基于鐵路部門風險決策的高速鐵路票額優(yōu)化分配

李 博，趙 鵬，宋文波

(北京交通大學 交通運輸學院，北京 100044)

高速鐵路票額分配是根據預測的客流需求將列車固定的席位能力分配到列車沿途各乘降站的運輸計劃，合理的票額分配計劃能夠滿足旅客的出行需求，提高列車的能力利用率[1]。然而，客流需求具有一定的隨機性和時變性，很難準確預測，可能導致制定的票額分配方案對實際需求的適應性降低，而且鐵路部門在進行票額分配決策時，面對不確定的客流需求通常具有一定的風險決策偏好，因此研究不確定需求下的考慮鐵路部門風險決策的票額分配方案對于提高票額分配方案的可靠性具有重要意義，并且更能滿足實際需求。

針對票額分配問題，國內外學者已經進行了深入的研究。文獻[1]定性研究了收益管理在票額分配中的應用。文獻[2]在客流需求已知的情況下，通過設計基于客車開行方案的換乘網絡，根據網絡平衡態(tài)研究了以人公里數(shù)為最大化的票額分配方法。文獻[3]假設各OD客流需求服從獨立正態(tài)分布，以期望收益最大化為目標研究了單列車、多區(qū)段、單一票價下的列車席位控制問題。文獻[4]在各OD客流需求服從獨立正態(tài)分布的基礎上，以期望收益最大化為目標研究了多等級票價、多區(qū)段、單列車的票額分配問題。文獻[5]假設各OD需求服從非齊次泊松過程，以期望收益最大化為目標研究了旅客選擇行為下的票額分配方法。文獻[6]在短時需求預測的基礎上，以期望收益最大化為目標研究了高速鐵路票額分配問題。文獻[7]假設各OD客流需求服從正態(tài)分布，以期望收益最大化為目標研究了考慮通售席位的單列旅客列車票額分配方法。文獻[8]將客流需求預測模型嵌入票額分配模型中，以期望收益最大化為目標研究了隨機需求下的單列車票額分配方法。文獻[9]在客流需求預測的基礎上，以期望收益最大化為目標研究了單列車的票額智能分配方法。文獻[10—11]在假設各OD客流需求服從獨立正態(tài)分布的基礎上，以期望收益最大化為目標分別研究了多停站和考慮旅客旅行時間的多列車票額分配方法。文獻[12]在需求模擬的情況下，以期望收益最大化為目標研究了列車發(fā)車間隔與票額分配綜合優(yōu)化模型。但是既有文獻主要集中在對單列車的票額分配研究中，通常以鐵路部門期望收益最大化為目標，且為隨機期望值模型，由于期望值模型可能無法滿足實際的決策需要[13]，因此既有模型難以反映鐵路部門在票額分配決策時的風險態(tài)度。在實際決策過程中，鐵路部門面對不確定的需求環(huán)境，通常會有一定的風險偏好，以防止所確定的票額分配方案與實際需求相差過大，導致大量的票額調整工作。

根據對既有研究情況的分析，本文在考慮客流需求的不確定性和鐵路部門風險決策態(tài)度的基礎上，以鐵路部門收益最大化為目標，構建高速鐵路多列車票額分配的機會約束規(guī)劃模型，利用不確定性理論和方法將模型轉化為確定的等價類模型進行求解，最后通過實例驗證模型的有效性。

1 問題的提出

1.1 鐵路部門風險態(tài)度

在進行票額分配時需要對各OD客流需求進行預測，由于客流需求具有隨機性，當預測的客流需求不準確時，所得到的票額分配方案可能不滿足實際需求，從而導致大量的票額調整工作及列車席位能力的浪費，因此在實際決策中需要考慮票額分配方案的可靠性。既有模型中通常假設各OD需求服從獨立正態(tài)分布，并且在對隨機需求進行處理時，通常使用其期望值進行計算，難以反映鐵路部門的風險決策態(tài)度。鐵路部門根據預測的客流需求進行決策時，由于決策者的性格和對需求認知的不同，通常具有不同的風險取向。風險取向通常分為3類：風險趨向型、風險中立型和風險規(guī)避型[14]。當決策者為風險趨向型時，通常會做最好的打算，認為需求情況更好，要大于期望需求，將會使鐵路席位能力盡可能地滿足需求，然而實際需求情況并非如此，所以得到的方案對實際需求的適應性較低；當決策者為風險中立型時，認為客流需求為隨機需求的均值，而不考慮需求的不確定性，所得到的方案對實際需求的適應性也不高；當決策者為風險規(guī)避型時，則會利用部分席位能力來滿足預測的需求，剩余能力用于應對需求的波動，此時得到的方案對實際需求的適應性會更高。在不確定理論中，隨機變量除了使用期望值和方差外，還可以使用樂觀值和悲觀值來度量，其中α樂觀值和α悲觀值的定義如式(1)和式(2)所示。

定義1：設ξ為一隨機變量，且α∈(0,1]，則有

ξsup(α)=sup{r|Pr{ξ≥r}≥α}

(1)

式中：ξsup(α)為ξ的α樂觀值；Pr為概率測度。

從定義1中可以看出，隨機變量ξ至少以概率α大于或等于α樂觀值ξsup(α)。

定義2：設ξ為一隨機變量，且α∈(0,1]，則有

ξinf(α)=inf{r|Pr{ξ≤r}≥α}

(2)

式中：ξinf(α)為ξ的α悲觀值。

從定義2中可以看出，隨機變量ξ至少以概率α小于或等于α悲觀值ξinf(α)。

α樂觀值和α悲觀值所對應的置信水平α可以代表鐵路決策者的風險決策偏好程度[13]，因此可以采用不確定理論中的機會約束規(guī)劃模型來研究鐵路部門在一定置信水平下的票額分配方案，以更好地適應實際情況。

1.2 票額分配

在客票預售期前，列車有限的席位能力可以分配給不同OD的客流需求，不同的票額分配方案將會產生不同的收益。圖1為1個高鐵列車的停站方案，列車?？緼，B，C 3個車站，票額分配方案就是將列車的席位能力分配到AB，AC，BC 3個OD上以達到收益最大化的目的。假設列車的定員為600人，不考慮列車超員的情況，各OD的客流需求和票價如表1所示。

圖1 列車停站方案

OD客流需求/人票價/元AB300100AC600230BC300150

根據表1中各OD客流需求及列車席位能力，可以得到不同的票額分配可行方案，表2中給出了幾種可行方案。方案1，方案2和方案3收益分別為13.8萬元、14.4萬元和14.2萬元?？梢姡煌钠鳖~分配方案將會產生不同的收益，因此在現(xiàn)有列車席位能力下，票額分配方案對提高鐵路部門收益具有重要意義。然而，列車的席位能力不僅可以分配至不同的OD，還可以設置為通售票來應對客流需求的波動[7]。當實際的客流需求與制定票額分配方案時的需求相差較大時，需要現(xiàn)場進行票額調整，而目前票額調整工作主要依據人工經驗進行，效果不明顯[8]，因此制定可靠性更高的票額分配方案具有重要的實際意義。

表2 票額分配方案

2 模型構建

假設某高鐵線路上有m個車站，區(qū)段h=1,2,…,m-1；(i,j)表示從i站到j站的OD對，i=1,2,…,m-1，j=i+1,2,…,m；pij表示OD對(i,j)的票價；k表示線路上運行的列車，列車集合用K表示；Ckh表示列車k在區(qū)段h上的席位能力，在不考慮列車超員的情況下，列車在各區(qū)段上的席位能力相同，為列車的定員Ck；τkij表示列車k是否在i站和j站都停站，如果是則取值為1，否則為0，其值由列車的停站方案決定；xkij表示列車k在OD對(i,j)上分配的票額數(shù)量，其為決策變量。另外，未被分配出去的票額由實際工作經驗決定，本文不考慮未被分配的票額產生的收益。

根據文獻[3]，本文假設OD對(i,j)的客流需求dij服從獨立正態(tài)分布，相應的概率密度函數(shù)fij如式(3)所示，其為隨機變量，相比既有文獻中采用隨機需求的期望值進行計算。本文采用不確定性理論中隨機變量α的樂觀值來處理隨機需求，以得到更加可靠的滿足實際需求的票額分配方案。

(3)

式中：μij和σij分別為正態(tài)分布的均值和標準差。

由于客流需求的隨機波動性，在考慮鐵路部門風險決策態(tài)度時，多列車的票額分配模型如下。

目標函數(shù)：通過確定各列車在各OD上分配的票額數(shù)，使得鐵路部門的收益達到最大，即

(4)

對高鐵線路上列車進行票額分配時，需滿足以下約束。

(1)能力約束：列車在各OD分配的票額不能超過列車在各區(qū)段的席位能力Ckh。

(5)

(2)決策變量的上下限約束：所有列車分配給各OD的票額數(shù)量不能超過各OD的客流需求且不能為負數(shù)?？紤]到客流需求的不確定性，采用機會約束規(guī)劃思想，將滿足客流需求的約束表示為客流需求得到滿足的機會達到一定的置信水平，以獲得對實際需求適應性更高的票額分配方案，即

(6)

(3)列車服務約束：列車只服務停站之間的OD，即只在停站間的OD上分配票額為

(7)

(4)決策變量約束：列車分配的票額必須為整數(shù)，即

xkij∈Z

(8)

式(4)—式(8)構成了不確定需求下的高速鐵路多列車票額分配隨機機會約束規(guī)劃模型，求解上述模型可得到各列車的票額分配方案，即xkij的值。

3 模型求解

(9)

當且僅當

(10)

將其轉化為標準正態(tài)分布形式：

(11)

即

(12)

式中：Φ-1(x)為標準正態(tài)分布函數(shù)Φ(x)的反函數(shù)，通過查閱標準正態(tài)分布獲得Φ-1(1-αij)的值，由此約束條件(6)轉化為：

(13)

除了約束條件(6)轉化為約束(13)外，其他約束條件和目標函數(shù)保持不變，本文所構建的機會約束規(guī)劃模型轉化為確定性的線性整數(shù)規(guī)劃模型M1，利用Lingo 12.0求解軟件對模型M1進行求解，可得到各列車的票額分配方案。

4 案例分析

4.1 基礎數(shù)據

圖2 京滬高鐵線路及列車停站方案

上車站下車站票價/元需求/人標準差上車站下車站票價/元需求/人標準差北京南廊坊 29.57134.3濟南西泰安 24.54913.3北京南滄州西 94.59541.4濟南西曲阜東 59.5246.3北京南德州東 144.53010.5濟南西棗莊 99.5188.6北京南濟南西 184.536437.5濟南西徐州東 129.54721.2北京南泰安 214.06626.4濟南西宿州東 164.530.7北京南曲阜東 244.04031.5濟南西南京南 279.0228.7北京南棗莊 284.01811.1濟南西鎮(zhèn)江南 304.074.7北京南徐州東 309.015348.7濟南西常州北 334.042.8北京南宿州東 339.0115.7濟南西蘇州北 364.0158.1北京南南京南 443.5886128.0濟南西上海虹橋398.56929.1北京南鎮(zhèn)江南 468.54914.8泰安 曲阜東 29.500.0北京南常州北 493.57110.4泰安 棗莊 74.552.4北京南蘇州北 523.534151.8泰安 徐州東 104.5199.1

續(xù)表3 各OD參數(shù)值

4.2 票額分配方案

在各OD客流需求置信水平均為90%的條件下，利用Lingo 12.0求解線性整數(shù)規(guī)劃模型M1，得到G101，G5，G105和G11的票額分配方案分別如表4、表5、表6和表7所示。

4.3 靈敏度分析

在求解模型時客流需求約束的置信水平αij為預先設定的，不同的置信水平表示各OD分配的票額數(shù)對需求的滿足程度以及鐵路部門決策者的風險態(tài)度。為研究不同置信水平的取值對票額分配的影響，即鐵路部門風險決策態(tài)度對票額分配的影響，本文設定αij分別為10%，20%，…，90%，對模型進行求解，得到的鐵路收益如表8所示。借鑒文獻[10]，在相同的客流需求下，以現(xiàn)有的先客流分配再票額分配的方法作為對比方案，在與本文方案相同的置信水平下得到的鐵路收益如表8所示。

表4 G101票額分配方案

表5 G5票額分配方案

表6 G105票額分配方案

續(xù)表6 G105票額分配方案

表7 G11票額分配方案

表8 不同置信水平下的鐵路收益

5 結 論

(1)通過分析鐵路部門風險決策態(tài)度，引入隨機變量的α樂觀值對鐵路部門的風險決策態(tài)度進行定量化刻畫，并在分析票額分配方案意義的基礎上，構建了高速鐵路多列車票額分配問題的隨機機會約束規(guī)劃模型。通過不確定規(guī)劃理論將所構建的模型轉化為確定性線性整數(shù)規(guī)劃模型，并利用Lingo 12.0優(yōu)化軟件進行求解。

(2)以京滬高鐵列車為例研究了鐵路部門風險決策態(tài)度對票額分配的影響。結果顯示，在實際售票過程中必須考慮客流需求的不確定性，選取合理的置信水平以獲得較優(yōu)的票額分配方案。

(3)本文僅研究了同一高鐵線路上列車的票額分配方案，未來將進一步研究高鐵網絡的票額分配方案。