對失控翻滾目標逼近的增廣比例導引律控制

劉將輝, 李海陽

(國防科技大學空天科學學院, 湖南 長沙 410073)

0 引 言

航天器由于控制系統(tǒng)失效或燃料耗盡等原因?qū)е略诳臻g自由翻滾,對在軌航天器和地面人員的安全造成嚴重威脅[1]。2009年2月10日,美國銥星公司的Iridium-33衛(wèi)星和俄羅斯失效的通信衛(wèi)星在西伯利亞上空790 km處發(fā)生碰撞而墜毀。2011年9月24日,美國一顆名為“高層大氣研究衛(wèi)星”(UARS)由于燃料耗盡在失控情況下墜落地面。如能對失效航天器進行在軌修復、燃料加注等操作,將會避免此類事故,從而延長其壽命[2-4]。面向失控翻滾目標的逼近是實施上述任務(wù)的基礎(chǔ)。

當前,對失控翻滾目標逼近問題,國內(nèi)外學者進行了大量的研究。文獻[5-6]采用θ-D非線性最優(yōu)控制方法設(shè)計閉環(huán)回路控制器,該控制器綜合考慮了追蹤器和目標器之間的相對位姿跟蹤及追蹤器的帆板撓性運動,通過攝動法求Hamilton Jacobi Bellman方程的近似解,求解過程涉及大量數(shù)值運算,所得的控制器是一個無窮級數(shù)。文獻[7]針對失控翻滾目標的逼近問題,建立了追蹤器的參考軌跡和參考姿態(tài)模型,設(shè)計了六自由度控制的自適應(yīng)滑膜控制器。文獻[8-10]設(shè)計了六自由度姿軌一體化滑膜自適應(yīng)控制器,為確保輸出可控,引入了追蹤器的飽和幅值。文獻[11]針對空間翻滾目標的相對位姿測量問題,提出了一種基于視覺SLAM的相對位姿估計方法。考慮到航天器逼近的不同約束和采樣頻率,文獻[12]設(shè)計了可重構(gòu)約束的動態(tài)模型預測控制器。文獻[13]采用特征模型的控制方法,設(shè)計了相對位置和姿態(tài)同步控制器,搭建了系統(tǒng)仿真平臺并進行動力學仿真。文獻[14]設(shè)計了二階非奇異終端滑膜控制器,改善了系統(tǒng)不確定性及消除了滑膜控制的抖顫性。

一些學者對傳動相對動力學模型進行改進,提出了基于視線坐標系的軌道動力學模型[15],基于視線制導,文獻[16]定性分析了重力差項,給出了一種開關(guān)控制算法。

視線坐標系下的比例導引律(proportional navigation, PN)是經(jīng)典的兩點速度導引法,廣泛用于導彈攔截領(lǐng)域,具有對目標需求信息較少、易于實現(xiàn)且魯棒性強等優(yōu)點[17]。按照控制加速度的施加方向,比例導引律可以分為真比例導引律(true proportional navigation, TPN)和純比例導引律(pure proportional navigation, PPN)及其對應(yīng)的變形形式[18],前者控制加速度方向以視線方向為參考,后者以追蹤器的速度方向為參考。真比例導引律的控制加速度垂直于視線方向,在視線方向不施加控制。文獻[19]提出了自適應(yīng)的比例導引律用于航空器的近距離操作任務(wù)。文獻[20]提出了基于滑?？刂频募儽壤龑б?用于無人追蹤航空器和合作航空器的交會。文獻[21-23]在視線坐標系的基礎(chǔ)上,提出了視線旋轉(zhuǎn)坐標系和視線瞬時旋轉(zhuǎn)平面的概念,將三維空間的相對運動降低到視線瞬時旋轉(zhuǎn)平面內(nèi)的二維空間運動。文獻[24]提出了一種基于零控脫靶量(zero effort miss, ZEM)的增廣比例導引律(augmented proportional navigation, APN),用于小行星的著陸任務(wù)。

然而,當前的研究主要強調(diào)姿軌耦合控制,大多數(shù)文獻假設(shè)的姿態(tài)運動過于理想化。對于失控翻滾目標而言,其姿態(tài)運動與其質(zhì)量分布有關(guān),而實際失效航天器的3個慣量主軸是各不相等的,姿態(tài)運動也較復雜。姿態(tài)與軌道控制解耦,只要知道了其姿態(tài)運動特性,對失控翻滾目標的逼近控制則更簡單易行。

基于上述研究,本文針對失控翻滾目標的逼近控制問題,在TPN基礎(chǔ)上,引入了逼近點視線方向的控制,設(shè)計了可用于對失控翻滾目標近距離逼近控制的增廣比例導引律控制器。首先,在追蹤器視線旋轉(zhuǎn)坐標系上建立了針對任意軌道形式三維相對運動方程。其次,分析了失控翻滾目標在空間中的姿態(tài)運動特性,采用了基于反饋線性化的增廣比例導引律對追蹤航天器進行控制。最后,通過仿真分析驗證了所設(shè)計的增廣比例導引律控制器的正確性和良好的逼近控制性能。

1 相對運動動力學方程

圖1 相對運動坐標系統(tǒng)Fig.1 Relative motion coordinate system

為了對翻滾目標實施有效逼近,本文引入了逼近點的概念,逼近點即目標體坐標系中的固定的某點,目標在空間翻滾的過程中,逼近點隨著目標的翻滾而一起運動。設(shè)逼近點在目標器體坐標系中的位置為ρ,如圖1所示。追蹤器在J2000中的位置矢量為rc,目標器在J2000中的位置矢量為rt。逼近點在J2000中的位置矢量為ra,速度矢量為νa,有

ra=rt+ρ

(1)

(2)

式中,ωI為目標器體坐標系相對于慣性系翻滾時的角速度矢量。則追蹤器相對于逼近點的位置矢量r為

r=ra-rc

(3)

視線方向單位矢量er為

(4)

式中,r是追蹤器和逼近點的相對距離；eω為視線角速度方向的單位矢量,eθ=eω×er,er、eθ和eω構(gòu)成視線旋轉(zhuǎn)坐標系；qε為高低角;qβ為方位角。在視線旋轉(zhuǎn)坐標系下建立三維相對運動方程[23]

(5)

er和eθ組成視線瞬時旋轉(zhuǎn)平面(instantaneous rotation plane of LOS, IRPL)；Ωs為eω(IRPL繞er)的旋轉(zhuǎn)角速度；Ωs=Ωser；eω為IRPL的法向；ωs為視線轉(zhuǎn)率,ωs=ωseω。

對式(3)求導,可得追蹤器和逼近點的相對速度矢量

v=va-vc

(6)

聯(lián)立式(3)和式(4),則式(6)變?yōu)?/p>

(7)

追蹤器和逼近點的相對加速度可以由式(6)推導得到

(8)

將式(5)代入式(8),相對加速度表達式轉(zhuǎn)換為

(9)

式(9)可以改寫為如下的3個標量子方程

(10)

式中,aa和ac分別代表逼近點和追蹤器的加速度;“r、θ和ω”分別代表控制加速度矢量沿“er、eθ和eω”3個方向的分量;Δf為外界干擾加速度。前兩式代表IRPL內(nèi)的相對運動,第三式代表IRPL的轉(zhuǎn)動。相對運動可以分解為IRPL內(nèi)的相對運動和IRPL的轉(zhuǎn)動。

2 失控翻滾目標的姿態(tài)運動特性

以目標航天器的本體坐標系為計算坐標系,則由矢量相對導數(shù)公式可得[25]:

(11)

式中,ω為目標航天器的角速度;L為外力矩；H=I·ω,I為慣量張量。式(11)寫成分量的形式為

(12)

設(shè)三體軸為慣量主軸,當L=0時,航天器作無外力矩定點轉(zhuǎn)動,得到無外力矩的歐拉動力學方程:

(13)

根據(jù)動量矩守恒有

(14)

根據(jù)動能守恒有

(15)

將式(14)和式(15)合并可得

(16)

按313的順序旋轉(zhuǎn)得到進動角φ、章動角θ和自轉(zhuǎn)角φ,則角速度ω可表示為

(17)

表示分量的形式為

(18)

(19)

(20)

將航天器角動量H投影到主軸坐標系OsXIYIZI中可得:

Ixωx=Hsinθsinφ

(21)

Iyωy=Hsinθcosφ

(22)

Izωz=Hcosθ

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

航天器在空間轉(zhuǎn)動的形式取決于航天器的質(zhì)量分布。質(zhì)量分布不對稱的失控航天器在空間中作歐拉-班索運動。

3 APN設(shè)計

本文在傳統(tǒng)的TPN的基礎(chǔ)上加入基于反饋線性化的視線方向控制,得到APN。

(30)

式中,N為導航比。

(31)

式中,a0是acr的常數(shù)項。需要說明的是,式(31)適用于視線方向目標機動過載不大的情況。如果視線方向的機動過載很大,則不再適用。對式(31)求解得

(32)

(33)

對方程(33)求解,可得追蹤器對逼近點的接近時間:

(34)

追蹤器對逼近點的接近速度

(35)

將式(32)和式(35)代入式(30)可得

(36)

式(36)可以轉(zhuǎn)換為如下形式:

(37)

積分式(37),可得ωs:

(38)

由式(38)可以得出,當追蹤器接近逼近點時,為保證追蹤器相對逼近點的視線轉(zhuǎn)率收斂,N需滿足N>2。追蹤器控制加速度大小為

(39)

4 仿真分析

仿真結(jié)果如圖2～圖9所示。圖2為失控翻滾目標體坐標系的角速度變化曲線,角速度呈周期性變化,Z方向的角速度變化較小,其余兩方向的角速度變化較大。

圖2 角速度隨時間變化Fig.2 Angular velocity versus time

圖3是追蹤器相對于逼近點的三維相對運動軌跡,將慣性系平移到逼近點,作為參考系。由于目標器在空間中做自由翻滾運動,故追蹤器的最后逼近段軌跡不同于交會對接中常見的準直線型的三維相對軌跡。追蹤器先繞到目標器體坐標系的某一特定位置,然后對逼近點進行緩慢的接近,保證了逼近過程的安全性。圖4是逼近過程中追蹤器和逼近點相對距離隨時間的變化規(guī)律。追蹤器逐漸接近逼近點,兩者相對距離逐漸減小到零,總的消耗時間為295 s。

圖5為IRPL轉(zhuǎn)率曲線,圖6為視線轉(zhuǎn)率曲線。整個逼近過程中,IRPL轉(zhuǎn)率極小,近似于0。視線轉(zhuǎn)率從初始的0.038 8 rad/s,逐漸減到0.000 5 rad/s,之后在這個值范圍內(nèi)保持穩(wěn)定,末端時刻,略微增大了。

圖3 追蹤器相對于逼近點的三維相對運動軌跡Fig.3 Three dimensional trajectory of the chaser relative to the approximation point

圖4 追蹤器和逼近點的相對距離Fig.4 Relative distance between the chaser and the approximation point

圖5 IRPL轉(zhuǎn)率曲線Fig.5 Transfer rate curve of IRPL

圖6 視線轉(zhuǎn)率曲線Fig.6 Transfer rate curve of line of sight

圖7為IRPL內(nèi)追蹤器與逼近點間相對速度的變化曲線,垂直逼近點視線方向的速度呈減小的趨勢,最后趨向于零。沿逼近點視線方向的速度先減小,然后略微增大,最后穩(wěn)定在一個極小的值,約為0.32 m/s。圖8為IRPL面內(nèi)視線方向和垂直視線方向的控制加速度變化曲線,控制加速度逐漸減小。視線方向控制加速度由初始的0.128,逐漸減小,穩(wěn)定在0.000 04 m/s2附近。垂直視線方向的控制加速度由初始的0.132 m/s2,逐漸減小,最后穩(wěn)定在0.002 m/s2附近,終端時刻,略微增大,最大為0.011 8 m/s2。圖9為總的控制加速度變化曲線,控制加速度逐漸減小,由初始的0.184 m/s2,逐漸減小,最后穩(wěn)定在一個極小的值0.002 m/s2附近,終端時刻,略微增大,最大為0.011 8 m/s2,消耗燃料極少。

圖7 追蹤器與逼近點的相對速度變化Fig.7 Relative velocity change of the tracker and the approximation point

圖8 IRPL平面內(nèi)控制加速度分量Fig.8 Control of acceleration components in IRPL plane

圖9 總的控制加速度曲線Fig.9 Total control acceleration curve

5 結(jié) 論

本文針對自由翻滾失效航天器的逼近問題,建立了追蹤器視線坐標系下追蹤器與逼近點的相對運動方程,分析了失控翻滾目標的姿態(tài)運動模型,采用了基于反饋線性化的增廣比例導引律對追蹤航天器進行控制。通過仿真分析得出如下結(jié)論:

(1) 通過引入視線方向的控制,基于反饋線性化的增廣比例導引律,實現(xiàn)了對失效翻滾目標的有效逼近。實施逼近任務(wù)所消耗的燃料較少、逼近時間合理、精度高。

(2) 本文所設(shè)計的控制律可實現(xiàn)對翻滾目標任意位置的逼近,具有良好的實用性和工程應(yīng)用價值。