數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中開(kāi)放型問(wèn)題的設(shè)計(jì)思考

□朱建明

（南京市教學(xué)研究室，江蘇南京 210001）

復(fù)習(xí)是一種常見(jiàn)的教學(xué)活動(dòng)，貫穿于教學(xué)的全過(guò)程.數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課首先是以系統(tǒng)復(fù)習(xí)所學(xué)知識(shí)為主要任務(wù)，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與掌握，使之系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，同時(shí)，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課還要落實(shí)基本技能的訓(xùn)練，并在其中滲透基本的數(shù)學(xué)思想方法，提升數(shù)學(xué)能力，具有總結(jié)與回顧、沉淀與生長(zhǎng)的獨(dú)特教學(xué)功能.在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中，設(shè)置開(kāi)放型問(wèn)題，不僅可以充分利用開(kāi)放型問(wèn)題固有特性幫助學(xué)生梳理學(xué)過(guò)的知識(shí)，訓(xùn)練應(yīng)有技能，彌補(bǔ)過(guò)失缺漏，還能綜合提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.下面就以蘇科版初中數(shù)學(xué)教材中的內(nèi)容為例，談?wù)剶?shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中開(kāi)放型問(wèn)題的設(shè)計(jì).

一、梳理基礎(chǔ)知識(shí) 突出具體化

梳理基礎(chǔ)知識(shí)是對(duì)已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)整理，這是復(fù)習(xí)課教學(xué)中不可或缺的重要環(huán)節(jié)，也能幫助學(xué)生進(jìn)一步理解和掌握知識(shí)，提高知識(shí)系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化和結(jié)構(gòu)化.在梳理基礎(chǔ)知識(shí)時(shí)設(shè)計(jì)使用的開(kāi)放型問(wèn)題，要突出知識(shí)的附著點(diǎn)，使知識(shí)梳理更加直觀和具體，也更容易促進(jìn)學(xué)生理解和掌握.

例1九年級(jí)下冊(cè)的“二次函數(shù)復(fù)習(xí)課”

在本節(jié)課的導(dǎo)入階段，教師出示問(wèn)題：

寫(xiě)出一個(gè)形如y＝ax2+bx+c的二次函數(shù)，畫(huà)出它的圖象，并說(shuō)出它的性質(zhì).

教師根據(jù)學(xué)生所完成任務(wù)中的典型例子，概括梳理二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).

本例中的開(kāi)放型問(wèn)題，正是從學(xué)生提供的具體化的二次函數(shù)出發(fā)，學(xué)生可以看到自己舉的例子，也可以與別人的例子進(jìn)行比較，最后概括為二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)和負(fù)數(shù)兩類(lèi)情況，這樣的知識(shí)梳理直觀具體，學(xué)生的參與性較強(qiáng).

例2九年級(jí)上冊(cè)的“等可能條件下的概率復(fù)習(xí)課”

在本節(jié)課的導(dǎo)入階段，教師出示問(wèn)題：

（1）如何設(shè)計(jì)一個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，使得任意轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)1次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針落在紅色區(qū)域的概率為

二、訓(xùn)練基本技能 強(qiáng)調(diào)個(gè)性化

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性和積極性，要保證學(xué)生基本技能訓(xùn)練的數(shù)量與質(zhì)量，這是培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ).利用開(kāi)放型問(wèn)題訓(xùn)練學(xué)生的技能，要因人而異，強(qiáng)調(diào)個(gè)性化，這也是開(kāi)放性問(wèn)題中不確定因素帶來(lái)的有利條件.

例3七年級(jí)下冊(cè)的“因式分解復(fù)習(xí)課”

在本節(jié)課的例題教學(xué)階段，教師出示問(wèn)題：

請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)單項(xiàng)式，使得多項(xiàng)式4a2b2+1加上這個(gè)單項(xiàng)式后，能成為一個(gè)多項(xiàng)式的完全平方.

本例主要訓(xùn)練運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解的技能，由于4a2b2+1加上一個(gè)單項(xiàng)式后，可以成為一個(gè)多項(xiàng)式的完全平方，因此可以有多種 情 況 ：（4a2b2+1）+4ab＝（2ab+1）2；（4a2b2+1）+（-4ab）＝（2ab-1）2；（4a2b2+1）+4a4b4＝（2a2b2+1）2.所以加上的單項(xiàng)式可以是4ab，-4ab，4a4b4.

例4九年級(jí)下冊(cè)的“圖形的相似復(fù)習(xí)課”

在本節(jié)課的例題教學(xué)階段，教師出示問(wèn)題：

如圖1，10×10的正方形方格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在單位小正方形的頂點(diǎn)上.請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出一個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形頂點(diǎn)上的△DEF，使得△DEF∽△ABC，它們的相似比不為1，并請(qǐng)說(shuō)明你這樣畫(huà)的理由.

圖1

作為開(kāi)放型例題，本例中的△DEF的大小不確定，位置也不確定，都需要學(xué)生自己確定.因?yàn)樗愿鶕?jù)“三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似”的判定定理，只要，就可以畫(huà)出△DEF了，這里的相似比為2.當(dāng)然，也可以畫(huà)相似比為，3等的相似三角形.另外，由于∠ABC＝135°，本題還可以利用“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似”的判定定理求解.因此展示學(xué)生的不同畫(huà)法，讓全班學(xué)生一起說(shuō)明理由，這樣可以在體現(xiàn)個(gè)性化的基礎(chǔ)上，訓(xùn)練學(xué)生判定相似三角形的方法和技能.

三、掌握思想方法 注重普適化

初中數(shù)學(xué)包含豐富的數(shù)學(xué)思想方法，掌握這些思想方法，不僅能夠增進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，也能強(qiáng)化數(shù)學(xué)技能，還能培養(yǎng)學(xué)生舉一反三、觸類(lèi)旁通的能力.利用開(kāi)放型問(wèn)題滲透數(shù)學(xué)思想方法，注重普適化，能夠拓展學(xué)生思考問(wèn)題的廣度和深度，有效提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的效益.

例5七年級(jí)上冊(cè)的“有理數(shù)的加法與減法復(fù)習(xí)課”

在本節(jié)課的例題教學(xué)階段，教師出示問(wèn)題：

（1）任意說(shuō)出兩個(gè)數(shù)，比較它們的和與0的大小；

（2）如果x，y是兩個(gè)不等于0的有理數(shù)，請(qǐng)比較x+y與0的大小關(guān)系.

相對(duì)于0而言，每個(gè)學(xué)生說(shuō)出的數(shù)以及x，y都是不確定的，它們可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)，于是要分情況討論：x，y都是正數(shù)；x，y都是負(fù)數(shù)；x與y兩數(shù)符號(hào)相反，正數(shù)的絕對(duì)值大于負(fù)數(shù)的絕對(duì)值；x與y兩數(shù)符號(hào)相反，正數(shù)的絕對(duì)值小于負(fù)數(shù)的絕對(duì)值；x與y是相反數(shù).本例既能深化學(xué)生對(duì)有理數(shù)的認(rèn)識(shí)，也能強(qiáng)化分類(lèi)討論思想方法的運(yùn)用，這是學(xué)生學(xué)了負(fù)數(shù)以后的普適化要求.

例6九年級(jí)下冊(cè)的“初三總復(fù)習(xí)課——函數(shù)”

在本節(jié)課的綜合訓(xùn)練階段，教師出示問(wèn)題：

寫(xiě)出三個(gè)不同的函數(shù)表達(dá)式，使它們的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（-2，4），N（-4，2），簡(jiǎn)要說(shuō)明解答過(guò)程.

本例中的函數(shù)，可以是二次函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù).如果要寫(xiě)的函數(shù)是一次函數(shù)或反比例函數(shù)，可以直接利用待定系數(shù)法求解；如果要寫(xiě)的函數(shù)是二次函數(shù)，一是可以將點(diǎn)M，N中的一個(gè)點(diǎn)作為這個(gè)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，這個(gè)圖象又過(guò)另一點(diǎn)，那么用待定系數(shù)法便可求得；二是可以設(shè)所求函數(shù)的圖象再經(jīng)過(guò)另外一點(diǎn)，也可以通過(guò)待定系數(shù)法求解.因此，本題求解的過(guò)程，是反復(fù)使用待定系數(shù)法的過(guò)程，本例可以使學(xué)生充分體會(huì)待定系數(shù)法的普適性的價(jià)值.

四、彌補(bǔ)薄弱環(huán)節(jié) 凸顯立體化

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課一般都重視學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的遺漏點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和盲點(diǎn)的補(bǔ)缺矯正，不管是全班學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，還是個(gè)別學(xué)生存在的問(wèn)題，都需要強(qiáng)化糾錯(cuò)，明晰道理.緊扣知識(shí)的易混點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)設(shè)計(jì)開(kāi)放型復(fù)習(xí)問(wèn)題，能夠立體式展示這些薄弱環(huán)節(jié)，做到對(duì)癥下藥，有的放矢.

例7八年級(jí)下冊(cè)的“二次根式的復(fù)習(xí)課”

在本節(jié)課的小結(jié)階段，教師出示問(wèn)題：

舉一個(gè)例子，說(shuō)說(shuō)二次根式運(yùn)算中的常見(jiàn)錯(cuò)誤.

根據(jù)學(xué)生舉出的例子，包括本節(jié)課產(chǎn)生的，也包括以前學(xué)生做練習(xí)時(shí)的錯(cuò)誤，教師選擇其中的典型錯(cuò)誤，師生一起討論這些錯(cuò)誤以及產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因.

這個(gè)問(wèn)題不僅主體開(kāi)放，如每個(gè)學(xué)生都有自己的問(wèn)題；也有典型錯(cuò)誤的開(kāi)放，如每個(gè)人產(chǎn)生錯(cuò)誤還不盡相同.這些錯(cuò)誤案例需要學(xué)生總結(jié)提供，涵蓋所有學(xué)生，因此具有立體化、全面性的特點(diǎn).對(duì)每個(gè)學(xué)生而言，都能感悟這些典型錯(cuò)誤，可以達(dá)到示錯(cuò)、糾錯(cuò)和防錯(cuò)的效果.

五、提升專(zhuān)項(xiàng)能力 力求延展化

提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)目標(biāo)之一，也是它的重要使命.利用開(kāi)放型問(wèn)題，延展復(fù)習(xí)內(nèi)容，使得學(xué)生在新情境、新方法、寬視域中提升分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

例8七年級(jí)下冊(cè)的“一元一次不等式復(fù)習(xí)課（二）”

在本節(jié)課的導(dǎo)入階段，教師出示問(wèn)題：

一元一次不等式是揭示現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)模型，編擬一個(gè)用一元一次不等式解決的實(shí)際問(wèn)題，并列出不等式求解.

教師選擇學(xué)生編擬的典型問(wèn)題，要求全班學(xué)生一起求解.

一般而言，應(yīng)用問(wèn)題復(fù)習(xí)教學(xué)中，都是教師給出具體問(wèn)題，要求學(xué)生求解，本例卻讓學(xué)生提出問(wèn)題，延展了教學(xué)內(nèi)容，有利于培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)及應(yīng)用意識(shí).

例9 九年級(jí)下冊(cè)的“圓復(fù)習(xí)課（二）”

在本節(jié)課的思維拓展階段，教師出示問(wèn)題：

如果兩個(gè)圓只有一個(gè)交點(diǎn)，并且一個(gè)圓在另一個(gè)圓的外部，那么我們就稱(chēng)這兩個(gè)圓外切，此時(shí)，這兩個(gè)圓的圓心所連的線段長(zhǎng)等于這兩個(gè)圓的半徑之和.過(guò)這兩個(gè)圓交點(diǎn)的兩圓的切線，叫作兩圓的內(nèi)公切線，其他的兩圓的公切線叫作兩圓的外公切線.

如圖2，⊙O1與⊙O2外切于點(diǎn)C，CD為它們的內(nèi)公切線，AB為它們的外公切線，且A，B為切點(diǎn)，CD與AB相交于點(diǎn)D.根據(jù)圖中給出的已知條件及線段，寫(xiě)出三個(gè)正確結(jié)論，并說(shuō)明理由.

圖2

這個(gè)開(kāi)放型問(wèn)題拓展了教學(xué)內(nèi)容，豐富了探究素材.本例可以引導(dǎo)學(xué)生從線段關(guān)系、角的關(guān)系、三角形的關(guān)系等角度去考慮，并由此推出相關(guān)結(jié)論.這些結(jié)論包括：△ABC是直角三角形；AC2+BC2＝AB2；∠BAC＝∠CBO2；△O1AC∽△DBC；AB2＝4O1C·O2C等.此類(lèi)開(kāi)放型問(wèn)題能有效提高學(xué)生的探究能力和邏輯推理能力.

總之，在復(fù)習(xí)課教學(xué)中設(shè)計(jì)開(kāi)放型問(wèn)題，要與學(xué)生的認(rèn)知水平適切相當(dāng)，與復(fù)習(xí)課的目標(biāo)合理匹配，與復(fù)習(xí)課的內(nèi)容無(wú)縫對(duì)接，只有這樣，才能最大限度發(fā)揮開(kāi)放型問(wèn)題在復(fù)習(xí)課教學(xué)中的作用和價(jià)值，從而為復(fù)習(xí)課有效教學(xué)服務(wù)，為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展服務(wù).