多視角 巧突破*—2018年全國I卷理數(shù)第16題的解法賞析與探究

廣東省佛山市樂從中學(xué)(528315) 林國紅

一、試題呈現(xiàn)與命題分析

試題已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x,則f(x)的最小值是___.

試題分析試題結(jié)構(gòu)非常簡單,題干也短,構(gòu)思獨特.以三角函數(shù)為背景,考查函數(shù)的最值問題.知識方面主要考查三角恒等變換,三角函數(shù)性質(zhì)及其相關(guān)運算,均值不等式,導(dǎo)數(shù)法等;思想方面主要考查轉(zhuǎn)化與化歸思想,換元思想與數(shù)形結(jié)合思想.綜合考察學(xué)生邏輯思維、推理及運算等方面的能力.本題作為填空題中的壓軸題,是一道具有選拔學(xué)生功能的好題.

本文將給出此題的多種解法,拋磚引玉.

二、解法賞析

(1)視角1:均值不等式

解法一由于f(x)=2sinx+sin2x是奇函數(shù),其最大值與最小值是互為相反數(shù),所以只需求f(x)的最大值.因為y=f(x)=2sinx+2sinxcosx=2sinx(1+cosx),所以

故y的最大值為當(dāng)且僅當(dāng)3-3cosx=1+cosx,即時,等號成立.所以f(x)的最小值是

解法二因為設(shè)則有

評注利用均值不等式求最值是高中數(shù)學(xué)常用方法之一,若要用均值不等式求幾個正數(shù)積的最大值,關(guān)鍵在于構(gòu)造條件,使其和為常數(shù),通常要通過乘以或除以常數(shù)、拆因式(常常是拆高次的式子)、平方等方式進行構(gòu)造.解法一與解法二都用到了四元均值不等式,此外還用到了三角變換等知識.

(2)視角2:導(dǎo)數(shù)法

解法三由于f(x)=2sinx+sin2x的最小正周期是2π,所以只須考慮x∈[0,2π).當(dāng)x=π時,f(x)=0;當(dāng)時,

令f′(x)=0,可得或易知:當(dāng)x∈時,f′(x)＞0,即f(x)在上是增函數(shù);當(dāng)x∈時,f′(x)＜0,即f(x)在上是減函數(shù);當(dāng)時,f′(x)＞0,即f(x)在上是增函數(shù).所以當(dāng)時,f(x)取得最小值于是當(dāng)x∈R時,f(x)的最小值是

解法四因為f(x)=2sinx+2sinxcosx=2sinx(1+cosx),由三角函數(shù)的萬能公式

代入f(x)并化簡,可得設(shè)令則有令y′=0,則易知:當(dāng)時,f′(x)＞0,即f(x)在上是增函數(shù);當(dāng)時,f′(x)＜0,即f(x)在上是減函數(shù);當(dāng)時,f′(x)＞0,即f(x)在上是增函數(shù).于是當(dāng)時,y取得最小值即時,f(x)的最小值是

評注導(dǎo)數(shù)應(yīng)用十分廣泛,利用導(dǎo)數(shù)可以解決求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值、切線的方程等問題.其中導(dǎo)數(shù)法求三角函數(shù)的最值往往可以減少計算量,不但過程簡單,而且可以增強知識之間的融會貫通,拓展知識面,對提高解題能力和培養(yǎng)創(chuàng)新意識具有重要意義.解法三與解法四用到了三角變換,另外解法四還用到了換元法.

(3)視角3:構(gòu)造單位圓

解法五如圖1,在單位圓中,易知正三角形的面積最大,正三角形面積為設(shè)A(-1,0),B(cosx,sinx),C(cosx,-sinx),D(cosx,0),可得即于是所以f(x)的最小值是

圖1

評注本解法思路巧妙,過程簡捷,明了.構(gòu)造法作為一種數(shù)學(xué)思維方法,在處理某些三角問題時,若能充分挖掘題目中潛在的信息,構(gòu)造與之相關(guān)的函數(shù)、方程、對偶式、幾何圖形等數(shù)學(xué)模型,可使問題迅速獲解.

(4)視角4:數(shù)形結(jié)合

圖2

解法六因為f(x)=2sinx+2sinxcosx=2sinx(1+cosx),設(shè)sinx=a,1+cosx=b,則a2+(b-1)2=1,f(x)=2ab.當(dāng)a=0時,f(x)=0;當(dāng)0時,問題可轉(zhuǎn)化為當(dāng)a2+(b-1)2=1時,求2ab的最小值.令k=ab,則如圖2,在平面直角坐標(biāo)aOb中,a2+(b-1)2=1表示以C(0,1)為圓心的圓,是反比例函數(shù).由于是求f(x)的最小值,故只需考慮k＜0.可知當(dāng)與圓a2+(b-1)2=1相切時,k取得最小值.設(shè)與圓a2+(b-1)2=1公共切線為l,切點為因為且直線l與直線PC垂直,故有即點在圓上,故有即聯(lián)立解得且有k＜0,于是所以2ab的最小值為即f(x)的最小值是

評注本解法采取雙換元的方法,利用數(shù)形結(jié)合的思想,將求最值問題轉(zhuǎn)化為用公切線研究兩曲線的相切,思路巧妙,運算量稍大.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用十分廣泛,著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾用一首詩完美的闡述了數(shù)形結(jié)合的價值和本質(zhì),即“數(shù)形本是相倚依,焉能分作兩邊飛.數(shù)缺形時少直覺,形缺數(shù)時難入微.數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬事休.幾何代數(shù)統(tǒng)一體,永遠聯(lián)系莫分離.”在運用數(shù)形結(jié)合解題時,要注意“以形助數(shù),以數(shù)解形”,用直觀的幾何反應(yīng)抽象的公式,用精確的代數(shù)規(guī)范幾何圖形.

(5)視角5:三角形中的不等式

解法七由于f(x)=2sinx+sin2x是奇函數(shù),其最大值與最小值是互為相反數(shù),所以只需求f(x)的最大值,且f(x)的最小正周期是2π,所以f(x)取得最大值時,設(shè)y=sinx,x∈(0,π),有y′′=-sinx＜0,故y=sinx在(0,π)是上凸函數(shù).于是由琴生不等式得:f(x)=2sinx+sin2x=sinx+sinx+sin(π-2x)≤當(dāng)且僅當(dāng)x=π-2x,即時,f(x)取得最大值.所以f(x)的最小值是

評注解法七的思路來自三角形中的一個常見不等式:若A,B,C是△ABC的內(nèi)角,則有這個不等式的證明有多種證法,其中利用琴生不等式能較快地證明,此處不再給出證明過程.本解法思路獨特,解法巧妙、簡單,令人叫絕.另外,此高考題的命題背景是不是來自于這個三角形不等式?值得深思.

三、解后反思

以上的幾種解法,從不同的角度出發(fā)思考問題,各顯神通,這充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)高考題的不拘一格,一道試題往往考查多種能力、多種思想方法;同時,高考試題在命制時充分考慮到考生數(shù)學(xué)能力的個體差異,大多數(shù)試題的解答方法、思維方式不是唯一,一題多解,給考生提供了較大的發(fā)揮空間.這樣通過方法的選擇、解題時間的長短,甄別出考生能力的差異,達到精確區(qū)分考生的目的.另外也說明高考要突出考查知識主干,貼切教學(xué)實際,扎實基礎(chǔ),重視數(shù)學(xué)的基本能力與思想方法,所以我們要在平時的學(xué)習(xí)與訓(xùn)練中重視知識的儲備和方法的積累,才有可能縮短思維的長度,達到事半功倍的效果.

四、解后的拓展探究

在解答本題之余,不禁思考:f(x)=2sinx+sin2x有最值,那么形如f(x)=asinx+sin2x的函數(shù)(例如y=sinx+sin2x)有沒有最值?若有,如何求得?筆者對此作進一步的探索.

求y=sinx+sin2x的最值.

解由于y=sinx+sin2x是奇函數(shù),其最大值與最小值是互為相反數(shù),故只需求最大值.兩邊平方得y2=sin2x(1+2cosx)2=(1+cosx)(1-cosx)(1+2cosx)2.如果直接用均值不等式,顯然取等條件無法滿足,于是需要對一些項進行放大或縮小.為了達到這個目的,可用待定系數(shù)法進行調(diào)整,再用均值不等式.設(shè)正數(shù)p,q,令

由此可見,改變了函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x中sinx的系數(shù),題目的解答會變得困難很多,由此可見在高考題的命制時,命題者的考慮是很周全的,試題的運算量與難度控制到位.另外,對于函數(shù)的f(x)=asinx+sin2x最值,留給感興趣的讀者研究.