探尋中間量 “天塹”變通途—導(dǎo)數(shù)不等式證明的策略探究

安徽省池州市第一中學(xué)(247000) 吳成強(qiáng)

全國(guó)卷最后一道壓軸題常常是導(dǎo)數(shù)題,對(duì)考生的能力特別是創(chuàng)新能力有較高要求,對(duì)優(yōu)秀學(xué)生具有選拔功能,是試卷具有較高區(qū)分度的一道把關(guān)題.這道題考查的范圍比較廣,其中導(dǎo)數(shù)不等式證明問題常常被考查.不等式的證明,一般來說靈活性強(qiáng),難度較大,需要考生熟練的掌握基本方法和基本技巧,具有較為扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底和較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng),對(duì)考生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力,特別是在新的情境下實(shí)現(xiàn)知識(shí)有效遷移的能力有較高要求.有些不等式的證明,命題者在設(shè)計(jì)的時(shí)候就是有意要求考生能先探尋一個(gè)中間量,通過中間量做一個(gè)跳板進(jìn)行過渡轉(zhuǎn)換,把原不等式中條件到結(jié)論“大跨度”降低為“小跨度”,即把原不等式改為一個(gè)易于證明的加強(qiáng)不等式,使證明難度大大降低.如何探尋到一個(gè)合適的“中間量”,這是破解這類問題的關(guān)鍵之所在、策略之所在.這些“中間量”往往比較隱含,不太容易發(fā)現(xiàn),所以我們要加強(qiáng)這方面的研究,積累這方面的經(jīng)驗(yàn).當(dāng)然,我們還需要數(shù)學(xué)的直覺,靈感的迸發(fā),敏銳的觀察,嚴(yán)密的推理,更需要較高的創(chuàng)新能力和靈活應(yīng)變能力.

一、通過消元策略探尋中間量

在一個(gè)式子中如果有多個(gè)變量,我們首先要把這些變量之間的關(guān)系找出來,然后選擇一個(gè)合適的變量,用這個(gè)變量表示其它變量,將多元變量化為單元變量.再抓住式子的結(jié)構(gòu)特征,選擇一個(gè)合適的中間量,以這個(gè)中間量作跳板進(jìn)行過渡,把原來一個(gè)跨度大、坡度陡、彎子急的問題降低為跨度小、坡度緩、彎子小的問題,即得到一個(gè)加強(qiáng)不等式,從而把原不等式的證明改為加強(qiáng)不等式的證明,使證明的難度大大降低.

(II)求證:f(x1)+f(x2)＞2.

解析(I)a的取值范圍為(1,+∞).

(II) 由(I)知,x1,x2為g(x)=f′(x)=ex-x-a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,設(shè)x1＜0＜x2,g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減.下面先證x1＜-x2＜0,只需證g(-x2)＜g(x1)=0.因?yàn)間(x2)=ex2-x2-a=0,得a=ex2-x2,所以g(-x2)=e-x2+x2-a=e-x2-ex2+2x2.設(shè)h(x)=e-x-ex+2x,x＞0,則h′(x)=-e-x-ex+2＜0,所以h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以h(x)＜h(0)=0,所以h(x2)=g(-x2)＜0,所以x1＜-x2＜0(發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)變量x1,-x2之間的大小關(guān)系)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(x1,0)上也單調(diào)遞減,所以f(x1)＞f(-x2),f(x1)+f(x2)＞f(-x2)+f(x2)(將不等式進(jìn)行放縮,得到中間量.)所以要證f(x1)+f(x2)＞2,只需證f(-x2)+f(x2)＞2,即證(將二元變量化為單元變量.)設(shè)函數(shù)k(x)=ex+e-x-x2-2,x∈(0,+∞),則k′(x)=ex-e-x-2x.設(shè)φ(x)=k′(x)=ex-e-x-2x,則φ′(x)=ex+e-x-2＞0,所以φ(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以φ(x)＞φ(0)=0,即k′(x)＞0.所以k(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以k(x)＞k(0)=0.所以當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),ex+e-x-x2-2＞0,則所以f(-x2)+f(x2)＞2,所以f(x1)+f(x2)＞2.

評(píng)注本題中首先要善于發(fā)現(xiàn)兩個(gè)變量x1,x2之間的大小關(guān)系,利用x1＜-x2＜0,得到f(x1)＞f(-x2),將原不等式轉(zhuǎn)化為加強(qiáng)不等式f(-x2)+f(x2)＞2,這個(gè)加強(qiáng)不等式的證明比原不等式的證明要容易的多.本題中的中間量是:f(-x2)+f(x2).

二、通過基本不等式放縮策略探尋中間量

例2已知函數(shù)f(x)=e2x-2mex+4(lnx)2-4mlnx+2m2,求證:對(duì)任意的x＞0,m∈R,恒有f(x)＞4-2ln2.

文中針對(duì)熱電偶傳感器特性及弱信號(hào)檢測(cè)的特點(diǎn)，研究弱信號(hào)檢測(cè)及降噪處理方法，采用多級(jí)放大、軟件濾波等手段，提高系統(tǒng)檢測(cè)精度，濾除信號(hào)干擾，進(jìn)而確保對(duì)空間晶體生長(zhǎng)爐溫度進(jìn)行更為穩(wěn)定的控制。

證明f(x)=(ex-m)2+(2lnx-m)2,即證(ex-m)2+(2lnx-m)2＞4-2ln2,由不等式可得

所以對(duì)任意的x＞0,m∈R,恒有f(x)＞4-2ln2.

評(píng)注本題就是巧妙地運(yùn)用基本不等式把原來比較復(fù)雜的不等式(ex-m)2+(2lnx-m)2＞4-2ln2的證明轉(zhuǎn)化為比較簡(jiǎn)單的加強(qiáng)不等式的證明,這確實(shí)是一個(gè)比較高明的想法,體現(xiàn)了思維的靈活性.我們?cè)诮鉀Q問題的時(shí)候不能一條道走到黑,應(yīng)該審時(shí)度勢(shì),靈活應(yīng)變,多角度、多層次、寬領(lǐng)域的進(jìn)行探究,探求出最佳、最簡(jiǎn)、最有智慧的解法.

例3已知函數(shù)若方程f(x)=1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解x1,x2,證明:x1+x2＞2e.

評(píng)注本題就是巧妙地運(yùn)用基本不等式把原來比較難證的不等式x1+x2＞2e的證明轉(zhuǎn)化為比較簡(jiǎn)單的加強(qiáng)不等式x1·x2＞e2,即lnx1+lnx2＞2的證明.這也是比較好的解法,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與劃歸思想的靈活運(yùn)用,即化難為易,化繁為簡(jiǎn).

例4已知函數(shù)f(x)=ae2x+bex(a0),g(x)=x,若函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,記對(duì)任意a∈(0,+∞),b∈R,試比較f′(x0)與g′(x0)的大小,并證明你的結(jié)論.

評(píng)注本題也是巧妙地運(yùn)用基本不等式得到不等式這一步是整個(gè)問題能夠順利求解的關(guān)鍵和核心之所在,如果不作這樣的轉(zhuǎn)化,那么原問題的求解將是山窮水復(fù)疑無路,但作了這樣的劃歸后就是柳暗花明又一村.

三、利用“重要結(jié)論”探尋中間量

數(shù)學(xué)中有許多重要結(jié)論,這些結(jié)論展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的魅力之所在,往往令人感到無比的震撼.例如導(dǎo)數(shù)中最為常用的結(jié)論有:ln(1+x)≤x,ex≥1+x,這兩個(gè)重要結(jié)論在高考試卷中已被多次考到.解題中如果我們能恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用這兩個(gè)結(jié)論,這將對(duì)我們解題會(huì)提供一個(gè)很好的思路引導(dǎo),也會(huì)使問題求解變得十分簡(jiǎn)單.

例5求證:ex＞ln(x+2).

證明易證:ex≥x+1(等號(hào)成立的條件是x=0),x+1≥ ln(x+2)(等號(hào)成立的條件是x=-1),所以ex＞ln(x+2).

評(píng)注本題也是巧妙地運(yùn)用了重要結(jié)論ex≥1+x,ln(1+x)≤x,使證明變得十分簡(jiǎn)單.倘若不知道運(yùn)用這些結(jié)論,問題的求解就會(huì)變得復(fù)雜的多.教學(xué)實(shí)踐中,發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生不善于運(yùn)用這些結(jié)論,結(jié)果他們費(fèi)了很大的勁都沒有證出來.可見這些重要結(jié)論對(duì)我們解題有很大的幫助,正如我經(jīng)常跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)的:記住有關(guān)結(jié)論,就能提高我們解題的起點(diǎn).另外,我們還容易看到,直線y=x+1是函數(shù)y=ex與函數(shù)y=ln(x+2)的“隔離直線”,將兩個(gè)函數(shù)隔離開來,函數(shù)y=ex的圖像在直線y=x+1的上方,函數(shù)y=ln(x+2)在直線的下方,兩者的大小關(guān)系一目了然.本題的中間量是x+1.

例6證明:當(dāng)x＞0時(shí),x2+x＞2lnx+2sinx.

證明當(dāng)x＞0時(shí),x-1≥lnx(重要結(jié)論到簡(jiǎn)單變形式.)所以要證明x2+x＞2lnx+2sinx,只需證明x2+x＞2(x-1)+2sinx,即證x2-x+2＞2sinx(將lnx放大為x-1,得到加強(qiáng)不等式.)當(dāng)x＞1時(shí),恒有2sinx≤2＜x2-x+2;當(dāng)0＜x≤1時(shí),設(shè)g(x)=x2-x+2-2sinx,則g′(x)=2x-1-2cosx,因?yàn)間′(x)在 (0,1]上單調(diào)遞增,且所以g′(x)＜0,g(x)單調(diào)遞減,所以g(x)≥g(1)=2-2sin1＞0,即x2-x+2＞2sinx.綜上可得x2+x＞2lnx+2sinx.

評(píng)注本題中利用重要結(jié)論x-1≥lnx,將原不等式x2+x＞2lnx+2sinx的證明改為加強(qiáng)不等式x2-x+2＞2sinx(x＞0)的證明,這就變得容易的多了,但這種方法學(xué)生不一定能想到,所以在平時(shí)的訓(xùn)練中要強(qiáng)化這種意識(shí),形成思維的自覺性,提高思維的起點(diǎn).本題的中間量為:2(x-1)+2sinx.

四、利用“隔離”的策略探尋中間量

在比較兩個(gè)函數(shù)大小的時(shí)候,我們常常找出一條直線(或其他函數(shù)),將已知的兩個(gè)函數(shù)圖像隔離開來,一個(gè)函數(shù)的圖像在直線的上方,另一個(gè)函數(shù)的圖像在直線的下方,這樣兩個(gè)函數(shù)的大小的比較就一目了然了.這條隔離直線通常是兩個(gè)函數(shù)的切線.

例7已知函數(shù)在x=1處的切線方程為:ex-4y+e=0.

(I)求m,n的值;

(II)當(dāng)x＞0且x1時(shí),求證:

解(I)易得m=n=1.

評(píng)注本題由(I)知函數(shù)在x=1處的切線為:ex-4y+e=0,這條切線就是函數(shù)與函數(shù)的隔離直線,易證得從而容易證明原不等式成立.本題的中間量為:

五、由“最值”探尋中間量

在比較兩個(gè)函數(shù)大小的時(shí)候,我們還常?？紤]兩個(gè)函數(shù)的最值,若一個(gè)函數(shù)的最大值不大于另一個(gè)函數(shù)的最小值,那么這兩個(gè)函數(shù)的大小關(guān)系就一目了然了.這種比較一個(gè)函數(shù)的最大值與另一個(gè)函數(shù)最小值的方法是比較兩個(gè)函數(shù)大小的一個(gè)很重要的方法,值得我們細(xì)細(xì)品味和牢固掌握.

例8已知函數(shù)

(I)若函數(shù)f(x)在(e,+∞)有極值,求實(shí)數(shù)a的范圍;

(II)在(I)的條件下,對(duì)任意t∈(1,+∞),s∈(0,1),求證: