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    大功率分?jǐn)?shù)階電感的電路實(shí)現(xiàn)

    2018-10-10 08:17:52盧曰海丘東元陳艷峰
    電源學(xué)報(bào) 2018年5期
    關(guān)鍵詞:階數(shù)等效電路大功率

    盧曰海,丘東元,張 波,陳艷峰

    (華南理工大學(xué)電力學(xué)院,廣州510640)

    研究發(fā)現(xiàn)自然界中許多物理現(xiàn)象的本質(zhì)都具有分?jǐn)?shù)階的特性[1-3],如電感是電氣工程領(lǐng)域中一個(gè)重要的電路元件,在以往的研究中通常被看作整數(shù)階元件,然而整數(shù)階電感并不存在,用分?jǐn)?shù)階模型來(lái)描述電感更為準(zhǔn)確[4]。

    分?jǐn)?shù)階電感的構(gòu)造一直是學(xué)者們關(guān)心的問(wèn)題,文獻(xiàn)[5]提出了以磁流變流體為磁芯的類似于變壓器的分?jǐn)?shù)階電感模型,但是這種模型構(gòu)造復(fù)雜,不利于推廣。目前分?jǐn)?shù)階電感的電路實(shí)現(xiàn)方法主要還是基于電阻、電感和運(yùn)放等器件,常見(jiàn)的有采用RL鏈分抗[6-8]和跨導(dǎo)運(yùn)算放大器[9]實(shí)現(xiàn)0 ~1階的分?jǐn)?shù)階電感,基于廣義阻抗轉(zhuǎn)換GIC(general impedance converter)[10]電路實(shí)現(xiàn)1 ~2階的分?jǐn)?shù)階電感。但是這些電路普遍具有如下缺點(diǎn):①使用的器件較多,整個(gè)電路結(jié)構(gòu)復(fù)雜;②當(dāng)需要改變分?jǐn)?shù)階電感的感值或階數(shù)時(shí),整個(gè)電路的元件都要更換;③因采用了運(yùn)算放大器等模擬器件,電路模型僅限于小功率場(chǎng)合的應(yīng)用。

    針對(duì)現(xiàn)有分?jǐn)?shù)階電感等效電路存在的缺點(diǎn),本文提出了一種階數(shù)和感值可調(diào)的大功率分?jǐn)?shù)階電感等效電路。首先介紹了分?jǐn)?shù)階電感的一些基本性質(zhì),然后闡述了大功率分?jǐn)?shù)階電感的構(gòu)造原理,接著通過(guò)仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該模型的可行性,最后將本文提出的大功率分?jǐn)?shù)階電感運(yùn)用到RLβC并聯(lián)諧振電路中。

    1 分?jǐn)?shù)階電感性質(zhì)

    將傳統(tǒng)電感元件的電壓、電流整數(shù)階關(guān)系拓展到分?jǐn)?shù)階,可以得到分?jǐn)?shù)階電感元件的電壓電流關(guān)系[11],即

    式中:β為分?jǐn)?shù)階電感的階數(shù);θ為分?jǐn)?shù)階電感的電壓和電流的相位差,θ=βπ/2。

    類似地,可以獲得分?jǐn)?shù)階電容的電壓電流關(guān)系式[11],即

    式中:α為分?jǐn)?shù)階電容的階數(shù);φ為分?jǐn)?shù)階電容的電壓和電流的相位差,φ=απ/2。

    分?jǐn)?shù)階電容和分?jǐn)?shù)階電感被統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)階電抗元件。根據(jù)元件的電壓電流關(guān)系,傳統(tǒng)的整數(shù)階電路元件(如電阻、電容和電感)和分?jǐn)?shù)階電抗元件的阻抗向量如圖1所示。從圖1可見(jiàn),分?jǐn)?shù)階電感的特性則是介于電阻和傳統(tǒng)的整數(shù)階電感之間,而分?jǐn)?shù)階電容的特性是介于電阻和傳統(tǒng)的整數(shù)階電容之間。此外,分?jǐn)?shù)階電抗元件的電壓電流相位差只和其階數(shù)有關(guān),改變分?jǐn)?shù)階電抗的階數(shù)可以使其電壓電流的相位差在(0~2π)整個(gè)相平面內(nèi)變化[6]。整數(shù)階電感和電容則可以看作是分?jǐn)?shù)階電抗元件的一個(gè)特例。

    由式(1)可得分?jǐn)?shù)階電感的阻抗為

    式中:ω為分?jǐn)?shù)階電感端電壓或端電流的角頻率;Lβ為分?jǐn)?shù)階電感;β為分?jǐn)?shù)階電感的階數(shù),0<β<2。當(dāng)β=1時(shí),分?jǐn)?shù)階電感為理想的整數(shù)階電感。

    圖1 整數(shù)階電路元件和分?jǐn)?shù)階電抗元件的阻抗向量Fig.1 Impedance phasor diagram of integral-order circuit elements and fractional-order impedance elements

    根據(jù)式(3),總結(jié)出分?jǐn)?shù)階電感的性質(zhì)如下:

    (1)分?jǐn)?shù)階電感的端電流和端電壓呈β階積分關(guān)系;

    (2)分?jǐn)?shù)階電感的阻抗不再像傳統(tǒng)整數(shù)階電感那樣只含有感性成分,而且還包含阻性成分。當(dāng)分?jǐn)?shù)階電感的階數(shù) β<1 時(shí),其阻性成分,呈正阻性,此時(shí)分?jǐn)?shù)階電感為有損元件;當(dāng)β>1時(shí),其阻性成分,呈負(fù)阻性,此時(shí)分?jǐn)?shù)階電感為有源元件;

    (3)分?jǐn)?shù)階電感的相角(θ=βπ/2)不隨頻率改變,只和分?jǐn)?shù)階電感的階數(shù)相關(guān),故分?jǐn)?shù)階電感也被稱為常相位器件[13]。

    2 大功率分?jǐn)?shù)階電感的電路模型

    本文構(gòu)造的大功率分?jǐn)?shù)階電感電路原理如圖2所示,其中A、B為分?jǐn)?shù)階電感元件的兩個(gè)端口,采用數(shù)字信號(hào)控制器控制的逆變器為受控電壓源;UDC為直流電壓源,Lf為濾波電感,Cf為濾波電容,ui(t)為逆變器的輸出電壓,uL(t)為分?jǐn)?shù)階電感等效電路兩端的電壓(又稱為輸入電壓),iL(t)為流過(guò)分?jǐn)?shù)階電感等效電路的電流(又稱為輸入電流),R為與受控電壓源串聯(lián)的電阻,uM(t)為數(shù)字信號(hào)控制器輸出的調(diào)制信號(hào),Ka為感值調(diào)節(jié)系數(shù),β為分?jǐn)?shù)階元件的階數(shù)。大功率分?jǐn)?shù)階電感等效電路的構(gòu)造思路如下:電壓采樣器采樣輸入電壓,控制器根據(jù)所采集到的電壓,并結(jié)合所設(shè)定的分?jǐn)?shù)階電感的階數(shù)和感值要求,產(chǎn)生相應(yīng)的控制信號(hào),控制逆變器中開(kāi)關(guān)管的開(kāi)通和關(guān)斷,從而控制逆變器的輸出電壓,最后使得整個(gè)電路的輸入電壓和輸入電流呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)階電感電壓和電流的特性。

    大功率分?jǐn)?shù)階電感電路具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下:根據(jù)分?jǐn)?shù)階電感的電壓和電流關(guān)系,在s域中輸入電壓和電流需滿足

    式中,UL(s)和 IL(s)分別為電壓 uL(t)和電流 iL(t)的拉氏變換形式。

    若分?jǐn)?shù)階電感等效電路的輸入電壓uL(t)和逆變器的輸出電壓ui(t)已知,由圖2可得輸入電流的表達(dá)式為

    式中:R為與受控電壓源串聯(lián)的電阻;Ui(s)為電壓ui(t)的拉氏變換形式。

    結(jié)合式(4)和式(5),可得逆變器的輸出電壓為

    由于逆變器輸出電壓ui(t)和數(shù)字信號(hào)控制器輸出的調(diào)制信號(hào)uM(t)同相位,幅值成比例,可得數(shù)字信號(hào)控制器的輸出為

    式中:UM(s)為電壓 uM(t)的拉氏變換形式,kpwm為數(shù)字控制信號(hào)器電壓采樣系數(shù)的倒數(shù)。

    圖2 大功率分?jǐn)?shù)階電感電路原理Fig.2 Schematic of circuit for high-power fractional inductor

    令 1/kpwm=KS為電壓采樣系數(shù),R/Lβ=Ka,則進(jìn)一步得到數(shù)字信號(hào)控制器的輸出為

    結(jié)合式(4)~式(7),可得分?jǐn)?shù)階電感電流為

    假設(shè)輸入電壓為 uL(t)=ULsin(ωt),對(duì)應(yīng)的 β階積分運(yùn)算結(jié)果[15,16]為

    結(jié)合式(9)和式(10),此時(shí)分?jǐn)?shù)階電感電流為

    綜合式(8)、式(10)和式(11),可得數(shù)字信號(hào)控制器的輸出為

    將式(12)展開(kāi),此時(shí)數(shù)字信號(hào)控制器的輸出為

    式中:uS(t)為采樣電壓,uS(t)=KSULsin(ωt);K1=sin(πβ/2);K2=cos(πβ/2);K3=ω-β;Kd=1/ω。

    若把調(diào)制信號(hào) uM(t)的幅值控制在(0,1)范圍內(nèi),根據(jù)式(13),可得到Ka的取值范圍為

    式中,n=1/(KSUL)2。

    從上述推導(dǎo)結(jié)果可見(jiàn),根據(jù)設(shè)定的階數(shù)β,改變控制參數(shù)K1、K2和K3,可以實(shí)現(xiàn)不同階數(shù)的分?jǐn)?shù)階電感構(gòu)造。而改變Ka則可以實(shí)現(xiàn)不同感值的分?jǐn)?shù)階電感構(gòu)造。因此,此模型可以很方便地構(gòu)造出不同參數(shù)的分?jǐn)?shù)階電感,分?jǐn)?shù)階電感的階數(shù)和感值調(diào)節(jié)非常靈活。

    結(jié)合式(11)可得分?jǐn)?shù)階電感的有功功率為

    可見(jiàn),分?jǐn)?shù)階電感的功率與分?jǐn)?shù)階電感的感值、階數(shù)以及輸入電壓緊密相關(guān)。采用不同的參數(shù),分?jǐn)?shù)階電感的功率將不同。此外,從圖2可知,分?jǐn)?shù)階電感的等效電路主要由逆變器和串聯(lián)電阻R組成,而逆變器的類型以及所用的元器件可以根據(jù)應(yīng)用場(chǎng)合的電壓、電流或功率來(lái)確定。因此,本文所提出的分?jǐn)?shù)階電感電路實(shí)現(xiàn)方法可適用于各種不同的功率等級(jí)場(chǎng)合。

    3 模型驗(yàn)證

    根據(jù)上述分析,本文在仿真軟件PSIM中搭建的大功率分?jǐn)?shù)階電感等效電路模型,如圖3所示。其中,uS為采樣電壓,KS為采樣系數(shù)。

    采用4組不同的參數(shù)來(lái)驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的大功率分?jǐn)?shù)階電感電路模型。其中:直流電源電壓UDC=100 V,串聯(lián)電阻R=100 Ω,三角載波幅值Utri=1 V,濾波電感Lf=1.5 mH,其他的參數(shù)如表1所示。根據(jù)式(11),理論上分?jǐn)?shù)階電感電流滯后電壓的角度為θ=πβ/2,分?jǐn)?shù)階電感為 Lβ=R/Ka,根據(jù)式(15)算得 4組參數(shù)下的功率P。從表1可以看出,當(dāng)分?jǐn)?shù)階電感的階數(shù)小于1時(shí),分?jǐn)?shù)階電感為有損元件;當(dāng)階數(shù)大于1時(shí),分?jǐn)?shù)階電感為有源元件。

    表1中4組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)階電感電壓、電流仿真波形如圖4所示。其中Δt為分?jǐn)?shù)階電感電壓峰值和電流峰值的時(shí)間差,UL為分?jǐn)?shù)階電感電壓的有效值,IL為分?jǐn)?shù)階電感電流的有效值。根據(jù)仿真結(jié)果,相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階電感電流滯后電壓的角度θs和分?jǐn)?shù)階電感Lβs的計(jì)算方法為

    圖3 大功率分?jǐn)?shù)階電感等效電路模型Fig.3 Equivalent circuit model of high-power fractional inductor

    表1 大功率分?jǐn)?shù)階電感電路的參數(shù)Tab.1 Circuit parameters of high-power fractional inductor

    圖4 分?jǐn)?shù)階電感模型的電壓、電流仿真波形Fig.4 Simulation waveforms of voltage and current of fractional inductor model

    為了進(jìn)一步驗(yàn)證該模型的正確性,本文搭建了大功率分?jǐn)?shù)階電感實(shí)驗(yàn)平臺(tái),如圖5所示。其中,控制信號(hào)由DSP TMS320F28335產(chǎn)生,逆變器的開(kāi)關(guān)管選用MOSFET IRF830,開(kāi)關(guān)管對(duì)應(yīng)的驅(qū)動(dòng)選用光耦隔離芯片TLP250,其他實(shí)驗(yàn)參數(shù)與仿真參數(shù)相同??梢缘玫奖?中4組參數(shù)的電壓、電流實(shí)驗(yàn)波形如圖6所示。根據(jù)圖6中的實(shí)驗(yàn)波形,可以得到電壓和電流的相位差θe以及電壓、電流的有效值,并結(jié)合式(17)可得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階電感Lβe。

    表2列出了4組不同分?jǐn)?shù)階電感參數(shù)所對(duì)應(yīng)的相位差和感值的理論結(jié)果、仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果。從表2中可以看出理論計(jì)算、仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果都基本一致,從而驗(yàn)證了該模型的正確性。

    圖5 大功率分?jǐn)?shù)階電感實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.5 Experimental platform of high-power fractional inductor

    圖6 分?jǐn)?shù)階電感的電壓、電流實(shí)驗(yàn)波形Fig.6 Experimental waveforms of voltage and current of fractional inductor

    表2 分?jǐn)?shù)階電感模型的理論計(jì)算、仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果Tab.2 Calculation,simulation and experiment results of fractional inductor model

    4 大功率分?jǐn)?shù)階電感在RLβC并聯(lián)諧振的應(yīng)用

    傳統(tǒng)RLC并聯(lián)電路的諧振頻率僅和電感L、電容C相關(guān),若將分?jǐn)?shù)階電感替換傳統(tǒng)的電感L,得到分?jǐn)?shù)階RLβC并聯(lián)諧振電路如圖7所示。

    由圖7可得分?jǐn)?shù)階RLβC并聯(lián)電路的導(dǎo)納為

    圖7 分?jǐn)?shù)階RLβC并聯(lián)諧振電路Fig.7 Fractional RLβC parallel resonant circuit

    當(dāng)導(dǎo)納的虛部為0時(shí),可得分?jǐn)?shù)階并聯(lián)電路的諧振頻率為

    由式(19)可知分?jǐn)?shù)階并聯(lián)諧振頻率不僅和分?jǐn)?shù)階電感、電容有關(guān),而且還與分?jǐn)?shù)階電感的階數(shù)有關(guān),故分?jǐn)?shù)階電感的引入會(huì)增加整個(gè)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)自由度。

    將構(gòu)造的大功率分?jǐn)?shù)階電感運(yùn)用到RLβC并聯(lián)諧振電路中。設(shè)分?jǐn)?shù)階電感模型中UDC=100 V,R=100 Ω,Utri=1 V,Lf=1.5 mH,Cf=6.8 μF,并聯(lián)電阻 Rp=100 Ω,C=4.5 μF,諧振頻率為 ω=200π rad/s。

    由式(19)可得滿足RLβC并聯(lián)諧振條件下分?jǐn)?shù)階電感和階數(shù)的關(guān)系,如圖8所示。已知階數(shù)β>1時(shí),分?jǐn)?shù)階電感為有源元件,故在設(shè)計(jì)時(shí)可令分?jǐn)?shù)階電感的階數(shù)β>1。從圖8中可知,當(dāng)β>1時(shí),隨著階數(shù)的增加,實(shí)現(xiàn)并聯(lián)諧振所需要的感值減小。

    圖8 RLβC并聯(lián)諧振下分?jǐn)?shù)階電感和階數(shù)關(guān)系曲線Fig.8 Curve of inductance vs order of fractional inductor under RLβC parallel resonance

    當(dāng)分?jǐn)?shù)階電感的階數(shù)為β=1.4,由式(19)可得分?jǐn)?shù)階電感為L(zhǎng)β=34.6 mH;當(dāng)分?jǐn)?shù)階電感的階數(shù)為β=1.5,則相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階電感為L(zhǎng)β=15.8 mH。若輸入電壓uin=50 sin(200πt),可以得到不同階數(shù) β下并聯(lián)諧振電路的輸入電壓、輸入電流和分?jǐn)?shù)階電感電流的仿真與實(shí)驗(yàn)波形,如圖9所示。從圖9中可知,2組參數(shù)下輸入電壓和輸入電流均同相位,意味著整個(gè)RLβC并聯(lián)電路處于諧振狀態(tài),各電量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和仿真結(jié)果基本一致,從而驗(yàn)證了分?jǐn)?shù)階電感的引入可增加整個(gè)RLβC并聯(lián)諧振電路的設(shè)計(jì)自由度以及該大功率分?jǐn)?shù)階電感運(yùn)用在諧振電路的可行性。

    圖9 RLβC并聯(lián)諧振電路的仿真和實(shí)驗(yàn)波形Fig.9 Simulation and experimental waveforms of RLβC parallel resonant circuit

    5 結(jié)論

    針對(duì)現(xiàn)有的分?jǐn)?shù)階電感等效電路存在的缺點(diǎn),本文提出了一種大功率分?jǐn)?shù)階電感等效電路,并通過(guò)仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該模型的正確性。所構(gòu)造的大功率分?jǐn)?shù)階電感具有以下特點(diǎn):

    (1)大功率分?jǐn)?shù)階電感的階數(shù)調(diào)節(jié)范圍為0 ~2;

    (2)改變數(shù)字控制器的參數(shù)可實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階電感階數(shù)和感值的靈活調(diào)節(jié);

    (3)該等效電路的功率等級(jí)可視實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)合而定,為分?jǐn)?shù)階電感在大功率場(chǎng)合提供了參考。

    本文將構(gòu)造的大功率分?jǐn)?shù)階電感成功地應(yīng)用到并聯(lián)諧振電路中,進(jìn)一步說(shuō)明了所提大功率分?jǐn)?shù)階電感電路模型的可行性。

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