在對比中概括提升
——“正比例的意義”教學(xué)實錄與思考

◇楊靈君

一 填寫表格，比較中概括意義

師：生活中總有“兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化”（板書），但有時的變化有規(guī)律，有時的變化沒有規(guī)律，你能針對3張表格中兩種相關(guān)聯(lián)的量繼續(xù)把表格填完整嗎？

（預(yù)先發(fā)給每個學(xué)生如下的表格）

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學(xué)生獨立填表，很快填出了前兩張，但在填第三張表格時碰到了困難。教師先讓學(xué)生分組交流填表的想法，再組織集體反饋，并提出：第一張和第二張表格為什么你們能很快地填出來？而第三張為什么填寫時有困難呢？

生：從第一張表格中可以看出數(shù)量和總價在增加，但每支鉛筆的價錢都是0.5元。

師：每支鉛筆的價錢都是0.5元，也就是單價不變。

生：從第二張表格中可以看出每小時行80千米，所以4小時就行320千米，5小時就行400千米，要行480千米就要6小時。

師：這里的時間與路程是相關(guān)聯(lián)的兩個量，路程隨著行駛時間的變化而變化，從表格中可以看到這里的路程除以對應(yīng)的時間等于速度，速度是不變的。

教師進一步指出：像以上兩張表格中兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，而且兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)量的比值一定，這樣的兩種量我們就叫作成正比例的量，它們的關(guān)系叫作正比例關(guān)系。教師板書正比例的意義，再讓學(xué)生閱讀課本，找出正比例意義的表述。接著教師根據(jù)學(xué)生的表述，寫出字母式子

師：那第三張表格中，兩種相關(guān)聯(lián)的量有沒有這樣的變化規(guī)律呢？

生：沒有。因為小明4歲時的身高一定比3歲時要高，但高多少不知道；5歲時的身高要比4歲時高，但高出多少也不知道，所以很不好填。

師：從表（3）前幾格對應(yīng)的幾個數(shù)來看，身高隨著年齡的增長也在增長，但每年增長數(shù)量不一樣，而且他的身高到了一定年齡時也不會再增高。關(guān)鍵是年齡與身高這兩種相關(guān)聯(lián)的量中對應(yīng)的兩個數(shù)的比值在變化，所以說年齡與身高這兩種量不能成正比例。

[教學(xué)思考]以上的學(xué)習(xí)素材中，表（1）就是原教材的例題，表（2）就是原教材“做一做”的練習(xí)素材，我把這兩個素材放在一起，而且增加了表（3）不成正比例的兩種量，其目的是使學(xué)生更好地投入自主探究。學(xué)生通過對前兩張表格已有數(shù)據(jù)的觀察和計算，發(fā)現(xiàn)了這兩張表格中的兩種相關(guān)聯(lián)的量對應(yīng)的兩個數(shù)的比值是一定的，從中概括出正比例的意義。再讓學(xué)生閱讀教材，進一步理解正比例的意義。學(xué)生通過對第三張表格已有數(shù)據(jù)的觀察，發(fā)現(xiàn)身高也隨著年齡的增長而增長，但找不到規(guī)律。針對這張表格，我特別指出它們對應(yīng)的兩個數(shù)量的比值不相等，就不是成正比例的兩種量。這樣就給學(xué)生創(chuàng)設(shè)了對比素材，增強了對正比例意義的認(rèn)識。

二 畫圖分析，觀察中認(rèn)識特征

1.針對教材例題中的圖像回答問題。

師：書上已經(jīng)根據(jù)表（1）的數(shù)據(jù)畫出了圖像的一部分，你能繼續(xù)畫圖并回答問題嗎？書上有如圖1的圖像和以下的幾個問題。

（1）從圖中你發(fā)現(xiàn)了什么？

（2）把數(shù)對（10，5.0）和（12，6.0）所在的點描出來，并和上面的圖像連起來并延長，你還能發(fā)現(xiàn)什么？

（3）不計算，根據(jù)圖像判斷，如果買 7支鉛筆總價是多少？20元能買多少支鉛筆？

（4）小明買的鉛筆的數(shù)量是小麗的2倍，他花的錢是小麗的幾倍？

學(xué)生針對前兩個問題回答出了總價隨著支數(shù)的增加而增加，把每一點連在一起是一條直線。后兩個問題大部分學(xué)生是通過計算作了回答，教師有意識地引導(dǎo)學(xué)生觀察圖像回答出：買7支鉛筆的總價是3.5元。

對于20元可以買多少支鉛筆，先引導(dǎo)學(xué)生通過圖像的延長想象，再通過“20÷0.5”的計算得出可以買鉛筆 40支。學(xué)生在思考第（4）個問題時，繼續(xù)觀察圖像回答出“小明花的錢也是小麗的 2 倍”。（如圖1）

圖1

2.針對第二張表格繼續(xù)在書上畫圖思考。

因為第二張表格就是教材第46頁“做一做”的練習(xí)，此題只要求學(xué)生根據(jù)表格畫好圖像回答問題。（過程略）

[教學(xué)思考]學(xué)生通過對表（1）和表（2）圖像的觀察與思考，知道成正比例的兩個相關(guān)聯(lián)的量在圖像上形成的是一條直線。在初步了解正比例圖像的特征后，就可以通過對圖像的觀察，大致確定對應(yīng)數(shù)對的點的位置，同時針對圖像的分析，加深對正比例概念的理解。

三 創(chuàng)設(shè)練習(xí)，思考中深化認(rèn)識

1.根據(jù)下面每張表格中的數(shù)據(jù)，判斷表中兩種相關(guān)聯(lián)的量是否成正比例。

① 汽車所行路程和耗油量的對應(yīng)數(shù)值表：

所行路程/km 36 72 108 144 …耗油量/L 2 4 6 8 …

② 同一時間、同一地點測得4棵樹的樹高和影長如下表：

樹高/m 2 3 6 8 …影長/m 1.6 2.4 4.8 6.4 …

③ 在水果店里購買蘋果的數(shù)量與總價如下表：

數(shù)量/kg 1 2 3 4 …總價/元 4 7 10.5 12 …

④ 在水果店里購買香梨的數(shù)量與總價如下表：

數(shù)量/kg 1 2 3 4 …總價/元 4 8 12 16 …

學(xué)生先獨立思考，教師再組織集體交流。

師：還可以把以上對應(yīng)的兩個數(shù)量的比寫成“耗油量∶所行的路程”，這樣就可以得到什么是不變的？

生：每千米的耗油量是不變的。

師：所以同樣可以說明所行的路程與耗油量成正比例。

接著，對第②張表格進行同樣的分析。（略）

生：在第③張表中我發(fā)現(xiàn)買1千克要4元；如果要買2千克或3千克時，每千克的單價是3.5元；如果買4千克時，每千克的單價又是3元。這里的單價變化了，所以這張表中的總價與數(shù)量不能組成正比例。

生：在第④張表中發(fā)現(xiàn)不管買多少千克，單價都是4元，所以這張表中的總價與數(shù)量成正比例。

師：請你分別根據(jù)第③張和第④張表格中兩種相關(guān)聯(lián)量，在下面的格子紙上畫出它們的圖像。

當(dāng)學(xué)生獨立畫圖后，教師利用投影逐步呈現(xiàn)出它們的圖像（圖略）。并向?qū)W生提出：不能組成正比例和能組成正比例的圖像有什么區(qū)別？

生：能組成正比例的圖像是一條直線，不能組成正比例的這條線彎了。

[教學(xué)思考]這一環(huán)節(jié)給學(xué)生提供了4張表格，讓學(xué)生再次觀察分析表中兩種相關(guān)聯(lián)的量是否成正比例。通過學(xué)生的獨立思考和集體交流，除了及時鞏固對正比例意義的認(rèn)識，還獲得了演繹推理的訓(xùn)練。以上最后2張表雖然都分別呈現(xiàn)了兩種水果購買數(shù)量與總價的變化情況，但學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)表③的單價在變化，而表④的單價不變；再通過對圖像的比較，強化了判斷能否成正比例的關(guān)鍵和圖像特征。

2.觀察下面2張表格中兩種相關(guān)聯(lián)的量是否能成正比例。

① 正方形的邊長與周長。

正方形的邊長/c m 1 2 3 4 …正方形的周長/c m 4 8 1 2 1 6 …

② 正方形的邊長與面積。

正方形的邊長/c m 1 2 3 4 …正方形的面積/c m 1 4 9 1 6 …

教師再利用投影逐步呈現(xiàn)它們的圖像（圖略），再次引發(fā)學(xué)生觀察周長與邊長能成正比例的圖像和面積與邊長不能成正比例的圖像的區(qū)別。

[教學(xué)思考]學(xué)生通過對正方形的邊長與周長和正方形的邊長與面積兩種關(guān)系的判斷，從圖形角度再次認(rèn)識正比例的意義和圖像特征。

3.觀察下面3張表格中兩種相關(guān)聯(lián)的量是否能成正比例。

教師利用投影出示了如下的3張表格，這3張表格分別表示的是3只小動物爬行情況的記錄。學(xué)生很有興趣地觀察后，教師組織集體質(zhì)疑交流。

生：第一張表格是蝸牛爬行的，速度很慢，但速度都是相等的，所爬行的距離與爬行的時間成正比例。

生：第二張表格七星瓢蟲爬行距離與爬行的時間也能成正比例。

生：第三張螞蟻爬行的速度有快有慢，它爬行的距離與爬行的時間不能成正比例。

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教師根據(jù)學(xué)生的回答在表格的右邊打出判斷的結(jié)果，接著又向?qū)W生提出：那你覺得怎樣把螞蟻爬行的距離改一改，使它爬行的距離與爬行的時間也能成正比例？

生：把螞蟻爬2分鐘的距離改成4m，爬4分鐘的距離改為8m，爬5分鐘的距離改為10m，這樣螞蟻爬行的距離與爬行的時間也能成正比例了。

教師根據(jù)學(xué)生的回答在投影上改動第三張表格中這幾個數(shù)據(jù)，再向?qū)W生提出：現(xiàn)在這3只動物各自爬行的距離與爬行時間都成正比例了，我根據(jù)每一張表格畫出了圖（這時投影上呈現(xiàn)如圖2），請大家繼續(xù)觀察表格和圖，你又有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)蝸牛爬得比較慢，畫出的線比較平；螞蟻爬得比較快，畫出的線是最斜的。

師：你的意思是按第一張表格的對應(yīng)數(shù)量畫出的線上升的速度比較慢，按第三張表格的對應(yīng)數(shù)量畫出的線上升的速度比較快。

生：是的。

圖2

這時教師在投影上又把以上三條線放在同一幅圖上（圖略），又向?qū)W生指出：從圖中可明顯地看出螞蟻爬行的速度最快，畫出的這條線是最陡的，而蝸牛爬行的速度最慢，畫出的這條線是最平緩的。

[教學(xué)思考]由于上述表格和圖都以小動物爬行的時間與爬行的距離為背景，學(xué)生自始至終頗有興趣地參與其中，從而加深了對正比例意義的理解，同時較好地滲透了對應(yīng)數(shù)量的比的值越大，所畫出的線就越陡。這也正是在今后研究線性函數(shù)圖像時的斜率大小問題。