點(diǎn)對(duì)于負(fù)載的冗余能力,以失效概率描述失效的不確定性,以使級(jí)聯(lián)失效模型更貼近于實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中失效的情況,從而研究結(jié)果具有著較強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值。此外,這有助于拓展級(jí)聯(lián)失效研究的思路,對(duì)于網(wǎng)絡(luò)抵御級(jí)聯(lián)失效、增強(qiáng)抗毀性均存在著重要的理論以及現(xiàn)實(shí)意義。

1 考慮節(jié)點(diǎn)過載狀態(tài)的級(jí)聯(lián)失效模型

在既有的級(jí)聯(lián)失效模型中,初始階段所有節(jié)點(diǎn)的負(fù)載均小于其容量,節(jié)點(diǎn)處于正常狀態(tài);若負(fù)載大于其容量,則節(jié)點(diǎn)為失效狀態(tài)。在此,考慮節(jié)點(diǎn)對(duì)于負(fù)載的冗余能力,即為節(jié)點(diǎn)的過載狀態(tài)。即使負(fù)載大于容量,節(jié)點(diǎn)也并非會(huì)一定失效,只是運(yùn)行效率降低并且存在著一定的失效風(fēng)險(xiǎn)。基于此,對(duì)級(jí)聯(lián)失效模型進(jìn)行如下改進(jìn):

步驟1假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)i的容量與負(fù)載成正比,則容量ci計(jì)算如下：

ci=(1+αi)li

(1)

式中,αi為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的容忍系數(shù),且αi>0。li為節(jié)點(diǎn)i的負(fù)載,li計(jì)算如下：

(2)

式中,di為節(jié)點(diǎn)i的節(jié)點(diǎn)度；β為調(diào)節(jié)負(fù)載的參數(shù)。

步驟2對(duì)節(jié)點(diǎn)i進(jìn)行蓄意攻擊,即每次選擇負(fù)載最大的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行攻擊。

步驟3失效節(jié)點(diǎn)負(fù)載分配過程。將失效節(jié)點(diǎn)i的負(fù)載li以節(jié)點(diǎn)度策略分配至相連節(jié)點(diǎn)j,并且更新相連節(jié)點(diǎn)j的負(fù)載。

步驟4過載狀態(tài)及失效狀態(tài)判斷過程。以過載系數(shù)δ描述節(jié)點(diǎn)i對(duì)于額外負(fù)載的處理能力,則其可承受的最大負(fù)載為δci。當(dāng)負(fù)載li大于δci時(shí),節(jié)點(diǎn)必然失效;當(dāng)負(fù)載li大于ci且小于δci時(shí),節(jié)點(diǎn)以一定的概率失效。因此,節(jié)點(diǎn)的過載系數(shù)越大,網(wǎng)絡(luò)抗毀性在一定程度上就越強(qiáng)。通過以上分析可知,節(jié)點(diǎn)可承受的最大負(fù)載需大于其容量,則δ>1。根據(jù)式(3)判斷相連節(jié)點(diǎn)j的狀態(tài)。

(3)

式中,rand為0至1的隨機(jī)數(shù)；pj為節(jié)點(diǎn)j的失效概率。由于在實(shí)際情況中,節(jié)點(diǎn)對(duì)于額外的負(fù)載存在著不同的處理能力。部分情況下,節(jié)點(diǎn)對(duì)于小范圍的過載較為敏感,失效的概率增長(zhǎng)較快;除此之外也存在著節(jié)點(diǎn)對(duì)于小范圍過載,失效概率增長(zhǎng)緩慢的情況。因此,運(yùn)用分布系數(shù)ω對(duì)該特性進(jìn)行刻畫,即通過ω調(diào)節(jié)失效概率pj的分布。其中,pj計(jì)算如下:

(4)

通常情況下,負(fù)載超出容量的值越大,節(jié)點(diǎn)越易失效。因此,pj應(yīng)是單調(diào)遞增的函數(shù),則ω>0。

步驟5過載節(jié)點(diǎn)負(fù)載分配過程。由于過載節(jié)點(diǎn)需及時(shí)對(duì)負(fù)載進(jìn)行疏散,因此以剩余系數(shù)λ描述分配負(fù)載后節(jié)點(diǎn)自身所承擔(dān)的負(fù)載量。當(dāng)剩余系數(shù)λ=0時(shí),過載節(jié)點(diǎn)j將當(dāng)前所有負(fù)載進(jìn)行分配;當(dāng)剩余系數(shù)λ=1,過載節(jié)點(diǎn)j將多余的負(fù)載進(jìn)行分配,以保證節(jié)點(diǎn)恰好處于正常狀態(tài),則剩余系數(shù)應(yīng)滿足0≤λ≤1。過載節(jié)點(diǎn)j分配至相連非失效節(jié)點(diǎn)k的分配量Δljk計(jì)算如下:

Δljk=(lj-λcj)Πjk

(5)

式中,Πjk為過載節(jié)點(diǎn)j對(duì)相連非失效節(jié)點(diǎn)k的分配比例。

步驟6判斷是否存在失效節(jié)點(diǎn),若存在轉(zhuǎn)至步驟3,否則轉(zhuǎn)至步驟7。

步驟7由于節(jié)點(diǎn)處于過載狀態(tài),其負(fù)載已超過容量并非與正常狀態(tài)相同,在實(shí)際情況中則該節(jié)點(diǎn)運(yùn)行效率低下。為了更好表示過載這一狀態(tài),運(yùn)用修正后最大連通子圖的相對(duì)大小G進(jìn)行抗毀性評(píng)估,計(jì)算式為

(6)

式中,N為網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)數(shù);Φ為網(wǎng)絡(luò)中未失效節(jié)點(diǎn)的集合;若節(jié)點(diǎn)h為正常狀態(tài),則sh=1;若節(jié)點(diǎn)h為過載狀態(tài),則

步驟8判斷攻擊節(jié)點(diǎn)數(shù)是否滿足既定要求,若是則級(jí)聯(lián)失效模型結(jié)束,否則轉(zhuǎn)至步驟2。

根據(jù)以上敘述,可以發(fā)現(xiàn)容忍系數(shù)越大,節(jié)點(diǎn)可承擔(dān)的負(fù)載越多,在一定程度上網(wǎng)絡(luò)的抗毀性越強(qiáng)。但是在交通、電力等實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中,出于成本因素節(jié)點(diǎn)的容量難以無限制增加,因此網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建成本也需進(jìn)行考慮。在不同的負(fù)載分配機(jī)制下,當(dāng)網(wǎng)絡(luò)具有相同的抗毀性而能夠避免級(jí)聯(lián)失效現(xiàn)象時(shí),容忍系數(shù)較小的網(wǎng)絡(luò)則其構(gòu)建成本較小?；诖?本文運(yùn)用平均容忍系數(shù)αc對(duì)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建成本進(jìn)行度量。具體步驟如下:

步驟1對(duì)于給定的容忍系數(shù)增量Δα,令第t次第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的容忍系數(shù)αi為增量Δα,其中i=1。

步驟2對(duì)于節(jié)點(diǎn)i,根據(jù)αi以及相連節(jié)點(diǎn)j的負(fù)載lj計(jì)算其容量cj。

步驟3攻擊節(jié)點(diǎn)i,并進(jìn)行失效節(jié)點(diǎn)負(fù)載分配過程、過載狀態(tài)及失效狀態(tài)判斷過程和過載節(jié)點(diǎn)負(fù)載分配過程。

步驟4判斷是否存在失效節(jié)點(diǎn),若存在則αi=αi+Δα,并返回步驟2;否則轉(zhuǎn)至步驟5。

2 過載節(jié)點(diǎn)負(fù)載分配策略

在級(jí)聯(lián)失效過程中,失效節(jié)點(diǎn)負(fù)載的分配策略影響著網(wǎng)絡(luò)的抗毀性。同樣,若未及時(shí)對(duì)過載節(jié)點(diǎn)的負(fù)載進(jìn)行疏導(dǎo),可能使其失效并造成級(jí)聯(lián)失效現(xiàn)象,進(jìn)而也會(huì)影響著網(wǎng)絡(luò)的抗毀性。因此,本文從以下6個(gè)方面對(duì)過載節(jié)點(diǎn)的負(fù)載分配問題進(jìn)行研究。

(1) 平均分配策略(average distribution,AD)

當(dāng)過載節(jié)點(diǎn)j存在非失效節(jié)點(diǎn)k相連時(shí),將負(fù)載平均分配至相連非失效節(jié)點(diǎn)k。則節(jié)點(diǎn)j分配至節(jié)點(diǎn)k的分配比例Πjk計(jì)算如下:

(7)

式中,m為與過載節(jié)點(diǎn)j相連的非失效節(jié)點(diǎn)數(shù)。

(2) 節(jié)點(diǎn)度分配策略(degree distribution,DD)

由于節(jié)點(diǎn)度反應(yīng)了節(jié)點(diǎn)所連的邊數(shù),因此節(jié)點(diǎn)度越大其分配的負(fù)載也就越大。則過載節(jié)點(diǎn)j分配至相連非失效節(jié)點(diǎn)k的分配比例Πjk計(jì)算如下:

(8)

式中,Γj為與過載節(jié)點(diǎn)j相連非失效節(jié)點(diǎn)的集合。

(3) 緊密度分配策略(tightness distribution,TD)

緊密度反應(yīng)了節(jié)點(diǎn)到達(dá)其他節(jié)點(diǎn)的難易程度,節(jié)點(diǎn)的緊密度越大,越易到達(dá)其他節(jié)點(diǎn),負(fù)載越易疏散。則過載節(jié)點(diǎn)j分配至相連非失效節(jié)點(diǎn)k的分配比例Πjk計(jì)算如下:

(9)

式中,tk表示節(jié)點(diǎn)k的緊密度。

(4) 介數(shù)分配策略(betweenness distribution,BD)

介數(shù)反應(yīng)了節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中的重要程度,節(jié)點(diǎn)的介數(shù)越大其重要程度越高。則過載節(jié)點(diǎn)j分配至相連非失效節(jié)點(diǎn)k的分配比例Πjk計(jì)算如下:

(10)

式中,bk表示節(jié)點(diǎn)k的介數(shù)。

(5) 剩余負(fù)載分配策略(surplus load distribution,SLD)

在級(jí)聯(lián)失效過程中,節(jié)點(diǎn)的剩余負(fù)載越大,其相應(yīng)可承擔(dān)的負(fù)載也就越多。則過載節(jié)點(diǎn)j分配至相連正常節(jié)點(diǎn)n的分配比例Πjn計(jì)算如下:

(11)

(6) 混合分配策略(mixed distribution,MD)

將以上幾種不同的過載分配策略進(jìn)行加權(quán)組合,則可得到混合分配策略。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

鑒于實(shí)際網(wǎng)絡(luò)均具有著一定的無標(biāo)度特性[27],因此本文構(gòu)建Barabasi-Albert(BA)無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行仿真。在BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型中,初始狀態(tài)是m0個(gè)節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò),每次迭代引入一個(gè)新節(jié)點(diǎn),以節(jié)點(diǎn)度計(jì)算所得的概率為基礎(chǔ)對(duì)m(m≤m0)個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行連接。本文構(gòu)建節(jié)點(diǎn)數(shù)為500的BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型,令m0=5,m=5,若無特殊說明在文中容忍系數(shù)αi=1 (i=1,2,…,N),調(diào)節(jié)負(fù)載參數(shù)β=2,仿真各自獨(dú)立運(yùn)行50次取平均值。分別從過載節(jié)點(diǎn)負(fù)載分配策略、過載系數(shù)、分布系數(shù)、剩余系數(shù)、平均容忍系數(shù)等方面展開對(duì)抗毀性的研究。

3.1 過載節(jié)點(diǎn)負(fù)載分配策略對(duì)網(wǎng)絡(luò)抗毀性的影響

為研究過載分配策略對(duì)抗毀性的影響,令過載系數(shù)δ=1.5,分布系數(shù)ω=1,剩余系數(shù)λ=1,對(duì)過載節(jié)點(diǎn)采取不同的分配策略。在仿真中DD、SLD策略下的抗毀性相對(duì)較優(yōu),因此MD策略采取以上兩種策略進(jìn)行加權(quán)。通過測(cè)試發(fā)現(xiàn)當(dāng)DD、SLD策略的權(quán)重分別取0.3、0.7時(shí),MD策略相對(duì)較好,因此MD策略由DD、SLD兩種策略加權(quán)所得。不同的過載節(jié)點(diǎn)負(fù)載分配策略仿真結(jié)果如圖1所示。

圖1 不同過載節(jié)點(diǎn)負(fù)載分配策略下抗毀性對(duì)比圖Fig.1 Comparison of invulnerability under different overload node load assignment strategies

由圖1可知,未考慮過載節(jié)點(diǎn)負(fù)載分配策略時(shí),由于超過容量的負(fù)載沒能被及時(shí)分擔(dān)使得節(jié)點(diǎn)更易失效,因此網(wǎng)絡(luò)的抗毀性最差。AD策略是所有分配策略中效果最不理想的;而SLD策略與MD策略下的抗毀性均較佳。這是由于AD策略忽視了相連節(jié)點(diǎn)的差異性,剩余負(fù)載較小的節(jié)點(diǎn)存在著較高的失效風(fēng)險(xiǎn)。相反,SLD策略根據(jù)剩余負(fù)載進(jìn)行分配,從而失效風(fēng)險(xiǎn)降低。此外,MD策略在攻擊過程中均使得網(wǎng)絡(luò)保持著較強(qiáng)的抗毀性,這是由于該策略一方面考慮了節(jié)點(diǎn)的度,即分散負(fù)載的能力,另一方面考慮了節(jié)點(diǎn)的剩余負(fù)載,即可承受負(fù)載的能力。因此,MD策略相對(duì)較佳。綜上所述,對(duì)過載節(jié)點(diǎn)進(jìn)行合理的疏導(dǎo),能夠增強(qiáng)網(wǎng)絡(luò)的抗毀性,減少級(jí)聯(lián)失效的影響。

3.2 過載系數(shù)對(duì)網(wǎng)絡(luò)抗毀性的影響

為探究過載系數(shù)δ對(duì)網(wǎng)絡(luò)抗毀性的影響,令過載節(jié)點(diǎn)負(fù)載分配策略為DD策略,分布系數(shù)ω=1,剩余系數(shù)λ=1。對(duì)過載系數(shù)δ取不同的值,仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 不同過載系數(shù)下抗毀性對(duì)比圖Fig.2 Comparison of resistance under different overload coefficient

由圖2可知,當(dāng)網(wǎng)絡(luò)未考慮過載狀態(tài)時(shí),顯然級(jí)聯(lián)失效對(duì)網(wǎng)絡(luò)的影響是較大的,僅攻擊3次就已崩潰。但是當(dāng)δ=1.5時(shí),抗毀性相對(duì)于δ=1時(shí)有了顯著提升,攻擊9次之后才完全崩潰。隨著δ增大,抗毀性總體上也呈現(xiàn)出了增強(qiáng)的趨勢(shì)。這是由于δ越大,節(jié)點(diǎn)對(duì)于額外負(fù)載的處理能力也就越強(qiáng),因此抗毀性有了一定提升。但是當(dāng)δ=3.5,δ=4時(shí),兩者差距不大。

綜上所述,當(dāng)節(jié)點(diǎn)存在小范圍的過載能力時(shí),可顯著提高抗毀性；而δ增加到一定程度時(shí),其對(duì)抗毀性提升的貢獻(xiàn)降低。現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)中,提升節(jié)點(diǎn)的過載能力需考慮其構(gòu)建成本,因此單純?cè)黾应氖遣缓侠淼摹?/p>

3.3 分布系數(shù)對(duì)網(wǎng)絡(luò)抗毀性的影響

為研究分布系數(shù)ω對(duì)網(wǎng)絡(luò)抗毀性的影響,令過載節(jié)點(diǎn)負(fù)載分配策略為DD策略,過載系數(shù)δ=1.5,剩余系數(shù)λ=1。對(duì)分布系數(shù)ω取不同的值以進(jìn)行研究,仿真結(jié)果如圖3所示。由圖3可知,當(dāng)攻擊數(shù)少于4時(shí),分布系數(shù)ω對(duì)抗毀性沒有存在影響。當(dāng)攻擊數(shù)超過4時(shí),ω=0.2的情況下級(jí)聯(lián)失效對(duì)網(wǎng)絡(luò)抗毀性所造成的影響最大,抗毀性呈現(xiàn)出直線下降的趨勢(shì);而ω=2與ω=2.5時(shí),抗毀性均相對(duì)較強(qiáng)。隨著ω的不斷增大,抗毀性也在增強(qiáng)。這是由于當(dāng)ω較小時(shí),負(fù)載即使小部分超過其容量,也會(huì)造成較高的失效概率,從而易引起級(jí)聯(lián)失效現(xiàn)象。因此，在實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中必須對(duì)分布系數(shù)較小的情況加以重視。當(dāng)ω較大時(shí),負(fù)載在一定范圍內(nèi)超過容量,節(jié)點(diǎn)失效概率仍可保持較小的狀態(tài),因此可有效遏制節(jié)點(diǎn)的失效個(gè)數(shù),控制了級(jí)聯(lián)失效對(duì)抗毀性的影響。

圖3 不同分布系數(shù)下抗毀性對(duì)比圖Fig.3 Comparison of damage resistance under different distribution coefficients

3.4 剩余系數(shù)對(duì)網(wǎng)絡(luò)抗毀性的影響

為探究剩余系數(shù)λ對(duì)網(wǎng)絡(luò)抗毀性的影響,令過載節(jié)點(diǎn)負(fù)載分配策略為DD策略,過載系數(shù)δ=1.5,分布系數(shù)ω=1,對(duì)λ取不同的值。由于在攻擊次數(shù)小于4次時(shí)G的變化相似,因此只列出攻擊次數(shù)為4～10次的圖像,仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 不同剩余系數(shù)下抗毀性對(duì)比圖Fig.4 Comparison of destruction resistance under different residual coefficients

由圖4可知,當(dāng)剩余系數(shù)λ=0.5時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的抗毀性最差,級(jí)聯(lián)失效所造成的影響較大。而λ=0.9時(shí),在攻擊過程中抗毀性最強(qiáng)。這是由于λ決定著過載節(jié)點(diǎn)分配之后負(fù)載的剩余量。當(dāng)λ較小時(shí)，過載節(jié)點(diǎn)分配至相連節(jié)點(diǎn)的負(fù)載較大,過載節(jié)點(diǎn)雖可變?yōu)檎顟B(tài),但易使相連節(jié)點(diǎn)過載或是失效；當(dāng)λ較大時(shí),過載節(jié)點(diǎn)分配至相連節(jié)點(diǎn)的負(fù)載較少,承擔(dān)部分負(fù)載又易過載或失效。因此,λ存在某一值才能夠使得節(jié)點(diǎn)保留一定的冗余能力來處理負(fù)載,同時(shí)又不會(huì)對(duì)相連節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生過多影響。

由圖4可知,在DD策略下λ=0.9時(shí)，網(wǎng)絡(luò)抗毀性最強(qiáng)。為探究在不同的過載節(jié)點(diǎn)分配策略中,λ=0.9時(shí)抗毀性仍能否達(dá)到最強(qiáng),因此令過載系數(shù)δ=1.5,分布系數(shù)ω=1,對(duì)不同的λ、過載節(jié)點(diǎn)負(fù)載分配策略進(jìn)行仿真,蓄意攻擊10個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)G取平均值,仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 不同剩余系數(shù)、過載節(jié)點(diǎn)負(fù)載分配策略下抗毀性對(duì)比圖Fig.5 Invulnerability comparison of load distribution strategies with different residual coefficients and overload nodes

由圖5可知,隨著初期λ不斷增大,不同策略下的抗毀性均呈現(xiàn)出上升趨勢(shì)。并且當(dāng)λ=0.9時(shí),不同過載節(jié)點(diǎn)負(fù)載分配策略下的G取值0.6～0.9;而λ=0.1時(shí),G僅維持在0.3～0.5。這表明對(duì)于m0=5、m=5的BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)而言,在不同的過載節(jié)點(diǎn)負(fù)載分配策略中λ=0.9時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的抗毀性相對(duì)較好。

3.5 過載節(jié)點(diǎn)負(fù)載分配策略與平均容忍系數(shù)關(guān)系

為探究不同過載節(jié)點(diǎn)負(fù)載分配策略與平均容忍系數(shù)的關(guān)系,令過載系數(shù)δ=1.5,分布系數(shù)ω=1,剩余系數(shù)λ=1,容忍系數(shù)增量Δα=0.01,最大迭代次數(shù)tmax=50,計(jì)算不同過載節(jié)點(diǎn)負(fù)載分配策略下平均容忍系數(shù)αc的值,結(jié)果如圖6所示。

圖6 不同過載節(jié)點(diǎn)負(fù)載分配策略下平均容忍系數(shù)對(duì)比圖Fig.6 Comparison of average tolerance coefficients under different overload node load allocation strategies

由圖6可知,在AD策略以及TD策略下網(wǎng)絡(luò)的平均容忍系數(shù)αc均較高。這是因?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)緊密度的值差異較小,所以兩者的結(jié)果相似。而在DD、BD、SLD、MD這4種策略中,αc的值均在0.012之下,顯著低于AD策略以及TD策略。這是由于在AD策略以及TD策略下,過載節(jié)點(diǎn)的負(fù)載會(huì)較為平均地分配至與其相連的節(jié)點(diǎn),為了避免產(chǎn)生級(jí)聯(lián)失效現(xiàn)象,容量較小的節(jié)點(diǎn)需擁有較大的容忍系數(shù),因而其他4種策略可使得網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建成本較低。此外,由圖6可知，BD策略下的αc值略小于其他策略。通常,網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建成本與αc存在著正相關(guān)的關(guān)系，這表明過載節(jié)點(diǎn)采取AD策略、TD策略,其網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建成本較高,而其他4種策略均可使網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建成本較低。

4 結(jié) 論

本文提出了一種考慮節(jié)點(diǎn)過載狀態(tài)的級(jí)聯(lián)失效模型,從過載節(jié)點(diǎn)負(fù)載分配策略、過載系數(shù)、分布系數(shù)、剩余系數(shù)4個(gè)方面進(jìn)行了研究。研究結(jié)論如下:

(1) 在單種分配策略中,SLD策略使得網(wǎng)絡(luò)的抗毀性較強(qiáng)，而MD策略兼顧了節(jié)點(diǎn)疏散負(fù)載以及承擔(dān)負(fù)載的能力,因此在攻擊過程中網(wǎng)絡(luò)始終保持著較強(qiáng)的抗毀性；

(2) 在一定程度內(nèi)提升過載系數(shù)δ,能夠增強(qiáng)節(jié)點(diǎn)對(duì)于負(fù)載的處理能力,但過載系數(shù)增加到一定程度時(shí),網(wǎng)絡(luò)抗毀性沒有顯著提高；

(3) 當(dāng)分布系數(shù)ω較大時(shí),網(wǎng)絡(luò)保有較強(qiáng)的抗毀性;分布系數(shù)ω較小時(shí),則相反；

(4) 對(duì)于不同的過載節(jié)點(diǎn)負(fù)載分配策略而言,剩余系數(shù)存在某一值可使得BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的抗毀性達(dá)到最強(qiáng)；

(5) DD、BD、SLD、MD這4種過載節(jié)點(diǎn)負(fù)載分配策略可使得平均容忍系數(shù)αc較小,網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建成本較低。