經(jīng)歷圖形研究 體悟概念生成*
——《全等圖形》課堂實錄與評析

□周海東

（蘇州工業(yè)園區(qū)星洋學(xué)校，江蘇蘇州 215000）

筆者執(zhí)教蘇科版義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》八年級上冊《全等圖形》一課時，通過建構(gòu)操作活動，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷圖形研究的過程，體悟概念生成，收到很好的教學(xué)效果，受到同行的一致好評.現(xiàn)將課堂實錄及感悟整理成文，與同行交流研討.

一、課堂實錄

（一）用數(shù)學(xué)的眼光看世界——對全等圖形的初次觸摸

師：德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲曾說過：“世界上沒有兩片完全相同的葉子.”

【解析】用數(shù)學(xué)的眼光來看這兩片葉子，我們不再關(guān)注它作為生物的一種特性，只關(guān)注它的數(shù)量關(guān)系和空間形式.

（演示課件）師：如果把這兩片葉子疊合到一起去，你會有什么發(fā)現(xiàn)？

生：重合！

師：你能再舉點這樣的例子嗎？

生：比如黑板、教室的窗戶等.

師：這一類圖形有何特質(zhì)？

生：通過平移或旋轉(zhuǎn)后會重合.

師：能完全重合的圖形稱為“全等圖形”.

【解析】學(xué)生對現(xiàn)實世界中的全等現(xiàn)象是熟悉的，但對其數(shù)學(xué)屬性并不了解，因此，筆者設(shè)計了用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，引導(dǎo)學(xué)生從一類圖形的共性特征中抽象出全等圖形的概念.

（二）用數(shù)學(xué)思維思考問題——對全等圖形的三度辨析

1.眼見未必為實——對圖形全等的首度辨析

探究活動1：觀察與驗證.

師：如圖1，觀察下列圖形，請找出其中的全等圖形并連線，再運用實驗材料進(jìn)行驗證.

圖1

師：你是怎么找到的？

生：目測.

師：眼見未必為實，你有辦法來驗證嗎？

生：旋轉(zhuǎn)透明紙上的菱形，發(fā)現(xiàn)它們能夠重合.

師：非常好，請坐！要判斷兩個圖形是否全等，只要把它疊合到一起去，看是否完全重合.但是這個圖形是拿不出來的，利用透明紙把圖形“拿”出來比較，就可以判斷了.

【解析】紙上呈現(xiàn)的圖形是不可移動的，學(xué)生只能依靠“目測”來判斷，但這種“目測”并不嚴(yán)謹(jǐn).因此，筆者通過提供和圖1完全一樣的透明材質(zhì)的操作材料，引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)實驗將圖形運動從不可操作轉(zhuǎn)化為可操作，真正讓學(xué)生經(jīng)歷圖形研究的過程.

2.逆向亦或為真——對圖形全等的再度思考

師：如果把一個圖形平移（如圖2），平移后的圖形跟原圖形全等嗎？

圖2

圖3

圖4

生：是.

師：為什么？

生：因為平移時沒有改變圖形的形狀、大小.

師：如果旋轉(zhuǎn)后像圖3這樣全等嗎？

生：也是.

師：翻折后像圖4這樣呢？

生：也是.

【解析】從人的思維角度而言，既然判斷圖形是否全等可以借助平移、旋轉(zhuǎn)、翻折來驗證圖形是否重合，那么反過來呢？結(jié)論還成立嗎？

3.本質(zhì)越辨越明——對圖形全等的深度辨析

探究活動2：同一張底片沖印出來的1寸照片和2寸照片.

師：這兩張照片是全等圖形嗎？

生：不是，大小不同.

探究活動3：如圖5，下列兩個由三個邊長為1的小正方形組成的圖形全等嗎？

圖5

生：不是，因為它們形狀不一樣.

師：那么你有辦法讓它們變成一樣嗎？

（學(xué)生上臺操作，如圖6）

師：這個方法很好，有其他辦法嗎？

（學(xué)生上臺操作，如圖7、圖8）

圖6

圖7

圖8

【解析】通過控制形狀和大小這兩個變量讓學(xué)生深度理解概念.

（三）用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題——對全等關(guān)系的深入研究

1.復(fù)雜中抽象基本，訓(xùn)練學(xué)生識圖技能

探究活動4：操作與實踐.

師：如圖9，觀察圖形，你能找出圖中的全等圖形嗎？

圖9

（學(xué)生小組活動）

生：可以找一下對稱軸，依據(jù)對稱軸可以找出對稱圖形.比如說豎著的，橫著的也行.

師：怎樣才能不重復(fù)和遺漏呢？

生：我們對它進(jìn)行分解或分類.

師：最小的三角形有幾個？

生：12個.

師：再找哪個？

生：邊長為3的三角形有6個，最大的三角形有2個.

師：三角形找完了，應(yīng)該找……

生：四邊形.

師：（邊演示邊說）還有梯形，還有更大的梯形，還有最大的梯形……還有不規(guī)則的圖形，同學(xué)們可以找出非常多的全等圖形，如圖10.

圖10

師：找全等圖形時需要把握什么樣的特征呢？

生：我認(rèn)為是形狀相同，大小也要相等.

師：很好，你抓住了全等圖形的基本特征.

【解析】通過這樣的識圖訓(xùn)練，一方面可以讓學(xué)生在概念的形成過程中提升自己的思維能力，因為只有在思維過程中獲得的經(jīng)驗才更有價值；另一方面，可以讓學(xué)生進(jìn)一步體悟分類討論的思想.

2.運動中感悟本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生空間觀念

探究活動5：操作與實踐.

師：如圖11，圖中②是由①經(jīng)過怎樣的運動得到的？

圖11

生：向右平移5個單位.

師：按照這樣的規(guī)律，你能在操作紙上畫出下一個圖形嗎？除了平移，再進(jìn)行翻折又是怎么樣？

（教師展示學(xué)生的作品，如圖12、圖13、圖14）

圖12

圖13

圖14

生：圖12中的③是由②繼續(xù)向右平移5個單位得到的.

生：圖13中的③是由②繼續(xù)向右平移3個單位，然后翻折過來得到的.

師：如果先翻折再平移是不是一樣的呢？

生：是.

師：那圖14呢？誰來說說？

生：由圖①先順時針旋轉(zhuǎn)90°得到圖②，再由圖②旋轉(zhuǎn)90°并翻折過來得到圖③.

師：你觀察得非常仔細(xì).運動只是改變了圖形的位置、形狀和大小不變.今后我們將會經(jīng)常用運動的視角來研究圖形，運動前后的兩個圖形全等.

【解析】筆者設(shè)計了“描述圖形的運動和變化，并依據(jù)語言的描述來畫出圖形”這一操作活動，讓學(xué)生盡可能多地觀察、操作、類比，從而發(fā)展學(xué)生的空間觀念.

3.變化中尋找不變，體悟數(shù)學(xué)抽象思維

小組討論：如圖15，你能用不同的方法，沿網(wǎng)格線將正方形分割成兩個全等的圖形嗎？

（學(xué)生小組合作，5分鐘后學(xué)生上臺演示，展示成果，如圖16）

圖15

圖16

師：說說看，你們是怎么找到這些分割線的？

生：我們是一條一條試出來的.

師：有沒有一般的方法呢？

（生沉默）

師：橫向與縱向其實是一樣的，因此，我們只要找到一個方向就可以了.我們不妨選擇橫向.大家仔細(xì)觀察一下，分割后兩個圖形是什么關(guān)系？

生：全等.

師：這些分割線都經(jīng)過一個什么點？

生：中心點.

師：你能想清楚為什么嗎？

生：因為分割后的兩個圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)是能夠重合的.換句話說，這個分割線也一定被中心點分割成兩個全等圖形.

師：你的發(fā)現(xiàn)真妙！其實我們尋找分割線，就是要找從左側(cè)邊界上的點到中心點的連線就可以了.如圖17，這兩個點之間沿網(wǎng)格線有幾條可連的分割線呢？

生：四條.

圖17

圖18

師：還有別的發(fā)現(xiàn)嗎？

生：左側(cè)中間那個點與中心點之間也有兩條可連的分割線.

師：同學(xué)們再畫時，是不是就簡單了？只要畫出左半邊的分割線，根據(jù)全等圖形的特征，另外半邊就馬上可以補(bǔ)出來了.

【解析】引導(dǎo)學(xué)生在變化中尋找不變，由全等的概念展開聯(lián)想，從而抽象出兩個點之間的連線，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)思考的過程，從而提升學(xué)生的思維能力.

二、教學(xué)反思

本節(jié)課是《全等三角形》單元的起始課，又是學(xué)習(xí)平面圖形關(guān)系的引言課，隱含地指出平面幾何的研究對象是圖形的形狀和大小，把對稱、平移和旋轉(zhuǎn)作為研究平面幾何的基本工具，把圖形的分割與拼接作為研究平面幾何的基本方法.

（一）概念的建構(gòu)必須著眼于數(shù)學(xué)現(xiàn)實

概念教學(xué)的核心是概括，需要以典型豐富的實例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開觀察、分析各實例的屬性，抽象概括共同本質(zhì)屬性，從而歸納形成數(shù)學(xué)概念.對全等圖形數(shù)學(xué)特質(zhì)的描述是一個看似簡單、卻又有豐富內(nèi)涵的過程.教材將全等圖形的概念描述為“能夠完全重合的圖形稱之為全等圖形”，其特征為“形狀相同、大小相等”.那么，為什么不直接將全等圖形定義為“形狀相同、大小相等”呢？筆者認(rèn)為，根源在于難于進(jìn)行觀察和運算，用數(shù)量關(guān)系來描述圖形的形狀、大小的難度要比“重合”要高.從這個意義上來說，圖形全等的數(shù)學(xué)本質(zhì)就是“重合”.因此建構(gòu)“全等圖形”的概念必須引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光來觀察身邊的“重合”現(xiàn)象，從而提煉出這一類圖形的共性特征.

（二）概念的理解需要經(jīng)歷數(shù)學(xué)思考

就教師而言，“全等圖形”無疑是一個非常簡單的概念，但這種“簡單”其實是我們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中歷經(jīng)千辛萬苦、長期積累才得到的.由于數(shù)學(xué)概念的高度抽象性，學(xué)生對貌似簡單的數(shù)學(xué)概念往往需要費很大周折才能真正理解.如果忽視這一點，就會造成教師以為學(xué)生很懂，而學(xué)生實質(zhì)“懵懂”的教學(xué)現(xiàn)象.因此，在教學(xué)中，教師必須要追溯概念本源，展現(xiàn)其形成過程，充分挖掘概念的內(nèi)涵和外延，幫助學(xué)生理解全等圖形的特征.

本課例首先借助“數(shù)學(xué)實驗”幫助學(xué)生從感性上來體悟圖形的全等.由于缺少對圖形的數(shù)量關(guān)系的描述，學(xué)生對于兩個圖形是否“完全重合”的判斷只能依賴目測，猜想圖形“全等”.這種驗證方法并不可靠.顯然，印在紙上的平面圖形無法運動，但是，借助數(shù)學(xué)實驗材料——透明紙，就能實現(xiàn)圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折，從而判斷圖形是否全等.

其次利用“逆向思維”建構(gòu)認(rèn)知沖突來思辨概念.既然可以用平移、旋轉(zhuǎn)、翻折的方法來檢驗圖形是否重合，那么平移、旋轉(zhuǎn)、翻折后的圖形是否和原圖形全等？這樣的想法自然產(chǎn)生，而通過對這個問題的說理思辨可以讓學(xué)生進(jìn)一步加深對“完全重合”這一概念的理解.

最后通過控制“形狀”“大小”這兩個變量來挖掘概念的內(nèi)涵和外延.筆者先利用“同一底片”來控制形狀，再“利用3個邊長為1的正方形”來控制大小，讓學(xué)生感悟“完全重合”的特征就是“形狀、大小相同”，而形狀、大小是可以用數(shù)量關(guān)系來描述的，通過有趣且有效的數(shù)學(xué)活動讓學(xué)生深度理解全等圖形的特征.

（三）概念的應(yīng)用需要體悟數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)抽象要以基于感知和操作所得到的知識經(jīng)驗為基礎(chǔ)，通過典型實例引導(dǎo)學(xué)生比較、分析，充分討論、理解歸納共同屬性.本節(jié)課站在系統(tǒng)思維的高度引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷圖形研究的過程，體悟概念生成的基本方法.一是通過從復(fù)雜圖形中抽象出基本的全等圖形，培養(yǎng)學(xué)生的識圖能力，感悟分類討論的數(shù)學(xué)思想.二是根據(jù)圖形變換規(guī)律畫圖，讓學(xué)生在畫圖過程中描述圖形的運動和變化，并依據(jù)語言描述來畫出圖形，發(fā)展學(xué)生的空間觀念.三是沿網(wǎng)格線分割正方形，借助一個有挑戰(zhàn)性的活動來積累圖形研究的經(jīng)驗，筆者在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生從他們所畫的圖形中尋找共性，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)所有的分割線均隱藏在三個特殊“點”之間的連線上 .