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      實頻率靈敏度的唯一性研究

      2018-10-10 05:15:36瀾,張淼,張
      關(guān)鍵詞:一階阻尼靈敏度

      于 瀾,張 淼,張 欣

      (1.長春工程學(xué)院理學(xué)院,長春130012; 2.長春工程學(xué)院電氣與信息工程學(xué)院,長春 130012)

      0 引言

      設(shè)計參數(shù)取某一數(shù)值時,系統(tǒng)的狀態(tài)可能為重頻、單頻或密頻,而設(shè)計參數(shù)發(fā)生變化時,預(yù)測系統(tǒng)的變化狀態(tài)及程度是非常必要的。例如,研究飛機或其他航天器等擁有大量柔性子結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)時,它們的結(jié)構(gòu)參數(shù)很可能因為環(huán)境等因素的變化而產(chǎn)生微小變化。為了更清晰直觀地研究這些變化的特點及規(guī)律,文獻(xiàn)[1-2]中首先提出了特征曲線法,文獻(xiàn)[3-4]利用特征曲線法在大型復(fù)雜阻尼結(jié)構(gòu)中進(jìn)行了振動控制分析和結(jié)構(gòu)設(shè)計研究,文獻(xiàn)[5-6]分析了模態(tài)跳躍現(xiàn)象并解釋了其原因。據(jù)此,研究者可以更為靈活地利用實模態(tài)參數(shù)及其各種靈敏度,為模型修正、結(jié)構(gòu)優(yōu)化及損傷識別等技術(shù)在工程應(yīng)用中的實現(xiàn)提供幫助。近年來靈敏度分析的算法公式得到充分的發(fā)展,主要有直接法[7-8]、代數(shù)法[9-10]和模態(tài)法[11-12],它們所求得的靈敏度的正確性在其應(yīng)用范圍內(nèi)一般都能得到很好的驗證,但是靈敏度的唯一性問題卻從未得到重視。本文將討論在兩種不同的規(guī)范化條件下,由兩種最常見的代數(shù)法和模態(tài)法公式計算出來的實頻率的靈敏度的唯一性問題。

      對N自由度的線性離散振動系統(tǒng)的運動方程為:

      (1)

      式中M,C和K∈RN×N分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣。實頻率與實模態(tài)對(λi,ui)(i=1,2,…,N)滿足方程

      (K+λiM)ui=0 。

      (2)

      1 實頻率的一階靈敏度分析

      引入設(shè)計參數(shù)向量b=(b1,…,bq)T,相應(yīng)的方程(2)應(yīng)為

      K(b)u(b)+λ(b)M(b)u(b)=0,

      為了討論方便,以下我們?nèi)杂洖樵瓉淼男问娇紤]靈敏度問題。

      1.1 Rusdisill和 Chu的方法[13]

      此方法是解一個帶有加邊條件的非對稱的線性代數(shù)方程組,它所要求的實模態(tài)滿足規(guī)范化條件為

      (3)

      式中φi=aiui,ai為規(guī)范化常數(shù)。那么由式(2)可得

      (K+λiM)φi=0。

      (4)

      定義1 第i(i=1,…,N)階實模態(tài)向量φi關(guān)于第j(j=1,…,q)個設(shè)計參數(shù)bj的一階靈敏度為

      定義2 第i(i=1,…,N)階實頻率λi關(guān)于第j(j=1,…,q)個設(shè)計參數(shù)bj的一階靈敏度為

      對式(4)中的第j個參數(shù)bj(j=1,…,q)求導(dǎo)得一階靈敏度的支配方程為

      (K+λiM)φi,j+λi,jMφi=-(K,j+λiM,j)φi,

      (5)

      然后對規(guī)范化條件式(3)兩邊對第j個參數(shù)bj(j=1,…,q)求導(dǎo)得

      (6)

      將式(5)和式(7)聯(lián)立得

      (7)

      解此方程組即可得實模態(tài)參數(shù)φi和λi對第j個參數(shù)bjj=1,…,q的一階靈敏度φi,j和λi,j。

      1.2 Fox and Kapoor的方法[10]

      此方法是解一個關(guān)于線性組合展開式系數(shù)的方程組[14],它所要求的實模態(tài)滿足規(guī)范化條件為

      (8)

      式中φi=diui,di為規(guī)范化常數(shù)。那么由式(2)可得

      K+λiMφi=0。

      (9)

      對單頻對稱系統(tǒng)來說,由于不同的實頻率所對應(yīng)的實模態(tài)向量φ1,…,φN線性無關(guān),可作為N維空間的基底,因此N維實模態(tài)向量的一階靈敏度向量φi,j(j=1,…,q)一定可以表示為基底的某一線性組合,即

      (10)

      (11)

      其中

      2 實頻率的一階靈敏度的唯一性

      從理論上講,對單頻系統(tǒng)來說,在設(shè)計參數(shù)取可行域中的任意值時,所對應(yīng)的系統(tǒng)的實頻率都是唯一的,與規(guī)范化方法無關(guān),因此,實頻率的靈敏度也是唯一的。

      在上文中式(4)和(9)中的實模態(tài)是不一樣的,因為它們所使用的規(guī)范化條件分別為式(3)和式(8),所以它們對應(yīng)的模態(tài)靈敏度是不一樣的,觀察兩種規(guī)范化條件下計算實頻率靈敏度的式(7)和(11),它們所使用的實模態(tài)也是在不同規(guī)范化條件下的實模態(tài),那么實頻率的靈敏度能否保持唯一性?下面我們用兩個數(shù)值算例來回答這個問題。

      3 數(shù)值算例

      3.1 數(shù)值算例1

      文獻(xiàn)[15]中提供了一個阻尼彈簧質(zhì)量系統(tǒng),如圖1所示。

      圖1 3-DOF彈簧質(zhì)量系統(tǒng)

      本文取k2作為設(shè)計參數(shù)。首先將k2從80 N/m變化至120 N/m,利用式(2)每隔5 N/m作為節(jié)點采樣系統(tǒng)實頻率λ1、λ2和λ3的數(shù)據(jù),根據(jù)特征曲線法繪制這些實頻率的擬合曲線圖,如圖2所示。

      圖2 實頻率的特征曲線圖

      觀察圖2可見,各階實頻率的分區(qū)良好,沒有與其他實頻率重復(fù)的現(xiàn)象。利用式(7)在各節(jié)點處計算當(dāng)前系統(tǒng)的各階實頻率的一階靈敏度列于表1的第3、5和7列,利用式(11)在各節(jié)點處計算當(dāng)前系統(tǒng)的各階實頻率的一階靈敏度列于表1的第2、4和6列。

      由表1可知,表中第2列和第3列,第4列和第5列,以及第6列和第7列的數(shù)值完全相同,因此,即使代數(shù)法公式(7)和模態(tài)法公式(11)使用的是不同規(guī)范化條件下的實模態(tài)來計算實頻率靈敏度,它們的數(shù)值也是唯一的,因此,實頻率的靈敏度是具有唯一性的。

      表1 模態(tài)法和代數(shù)法計算各階實頻率的一階靈敏度對比值

      3.2 數(shù)值算例2

      考慮文獻(xiàn)[11]給出的一個5自由度的非比例阻尼質(zhì)量彈簧系統(tǒng),設(shè)只在垂直方向上產(chǎn)生振動,如圖3所示。

      圖3 5-DOF非比例阻尼系統(tǒng)

      本文取設(shè)計參數(shù)為k5,從960 N/m至1 040 N/m,每隔10 N/m按式(2)采樣實頻率λ1,…,λ5,根據(jù)特征曲線法繪制這些實頻率的擬合曲線圖,由于前三階實頻率的分區(qū)良好,沒有與其他實頻率發(fā)生重復(fù)的現(xiàn)象,但第4和第5階實頻率卻有重復(fù)現(xiàn)象發(fā)生,如圖4所示。

      圖4 第4階和第5階實頻率的特征曲線圖

      利用式(7)在各節(jié)點處計算當(dāng)前系統(tǒng)的前三階實頻率的一階靈敏度列于表2的第3、5和7列,利用式(11)在各節(jié)點處計算當(dāng)前系統(tǒng)的前三階實頻率的一階靈敏度列于表2的第2、4和6列。需說明的是,節(jié)點不包括實頻率重復(fù)的那個節(jié)點,即k5=1 000。

      表2 模態(tài)法和代數(shù)法計算前三階實頻率的一階靈敏度對比值

      由表2數(shù)據(jù)可知,第2和3列,第4和5列,第6和7列的數(shù)值完全相同,因此可證明實頻率的靈敏度是具有唯一性的。

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