敏度分層過濾策略克服連續(xù)體拓撲優(yōu)化荷載病態(tài)問題

趙剛 劉杰 王洪鑫 楊興發(fā) 文桂林

摘 要：針對工程結構中所承受載荷幅值之間相差多個數量級，使用傳統(tǒng)拓撲優(yōu)化方法所得結果中較小載荷傳遞路徑消失的荷載病態(tài)現象，提出一種簡單有效的敏度分層過濾策略.將各載荷以幅值大小進行分層，并計算各載荷對結構對應的應變能數值.在此基礎上，引入比較判斷系數和放大應變能影響系數，將各靈敏度以大小進行分層，對不同層次靈敏度進行不同的過濾以取得多載荷作用下最佳材料布局.本文敏度分層過濾策略是在Solid Isotropic Material with Penahiation（SIMP）框架下提出的，并使用Optimality Criteria（OC）方法進行求解.使用二維和三維算例驗證了所提策略的有效性，表明該策略可以有效克服荷載病態(tài)現象，為結構設計中得到完整傳力結構布局提供重要指導.

關鍵詞：結構優(yōu)化；荷載病態(tài)；SIMP方法；敏度分層過濾；拓撲優(yōu)化

中圖分類號：TH122；TU318.1 文獻標志碼：A

Abstract：To solve the phenomenon of load sickness in which the transfer path of the weak load disappears by using the traditional topology optimization method， a simple and effective strategy of sensitivity hierarchical filtering was proposed. The loads were stratified by magnitude， and the strain energy corresponding to the structure was calculated. On this basis， two coefficients were introduced， which were used for comparison and amplifying the influence of strain energy. Then， the sensitivities were stratified on the basis of degree， and the sensitivity of different stratification was filtered by different filters to obtain the optimal material layout under multiload. The strategy was proposed in the framework of SIMP and solved by OC method. Both twodimensional and threedimensional numerical examples were presented to show the effectiveness of the proposed strategy， demonstrating that the strategy can effectively overcome the phenomenon of load sickness， and provide important guidance for the completed structural force distribution of the structure.

Key words：structure optimization；load sickness；SIMP method；hierarchical sensitivity filtering；topology optimization

結構拓撲優(yōu)化是指在給定的載荷和約束條件下，通過改變結構材料布局使結構的目標性能達到最優(yōu)[1-4].與尺寸優(yōu)化和形狀優(yōu)化相比[5-7]，結構拓撲優(yōu)化能夠在初始設計階段得到全新的構型設計，獲得更大的經濟效果，是近年來的研究熱點.連續(xù)體拓撲優(yōu)化應用范圍廣，模型構造困難，設計變量多，計算量大，因此很長一段時間里發(fā)展十分緩慢.Bendsoe等人[8]首次提出一種連續(xù)體拓撲優(yōu)化方法——均勻化方法.隨后，連續(xù)體拓撲優(yōu)化得到了迅速發(fā)展，出現了SIMP法[9-11]、漸進結構優(yōu)化方法[12-15]、水平集法[16-18]等.其中，SIMP法是在均勻化方法基礎上提出的，目前應用最廣泛.

在實際工程中，當結構所受最大載荷與最小載荷相差懸殊時，優(yōu)化得到的拓撲結構常常會出現小載荷的傳遞路徑模糊不清甚至完全消失的現象，從而導致優(yōu)化結構與工程實際不符.這一現象與結構分析時剛度相差懸殊導致的“總剛病態(tài)”類似，稱之為“荷載病態(tài)”[19-22].該問題目前研究較少.如果用減小閾值（單元設計變量小于閾值的單元被刪除，大于閾值的單元被保留）來保留傳遞小載荷的單元，則大載荷的弱區(qū)域也會受到影響，就會對最終整體結構的優(yōu)化形狀造成很大的改變，從而導致得不到最優(yōu)拓撲結構.王健等[19]采用分層優(yōu)化技術解決該問題，其基本思想是按載荷大小分為幾個層次，并從大到小分別進行優(yōu)化.第1層優(yōu)化時得到傳遞第1層載荷的結構，第2層優(yōu)化時，去除第1層載荷，保留第1層優(yōu)化得到的結構單元不變，并參與第2層結構優(yōu)化計算，但這些單元不作為設計變量，對其余單元進行優(yōu)化計算，得到傳遞第2層載荷的結構，依次類推，去除屬于前面的載荷，保留之前的優(yōu)化得到的結構單元，用剩余單元優(yōu)化出傳遞較小載荷的結構，直至結束.由于這種分層優(yōu)化方法只考慮每一層內載荷相互作用的結果，因而不能綜合考慮全部載荷的共同作用效果，最終得到的優(yōu)化結構與原始優(yōu)化結構有較大區(qū)別，并且也不便于對整體結構的體積等條件進行約束.隋允康等[20-22]采用ICM應力全局化方法解決該問題，其基本思想是以結構應變能作為權系數處理載荷，通過加權減小載荷間的差距，按修正的載荷計算最優(yōu)拓撲.由于這種方法本質上是對小載荷進行放大計算，最終得到的優(yōu)化結構與原始的優(yōu)化結構相差較大，對主要載荷的傳遞路徑有一定影響.Hu等人[23]建議采用應變能修改對應的載荷下體積分配來處理ESO法中的荷載病態(tài)問題.Cai等人[24-25]提出分數模常法，通過改變各載荷對應的應變能函數克服該問題.這兩種方法都是在分層優(yōu)化法和加權系數法的基礎上進行的改進.

本文在分析減小閾值法、分層優(yōu)化法、加權系數法等處理荷載病態(tài)的弊病后，提出了一種用應變能處理、敏度分層過濾解決“荷載病態(tài)”的策略.這種策略的好處在于能夠清晰顯示小載荷的傳遞路徑，同時適用于二維平面結構和三維空間結構，并且對多載荷共同作用得到的原始優(yōu)化結構改變較小，克服了大多數方法為顯示小載荷路徑而改變整體結構的劣勢.

1 多載荷下的結構拓撲優(yōu)化模型

1.1 基于SIMP密度插值方式的拓撲優(yōu)化模型

2 利用敏度分層過濾克服荷載病態(tài)

2.1 荷載病態(tài)現象

實際工程中，結構通常在復雜的受力情況下工作，不同載荷對結構的要求有差別.在連續(xù)體結構拓優(yōu)化中，當結構所受最大載荷與最小載荷相差多個數量級時，優(yōu)化所得結果中會出現小載荷傳遞路徑模糊不清甚至完全消失的現象，導致優(yōu)化結構與工程實際不符.這一現象稱之為“荷載病態(tài)”.如圖1所示，圖1（a）為基結構，P1為大載荷，P2為小載荷，載荷大小比例P2 /P1=1/1 000.在這種情況下，最優(yōu)拓撲結構如圖1（b）所示，小載荷的傳遞路徑雖然被保留了，但是顯示模糊，導致無法制造.該現象出現的原因在于小載荷與大載荷對結構的作用效果相差較大，因此小載荷傳遞路徑的單元拓撲值很小，在進行敏度過濾時，小載荷傳遞路徑周圍的單元應變能影響很小，因而得到的更新拓撲值也很小，結構不能清晰顯示.小載荷傳遞路徑消失是由于在優(yōu)化算法中設定了閾值，當單元拓撲值小于閾值時則刪除該單元.如果用減小閾值法來保留傳遞小載荷的單元，則大載荷的弱區(qū)域也會被保留，從而導致最終整體結構的優(yōu)化形狀不夠清晰，不能得到最優(yōu)拓撲結構.

2.2 敏度分層過濾策略

針對荷載病態(tài)問題，敏度分層過濾策略是一種很有效的策略.敏度分層過濾策略的基本思想是：按幅值大小將載荷分為幾個層次，在每一次的迭代中，分別計算出各載荷對結構各個單元對應的應變能數值，并進行靈敏度分析，通過比較判斷系數將各靈敏度以大小分層，對不同層次的靈敏度采用不同的敏度過濾，最終得到優(yōu)化結構是多個載荷綜合作用的結果.下面以單工況兩個載荷為例來介紹該策略實現過程：

1） 建立有限元模型，設置載荷及邊界條件；

2） 采用有限元方法分析結構響應；

3） 提取各載荷對每個單元的應變能c1、c2，其中c1是小載荷F1作用的應變能，c2是大載荷F2作用的應變能；

4） 對兩個載荷作用的應變能分別進行靈敏度分析得到d1、d2，其中d1是F1對應的靈敏度，d2是F2對應的靈敏度.d是兩個載荷共同作用的靈敏度分析結果，dn是全局敏度矩陣.

5） 通過判別條件將d1與d2進行比較，將靈敏度以數值大小分層，并選擇不同的過濾算法進行過濾；

6） 使用OC算法求解；

7） 更新設計變量x；

8） 檢查是否滿足優(yōu)化終止條件.若滿足，則優(yōu)化結束，若未達到終止條件，則返回至步驟2）.

敏度分層過濾流程圖如圖2所示.

在敏度分層過濾流程中，通過判別條件，將d1和d2進行比較，以數值大小將靈敏度分層，并選擇不同的過濾算法進行過濾.由于即使是在小載荷作用點處，大載荷的影響也可能比小載荷大，因此需要乘以一個系數a進行比較.當該判別條件不成立時，不改變過濾方式；當判別條件成立時，通過乘以加權系數b放大周圍單元應變能的影響，使得OC算法得到的拓撲值x放大.

通過分析與比較多種結果可以發(fā)現，系數a主要對載荷傳遞路徑有一些改變，系數a較大時，小載荷對路徑的影響較為明顯.系數b主要對拓撲值x的大小有影響，系數b較大時，最終顯示的結構顏色黑白比較明顯.

3 數值算例

3.1 算例1

初始結構為一300 mm×200 mm的長方形平面區(qū)域，左右兩邊受固定支撐，單工況內受兩個載荷作用，載荷F1=1 000 N，作用于上邊界中點，方向向下，載荷F2=1 N，作用于下邊界中點，方向向上，如圖3所示，優(yōu)化體積系數f = 0.5.劃分60×40個矩形網格單元，使用敏度分層過濾策略前SIMP法優(yōu)化結果如圖4所示.采用不同的系數a、b進行敏度分層過濾優(yōu)化結果如圖5所示.

比較圖5（a）和圖5（b）可知，系數b越大，優(yōu)化結構圖像越清晰，系數b主要影響拓撲值x的大小；比較圖5（a）和圖5（d）可知，系數a增大，小載荷傳遞路徑的影響增大，系數a主要改變小載荷傳遞路徑的影響.

圖4與圖5中各結構最小應變能與計算迭代步數如表1所示，其中最小應變能未對灰度單元作調整.比較可知，使用敏度分層過濾策略對整體結構的影響較小，結構最小應變能隨著系數a增大而減小，隨著系數b增大而增大，并且系數a和b也能夠減少迭代步數.

結合圖5和表1結果可知，在平面問題中，敏度分層過濾策略在改善圖形顯示的同時保留了原始優(yōu)化結構，有效地處理了荷載病態(tài)問題，是合理可行的.

3.2 算例2

基本結構為一180 mm×120 mm的長方形平面區(qū)域，左邊受固定支撐，兩個載荷同時作用，載荷F1=1 000 N，作用于右下角，方向向下，載荷F2=1 N，作用于右上角，方向向上，如圖6所示，優(yōu)化體積系數f =0.3，劃分60×40個矩形網格單元.使用SIMP法優(yōu)化結果如圖7（a）所示，使用敏度分層過濾策略優(yōu)化結果如圖7（b）所示.

由圖7可以發(fā)現，使用SIMP法優(yōu)化該結構時，由于F1遠大于F2，導致F2的傳遞路徑幾乎消失.敏度分層過濾策略通過放大小載荷F2周圍單元應變能的影響，將F2的傳遞路徑有效地顯示.因此，使用敏度分層過濾策略在處理懸臂梁荷載病態(tài)問題時是有效可行的.

3.3 算例3

初始結構為一600 mm×400 mm×40 mm的長方體三維區(qū)域，左右兩端面受固定支撐，受兩個載荷作用，載荷F1=1 000 N，作用于基結構頂面中心，方向向下，載荷F2=1 N，作用于基結構底面中心，方向向上，劃分60×40×4個長方體單元，如圖8所示，優(yōu)化體積系數f = 0.5.使用SIMP法的優(yōu)化結果如圖9（a）所示，使用敏度分層過濾策略后的拓撲優(yōu)化結果如圖9（b）所示.

由圖9（a）可以看出，SIMP法在處理三維荷載病態(tài)問題時，小載荷的傳遞路徑完全被刪除，所得優(yōu)化結構不符合工程實際情況.

結合圖9（b）和圖4可以發(fā)現，在三維問題中，敏度分層過濾策略在處理荷載病態(tài)問題時能夠發(fā)揮很好的作用，小載荷的傳遞路徑被保留并清晰顯示，因此該策略在三維結構優(yōu)化中也是有效可行的.

3.4 算例4

基本結構為一120 mm×80 mm×8 mm的長方體三維懸臂梁，兩個載荷同時作用，載荷F1=1 000 N，作用于基結構右下角棱邊中點，方向向下，載荷F2=1 N，作用于基結構右上角棱邊中心處，方向向上，劃分60×40×4個長方體單元，如圖10所示，體積系數f = 0.4.SIMP法拓撲優(yōu)化結果如圖11（b）所示，敏度分層過濾策略處理結果如圖11（c）所示，加權系數法處理結果如圖11（d）所示.

載荷F1單獨作用、SIMP法、加權系數法和敏度分層過濾策略得到的最優(yōu)結構最小應變能如表2所示，其中灰度單元應變能未調整.

由圖11和表2可知，在SIMP法中，只考慮了大載荷對結構的影響，小載荷的作用被完全忽略；加權系數法較大地改變了原始構型，對結構的最小應變能影響較大；而使用敏度分層過濾策略不僅可以清晰完整地顯示出小載荷的傳遞路徑，且對結構的最小應變能改變較小.結合算例2的優(yōu)化結果可以發(fā)現，由于敏度分層過濾策略在三維結構中考慮的是球形區(qū)域內單元應變能的影響，而在二維中考慮的是圓形區(qū)域內單元應變能的影響，因此使用敏度分層過濾策略處理三維荷載病態(tài)問題的效果比二維更理想.

4 結 論

基于工程結構拓撲優(yōu)化中的荷載病態(tài)問題，通過在傳統(tǒng)的SIMP方法中引入兩個關鍵系數，提出了一種敏度分層過濾策略.數值算例結果表明：

1）敏度分層過濾策略能夠得到較為清晰的結構，顯示出小載荷的傳遞路徑，可有效地克服荷載病態(tài)問題；

2） 使用敏度分層過濾策略得到的優(yōu)化結構與SIMP法優(yōu)化結構較為接近，結構最小應變能改變較??；

3） 敏度分層過濾策略能夠同時適用于二維平面結構與三維空間結構，可以為工程中結構荷載病態(tài)問題提供重要的指導作用.

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