把握研究方法 深化思維方式—從2018年高考全國卷再探解析幾何“怎么教”的問題

佛山市教育局教研室(528000) 彭海燕

筆者在文[1]中結合2017年高考全國卷重點探討了解析幾何“考什么”、“怎么考”以及“怎么教”三個方面的問題,其中“怎么教”由于篇幅的原因沒有深入探討.下面結合2018年高考全國I卷理科第19題和文科第20題重點談談解析幾何“怎么教”的認識和思考,不足之處敬請批評指正.

1.考題特點探討與命題探源

梳理考題,探討其考查特點有助于更好地把握怎么教,提高教的有效性;而探索命題來源有助于把握高考試題的命題規(guī)律,提升教的針對性.

1.1 考題特點探討

題目1(2018年高考全國I卷理科第19題)設橢圓C:的右焦點為F,過F的直線l與C交于A,B兩點,點M的坐標為(2,0).

(1)當l與x軸垂直時,求直線AM的方程;

(2)設O為坐標原點,證明:∠OMA=∠OMB.

題目2(2018年高考全國I卷文科第20題)設拋物線C:y2=2x,點A(2,0),B(-2,0),過點A的直線l與C交于M,N兩點.

(1)當l與x軸垂直時,求直線BM的方程;

(2)證明:∠ABM=∠ABN.

2018年高考解析幾何試題的文理科命題嚴格遵循考綱要求,延續(xù)了2016、2017兩年理科以橢圓為載體、文科以拋物線為載體重點考查直線與圓錐曲線位置關系的特點.相對于前兩年,2018年高考命題進一步體現高考內容改革的要求,相同要求的問題,文科適當后移,體現了文理科考生在要求上的差異[2].2018年解析幾何的難度依據教育部考試中心的要求,適當做了降低,但研究方法和思維方式的要求卻沒有降低,保持了延續(xù).另外,整卷解析幾何試題的分布也延續(xù)了前幾年的做法,通過三道試題全面考查直線與四種曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線)的方程及其關系,切入點與往年一致(具體可以參考文[1]的相關闡述),都強調運動與變化的觀點.以理科為例,2016年第一問聚焦圖形的幾何性質的探索,第二問研究的是運用代數方法研究四邊形面積的取值范圍;2017年第一問聚焦點的幾何性質與橢圓的幾何性質,第二問則是借助代數方法研究直線恒過定點問題;2018年相對于前兩年,第一問降低了起點,對邏輯推理和數形結合思想要求降低,只要求關注最簡單的橢圓的性質,第二問則借助代數方法研究橢圓對稱性引起的角的相等幾何問題.通過三年的試題,我們發(fā)現高考試題兩問設計從兩個方面入手,從形到數、從數到形,數形結合,第二問突出考查運動與變化的觀點,強調代數方法研究幾何問題這一解析幾何的基本方法.

1.2 命題探源

高考全國卷命題是題庫命題,事實上,按照《關于深化考試招生制度改革的實施意見》的要求,教育部考試中心高考考試內容改革分三步走:第一步是2014年,啟動高考考試內容改革;第二步是2017年,全面推進改革并形成階段性成果;第三步是2020年,高考命題科學化水平整體提升,現代教育考試國家題庫、國家英語能力等級量表等構成的支撐體系基本建立,整個考試更具科學性、公平性和權威性.[3]題庫命題,除了科學性、公平性和權威性外,還有較強的穩(wěn)定性和延續(xù)性,這也就是為什么每年面對高考試題,總感覺似曾相識.地方分省命題,由于不是題庫命題,因而容易受到參與命題專家個人研究傾向的影響,每年的變化都比較大,試卷整體質量難以保證,風格也不穩(wěn)定,因此在全國卷高考復習的教學中如果能夠結合教育部考試中心命制的幾套試題,特別是課標以來的高考真題展開,可以提升復習的針對性.2018年的高考全國I卷解析幾何試題充分體現了高考題庫命題的特點,試題無論是考查本質還是形式要求,可謂直接源于2015年全國I卷理20題:

題目3在直角坐標系xOy中,曲線與直線l:y=kx+a(a＞0)交與M,N兩點.

(I)當k=0時,分別求C在點M和N處的切線方程;

(II)y軸上是否存在點P,使得當k變動時,總有∠OPM=∠OPN?說明理由.

從圓錐曲線研究的性質來看,這其實是一個關于極點極線關系的問題,其性質散見于教材中的例練習題,具體可以參見文[4],當然從教育部考試中心的命題溯源來看,1995年的全國卷理第26題就是極點極線性質的一個直接應用,而2001年和2006年的全國卷解析幾何解答題都做了進一步性質的探討.

分省命題極大地促進了圓錐曲線性質的研究,而極點極線問題由于性質豐富,得到各省命題專家的厚愛,這也客觀上促進了極點極線性質在中學教師中傳播與研究熱潮.一些中學圓錐曲線性質研究愛好者針對極點共軛的特征,并且為了便于一般教師的理解和把握,將其重新進行命名,稱之為“伴侶點”[5]:圓錐曲線對稱軸上兩個對應點M(m,0)與(拋物線則是M(-m,0)與N(m,0)).有興趣的可以參考文[6]的相關綜述,以及之后一些研究如文[7][8].至于從極點和極線角度闡述近年高考命題的論述可以參看文[9]和[10].

在2016年佛山市高中教學質量檢測(高二)中,我們將2015年高考試題拓展到了橢圓中:

題目4平面直角坐標系xOy中,過橢圓右焦點的直線l:y=kx-k交C于A,B兩點,P為AB的中點,當k=1時OP的斜率為

(I)求C的方程;

(II)x軸上是否存在點Q,使得k變化時總有AQO=∠BQO,若存在請求出點Q的坐標,若不存在,請說明理由.

巧合的是本題中研究的問題恰恰就是2018年高考理科題,數據都一致.

2.把握研究方法深化思維方式

考察解析幾何的學科特點,最重要的是它的“方法論”特征;另外就是它的“綜合性”,首先是用代數方法研究幾何問題,同時,用幾何的眼光處理代數問題(幾何直觀能力的體現).據此,解析幾何的首要教學目標是理解“坐標法”,具體包括用坐標法解決問題的過程和要素(“三部曲”)以及在應用坐標法過程中體現的數形結合思想.[11]在平面直角坐標系中,點的坐標是由幾何作圖得到的,要將各種幾何性質翻譯成坐標運算,需要求助于幾何定理,這里就體現了數形結合的數學思想方法,這就是解析幾何這門學科的精髓.[12]因此對于解析幾何的研究方法,從可操作的角度來看,我們可以用如下的“U形圖”來描述:

也即當我們面對一個幾何問題的時候,要充分挖掘幾何對象的幾何特征(有些時候需要將其轉化為另一個等價的幾何問題),并將挖掘的幾何特征用代數形式(坐標)加以表示,通過代數運算獲取一個代數結果,并將其翻譯成幾何結論.在高考的命題中,上述研究方法中有兩個地方是可以切入命題的,即坐標化過程以及代數運算過程,也即“幾何對象?代數形式”與“代數形式?代數結果”這兩個過程.為了更好地描述上述過程,我們進一步將其細化,深化解析幾何研究的思維方式:

在這圖示中,我們進一步將坐標化可操作化,也即要注重從圖形、方程、數值三個角度來探索坐標化的過程.在高考的命題中,可以采取在坐標化,也即探索幾何問題代數化方面設置難點,也可以在運算過程中設置難點,還可以兩個方向都設置難點.下面通過高考試題的解答來說明上述研究方法和思維方式的落實.

題目1的解析思維分析

(2)首先本題要解決的幾何問題為“證明∠OMA=∠OMB”,即要證明兩個角相等的問題(這是個幾何問題,也即我們要研究的幾何對象為角).這時我們需要做的就是要去圖形中挖掘這兩個角有什么樣的幾何特征或者兩個角的幾何關系.如圖1.

由圖1,當直線l與x軸重合時,∠OMA= ∠OMB=0°;當直線l與x軸垂直時,OM為AB的垂直平分線,∠OMA= ∠OMB.

圖1

這是由圖形的幾何特征的特殊情形決定的.因而很容易結合圖形得到.

2.1 坐標化

對于一般情形,我們需要把幾何問題“∠OMA=∠OMB”代數化,這里角相等有不同的轉化方向.不妨設點A(x1,y1),B(x2,y2).

方向一注意到∠OMA=∠OMB,可以從圖形中直線傾斜角的視角來切入,此時直線AM的傾斜角與BM互補,這樣就可以轉化為斜率和為0,也即kAM+kBM=0,于是這樣便實現了代數化,剩下的工作便是需要通過韋達定理溝通坐標之間的關系,通過運算獲得問題的解.

方向二在三角形AMB中,∠FMA= ∠FMB(∠OMA=∠OMB),因此可以進一步轉化另一個幾何問題,即MF是∠AMB的角平分線,此時只需證明再運用兩點間的距離公式得到問題的代數化(坐標化):

通過代數運算獲取問題的解決.

當然也可以利用圓錐曲線第二定義直接幾何到幾何,利用平面幾何知識獲得問題的證明.

2.2 代數運算

在代數形式?代數結果的運算中,也需要選擇,也即需要關注直線AB的方程形式對于運算的簡潔性的價值.這里以方向一來加以說明.

當直線l的斜率存在時,

比較上述兩種方程形式,第二種韋達定理表達要簡潔許多,同時目標式也很簡潔,因而運算過程也簡潔許多.

因而對于其他方向采取第二種方程形式也會簡潔許多.具體解答限于篇幅不再一一呈現.

上面通過對高考題的解答我們探索并闡述了解析幾何問題的研究方法和思維方式.事實上,在解析幾何怎么教的問題上不難發(fā)現,關鍵是要落實幾何問題坐標化這一核心,這就需要在教學中能夠結合直線與圓、圓錐曲線的知識,逐步引導學生從圖形的角度,方程的角度,數值的角度(2017年的高考對四個點的判斷就是需要從數值的角度判斷點的對稱特征,進而確定后兩個點為橢圓上的點)來探索挖掘圖形的幾何特征,明晰幾何問題的轉化方向,同時在代數運算中引導方程形式對運算復雜程度的對比分析.這需要時間,需要在解析幾何初步以及圓錐曲線中做扎實工作,要能夠給予耐心,要能等待.