依托幾何直觀 培養(yǎng)數(shù)學素養(yǎng)

鐘麗娟

摘要：幾何直觀就是依托、利用圖形進行數(shù)學地思考和想象。德國數(shù)學家希爾伯特專門寫了一本專著叫《直觀幾何》。法國數(shù)學家笛卡爾發(fā)明了數(shù)軸，巧妙地將數(shù)與形結(jié)合在一起……這說明幾何直觀在學習數(shù)學中的作用是非常大的，可以培養(yǎng)小學生的多方面的數(shù)學素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：幾何；數(shù)學；基礎(chǔ)教育

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）44-0203-02

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下稱《標準》）明確指出，幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。那么依托幾何直觀，小學生數(shù)學學習應該真正培養(yǎng)哪些方面的數(shù)學素養(yǎng)呢？

一、依托幾何直觀，發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題

《標準》在總目標中明確提出要“增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”。但在實際教學中，我們發(fā)現(xiàn)學生的“發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力”較弱，表現(xiàn)為小學生難以把生活中的數(shù)學現(xiàn)象轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，難以把數(shù)量或空間方面的某些關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題。

例如，人教版五年級下冊“分數(shù)的意義”一課，可以這樣設(shè)計：①觀察：把一張紙條對折，再對折，其中的一折用一個數(shù)怎么表示？你是怎么理解的？②思考：還能用其他的方式來表示嗎？（溫馨提示：畫、擺、涂、折等）；有的學生說“把一個圓四等分，每一份用”；有的學生說有四枚一元硬幣，其中一枚占；有的學生說“一張《小學生周報》有四版，我看完第一版，看了”……③討論：這些活動有什么共性？有的學生說“它們都進行了等分”；有的學生說“它們都表示其中一份，所以都用表示”。④質(zhì)疑：你發(fā)現(xiàn)什么問題嗎？有的學生質(zhì)疑說“雖然這些例子是用表示，但表示的是不同東西的，有的是一個，有的是幾個組成的，表示的大、小、多、少都不一樣”。有的學生進一步提出“其他的分數(shù)也能這樣表示嗎？”等。

二、依托幾何直觀，描述數(shù)學現(xiàn)象

幾何直觀描述數(shù)學現(xiàn)象，既是發(fā)展學生空間觀念的重要途徑，也是培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合思想的重要抓手。例如，在教學“正比例的意義”一課時，學生對形如①y=2x中，x和y成正比例比較容易理解。而對于形如②x和③中x和y成正比例就感到難以理解。這是因為正反比例描述的是兩個變量之間的關(guān)系，概念本身比較抽象。再加上后兩式屬于①式的變式題，在缺乏直觀幫助下大部分學生難以接受后兩種變式x和y也成正比例。要掃清思維障礙，建立“成正比例關(guān)系”的思維圖式，可采用先列表再畫圖的描述方法加以解決。

經(jīng)過列表法觀察，可以發(fā)現(xiàn)不管形式怎么變化，變量y和x的比值也就是商是一定的，所以這兩種量成正比例關(guān)系。

圖像法：

上述三個表格的內(nèi)容實際上是一樣的。如果把上述表格圖成圖像，則可用下圖表示：

當上述三個變式采用圖像描述時，學生驚奇地發(fā)現(xiàn)這三個式子實際表示的都是同一個圖像，即一條向兩端無限延伸的直線！通過用表格進行列舉，再用圖像加以描述，學生在頭腦里建立起成正比例關(guān)系的心理圖式，這其實就是數(shù)學的本質(zhì)。這種從代數(shù)關(guān)系式描述到列表法描述再到圖像描述之建立起一一對應的關(guān)系，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。

三、依托幾何直觀，外化數(shù)學思考

培養(yǎng)學生以數(shù)學的眼光看世界，從數(shù)學的角度去分析問題的素養(yǎng)，會使學生終生受益，而無論他們將來從事什么職業(yè)，這是一種用“數(shù)學方式進行的理性思維”。

例如，學校舉行乒乓球社團小組爭霸賽。五年級社團有10個選手，每兩人進行一場爭霸賽，一共要進行幾場爭霸賽？

生1：可以這樣想，第一個小運動員要和其他9人各打1場，共9場；第二個小運動員要打8場，第三個小運動員要打7場，……最后一個小運動員只打1場就夠了。因此列式是9+8+7+6+5+4+3+2+1=（9+1）+（8+2）+（7+3）+（6+4）+5=45（場）。

生2：其實不用那么復雜，可以看成數(shù)線段，用連線的方法解決。10個運動員相當于10個點，每兩個點可以連成一條線段。第一個點可以邊9條，第二個點可以連8條，以后每次少1條，依此類推。9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（條），也就是45場。

生3：我也是用數(shù)線段的方法來解決，可是我畫的線段和他不一樣，答案也是45場。

生4：從1一直加到9，后一個數(shù)都比前一個數(shù)多1。我覺得可以看成一個梯形，用數(shù)木頭的方法來解決。即（頂層根數(shù)+底層根數(shù)數(shù)）×層數(shù)÷2，也就是（1+9）×9÷2=45（根），也就是45場。從直接用等差數(shù)列求和的方法解，到用數(shù)線段連線的方法，再到看成堆成一垛木頭，用梯形面積計算公式來計算。

四、依托幾何直觀，預測數(shù)學結(jié)果

有些數(shù)學研究的對象是可觸的、可視的、具象的，而很多數(shù)學研究對象是“看不見，摸不著”的，是抽象的、內(nèi)隱的，這是數(shù)學的一個基本特點，也給小學生解決問題帶來相當大的困難。例如，一張桌子坐8人，兩張桌子并起來坐12人，三張桌子并起來坐16人，照這樣計算，六張桌子并成一排可以坐多少人？（如圖所示）

因為只有六張桌子，所以大部分的學生輕松地獲得結(jié)果。學生們通過畫圖：一張、兩張、三張……一共可以坐28人。表面上學生通過畫圖解決問題的思維含量不高，其實不然，關(guān)鍵取決于老師是否能基于核心素養(yǎng)來定位我們的教學。如果老師這樣教學：同學們，假如有20張這樣的桌子并排，可以坐幾個人？再用畫圖的方法合適嗎？你能從剛才六張桌子的圖中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？學生通過認真觀察、討論，不難發(fā)現(xiàn)“桌子頭尾4個人始終固定不變的，而兩側(cè)每增加一張桌子就增加4個人”這一重要的規(guī)律。這時，老師不失時機地點撥：如果有n張桌子，這樣并排，你能用一個含有字母的式子表示所坐的人數(shù)嗎？學生學會用（4n+4）來表示人數(shù)。此時老師再進一步提出現(xiàn)在有28人，按照這樣子坐法，一共要并排幾張桌子？從畫圖計算人數(shù)，到觀察圖形的規(guī)律，再到抽象出含有字母的式子表示人數(shù)，再進一步解決逆思考題，學生借助幾何直觀，完成了數(shù)學抽象和思維的互逆訓練。借助幾何直觀學生不但學會了畫圖預測結(jié)果，還在找規(guī)律的過程中體驗了數(shù)學抽象、推理、建模等基本思想。

華羅庚教授曾說“形缺數(shù)時難入微，數(shù)缺形時少直觀”。要更好地研究數(shù)學，離開了圖形是不可想象的。只要我們做個有心人，幫助學生建立起實物與概念、圖形與概念間的聯(lián)系，化抽象為具象，變內(nèi)隱為外顯，就可以促使學生更好地理解數(shù)量之間和空間形式的本質(zhì)，也能夠提高學生學習的興趣。

Abstract：Geometric intuitionism is relying on figure to think and imagine mathematically. German mathematician Hilbert wrote a monograph called intuitive Geometry. The French mathematician Descartes invented the number axis. It shows that geometry intuitionism plays a very important role in learning mathematics，and it can cultivate pupils' mathematics literacy in many aspects.

Key words：geometry；mathematics；basic education