淺談立體幾何中的作圖

（吉安市教研室 江西吉安 343000）

立體幾何是高中數(shù)學(xué)中一個重要的組成部分，在高考試卷中的分值也很高，整體難度不會太大，但是對于空間思維相對較弱的學(xué)生來說，這就是一個無法逾越的難題，怎么提高學(xué)生的空間思維---——學(xué)會作圖，一般的作圖學(xué)生能聽懂，但是他們只是知其然而不知其所以然，他們不知道作圖的理論依據(jù)是什么，下面就從幾個案例中來探索立體幾何中的一些作圖的依據(jù)，希望在增加對立體幾何概念的理解、提高空間思維能力方面起拋磚引玉的作用。

類型一 利用公理和定理作截面圖

例1．如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1中，E, F, G 分別在AB, BC, DD1上，作過E, F, G三點的截面

分析：設(shè)過E, F, G 三點的截面為α根據(jù)公理2可知，

兩平面相交成一交線，而且確定一條直線只需兩個點，E, F∈平面ABCD ，連接E, F使得EF∩AD=P, EF∩CD=M

所以P, G 是平面ADD1A1與平面α的公共點，連接PG, PG∩AA1=Q 同理M, G 是平面CDD1C1與平面α的公共點，連接MG, MG∩AA1=N 連接QE, CN 所以截面為五邊形EFNGQ

類型二 利用直線與平面平行的性質(zhì)定理作平行線

例2．如圖，四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F(xiàn)分別為線段AD，PC的中點，求證：AP∥平面BEF；

分析：要證明AP∥平面BEF，只需證明AP平行平面BEF上的一條直線，證明之前要作出這條直線，怎么作出的直線就一定平行呢？根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理（一條直線和一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行）可知，只需過AP作一平面與平面BEF相交，則AP就一定會平行這條交線，所以只需連接AC交BE于點O，連接OF即可．

證明 連接EC，

∴四邊形ABCE是平行四邊形，∴O為AC的中點．

又∵F是PC的中點，

∴AP∥平面BEF．

類型三 利用平面與平面垂直作平面的垂線

例3．已知三棱錐A－BCD中，AB=BC=BC=BD=CD＝2，AD＝1，則D與平面ABC的距離為。

分析：要用傳統(tǒng)方法來解決這個問題，就必須準(zhǔn)確地作出點D到平面ABC的垂線，當(dāng)垂足在平面內(nèi)部時，怎么作呢？可以根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理（如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面），首先過點D作一平面垂直于平面ABC，然后過點D作交線的垂線，則垂線的長即是我們要找的點D到平面ABC的距離。

解：作BC的中點E，連接AE，DE，過點D作AE的垂線，垂足是點O。

通過上述案例我們可以發(fā)現(xiàn)，如果能快速、準(zhǔn)確地作出需要的輔助線，那么就可以很簡便的利用傳統(tǒng)方法解決立體幾何問題，而且計算量很小，同時也無形中增強(qiáng)了空間思維能力，切實提高解決立體幾何問題的能力。