基于貝葉斯推理的乘員約束系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別

卿宏軍 謝寶娣 張連怡

摘 要：為了克服測(cè)量響應(yīng)的不確定性給乘員約束系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別帶來(lái)的困難，利用馬爾科夫鏈蒙特卡洛（Markov Chain Monte Carlo，MCMC）采樣和近似模型構(gòu)造技術(shù)，提出一種基于貝葉斯推理的乘員約束系統(tǒng)不確定性參數(shù)識(shí)別方法.該方法結(jié)合約束系統(tǒng)參數(shù)的先驗(yàn)分布和測(cè)量響應(yīng)，通過(guò)馬爾科夫鏈在未知參數(shù)聯(lián)合概率密度空間進(jìn)行抽樣，從而獲得了織帶剛度縮放系數(shù)和質(zhì)量流率縮放系數(shù)的后驗(yàn)邊緣概率密度函數(shù).識(shí)別結(jié)果表明，相比于傳統(tǒng)確定性識(shí)別方法，基于貝葉斯推理的不確定性參數(shù)識(shí)別方法不僅能有效給出乘員約束系統(tǒng)參數(shù)的概率分布，而且能夠保證參數(shù)尋優(yōu)的全局收斂性.

關(guān)鍵詞：貝葉斯方法；參數(shù)識(shí)別；約束系統(tǒng)；MCMC；代理模型

中圖分類號(hào)：TH122 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Abstract：In order to overcome the difficulty for the parameters identification of occupant restraint system caused by the measured uncertainty， this paper proposed an uncertain identification method for the parameters of occupant restraint system based on Bayesian inference， which combined Markov Chain Monte Carlo （MCMC） sample and surrogate model. This method firstly obtains the prior distributions of identified parameters and measured responses， and then the MCMC sampling is applied to the joint probability density of unknown parameter. Then， the marginal posterior probability distributions of scale factor of webbing and rate of flow can be calculated. Compared with the traditional method of determined identification， the identified results show that the Bayes inference method for uncertain parameter identification not only obtains the probability distributions effectively， but also ensures the global convergence of identified parameter.

Key words：Bayesian method；parameter identification； restraint system；MCMC；surrogate model

汽車乘員約束系統(tǒng)是在汽車發(fā)生碰撞事故時(shí)，為保護(hù)乘員及減輕乘員損傷的安全裝置，主要由安全帶、安全氣囊、安全座椅、前后圍板等組成.影響約束系統(tǒng)性能的參數(shù)眾多，而某些參數(shù)難以通過(guò)直接測(cè)量的方式獲得，因此利用測(cè)量響應(yīng)對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行識(shí)別對(duì)于研究約束系統(tǒng)，提高車輛安全性是非常必要的[1-3].然而在實(shí)際中，由于試驗(yàn)條件的復(fù)雜性或測(cè)試設(shè)備精度的局限性等因素，測(cè)量響應(yīng)往往具有一定的不確定性.傳統(tǒng)的參數(shù)識(shí)別類方法，不管是基于梯度的最速下降法、高斯牛頓法等，還是智能優(yōu)化算法的遺傳算法、差分進(jìn)化算法等，都忽略了不確定性的影響[4-7].但是當(dāng)測(cè)量響應(yīng)的不確定性對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的識(shí)別具有重要影響而不可忽略時(shí)，采用傳統(tǒng)確定性識(shí)別方法將難以提供可靠的結(jié)果.

不確定性的度量方式有很多種，概率度量是最為常用的一種方法，其采用概率密度函數(shù)（Probability Density Function，PDF）來(lái)描述不確定性[8].基于概率度量來(lái)進(jìn)行不確定性參數(shù)識(shí)別已經(jīng)取得了一些成果.該方法一般可分為兩大類，貝葉斯推理[9]和基于優(yōu)化的不確定性反求方法[10].Fonseca等[11]提出通過(guò)最大似然估計(jì)與攝動(dòng)法或MCS相結(jié)合的方法處理不確定性參數(shù)識(shí)別，其中優(yōu)化方法被采用來(lái)解決似然函數(shù)，但是該方法存在一個(gè)前提假設(shè)，即分布形式已知，因此難以處理分布形式未知的問(wèn)題.為了解決分布未知的不確定性識(shí)別問(wèn)題，劉杰等[12]提出了一種基于衍生的λPDF和一次二階矩的不確定計(jì)算反求方法并將其應(yīng)用在車輛行人碰撞事故的不確定性重建中.該方法用含有四參數(shù)的二次衍生λPDF對(duì)待識(shí)別參量的PDF進(jìn)行建模，能夠識(shí)別一大類單峰的PDF.貝葉斯推理作為另一種基于概率的不確定性分析方法，同樣能夠獲得參數(shù)在整個(gè)定義域上的概率分布.Moore等[13]通過(guò)貝葉斯方法對(duì)裂紋參數(shù)進(jìn)行了有效識(shí)別. Nasrellah等[14]將貝葉斯方法應(yīng)用到動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的參數(shù)識(shí)別中.貝葉斯推理需要反復(fù)調(diào)用模型來(lái)獲得參數(shù)的后驗(yàn)概率分布，所以計(jì)算效率較低.但是數(shù)值模擬技術(shù)和代理模型技術(shù)的發(fā)展[9，15，16]，使得基于貝葉斯推理的參數(shù)識(shí)別得到了廣泛的應(yīng)用，包括在工程結(jié)構(gòu)、熱傳導(dǎo)等參數(shù)識(shí)別領(lǐng)域.

目前，基于貝葉斯推理方法在車輛系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別中的應(yīng)用還很少，為此本文以乘員約束系統(tǒng)模型為例，研究基于貝葉斯推理的不確定性參數(shù)識(shí)別方法，在對(duì)乘員約束系統(tǒng)的參數(shù)進(jìn)行敏感性分析的基礎(chǔ)上建立其代理模型，然后結(jié)合測(cè)量的不確定性響應(yīng)和蒙特卡洛馬爾科夫鏈采樣方法，對(duì)織帶剛度縮放系數(shù)和質(zhì)量流率縮放系數(shù)的后驗(yàn)邊緣概率密度函數(shù)進(jìn)行估計(jì)，從而有效評(píng)價(jià)了不確定性因素對(duì)約束系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別結(jié)果的影響.

1 約束系統(tǒng)不確定性識(shí)別問(wèn)題描述

汽車乘員約束系統(tǒng)是在汽車發(fā)生碰撞時(shí)，用來(lái)減少或者避免二次碰撞的安全裝置，是汽車安全設(shè)計(jì)的重要環(huán)節(jié).采用MADYMO建立的某微車駕駛員側(cè)約束系統(tǒng)模型如圖1所示，該模型主要由安全帶、安全座椅及安全氣囊等組成.影響約束系統(tǒng)安全性能的參數(shù)眾多，其中一些參數(shù)難以通過(guò)直接測(cè)量的方式獲得，如座椅與假人的摩擦因數(shù)、安全帶織物剛度縮放系數(shù)和氣體質(zhì)量流率縮放系數(shù)等，因此有必要利用測(cè)量響應(yīng)對(duì)這類參數(shù)進(jìn)行識(shí)別.

在實(shí)際工程中，由于試驗(yàn)條件的復(fù)雜性和測(cè)試設(shè)備精度的局限性等因素，測(cè)量WIC值往往具有一定的不確定性.傳統(tǒng)的參數(shù)識(shí)別方法往往忽略了不確定性的影響，但是當(dāng)測(cè)量響應(yīng)的不確定性對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的識(shí)別具有重要影響而不可忽略時(shí)，采用傳統(tǒng)確定性識(shí)別方法將難以提供可靠的結(jié)果.因此，為了更加有效地評(píng)價(jià)WIC值的不確定性對(duì)待識(shí)別參數(shù)的影響，基于概率度量對(duì)約束系統(tǒng)模型參量識(shí)別問(wèn)題可描述為已知損傷指標(biāo)WIC的PDF，求約束系統(tǒng)不確定性參數(shù)的PDF，即

2 敏感性分析

在約束系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別前，需對(duì)損傷指標(biāo)WIC關(guān)于待識(shí)別參數(shù)之間的敏感性進(jìn)行分析，篩選出對(duì)WIC值影響較大的參量.假設(shè)約束系統(tǒng)有了4個(gè)與安全帶模型和氣囊模型相關(guān)的未知參量，分別為座椅與假人的摩擦因數(shù)、安全帶織物剛度縮放系數(shù)、氣體質(zhì)量流率縮放系數(shù)以及氣囊透氣率常數(shù).首先采用正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法來(lái)進(jìn)行仿真試驗(yàn)，參量的3種不同水平表如表1所示.考慮如表2所示4種工況下的碰撞，分別為35 km/h正面碰撞和40 km/h的40%前端側(cè)角碰撞，乘員模型分別為第50百分位男性假人和第5百分位女性假人.

求取表2中的4種工況下的WIC值，并利用方差分析鑒別各個(gè)模型參量對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響.構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量F來(lái)檢驗(yàn)，用P值來(lái)比較各個(gè)因素對(duì)結(jié)果影響的顯著性，其中P值越小代表該因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響越顯著，分析結(jié)果如表3所示.

從表3可以看出，織帶剛度縮放系數(shù)和流率縮放系數(shù)在所有工況下對(duì)WIC值都有顯著影響，而座椅摩擦系數(shù)、透氣率常數(shù)對(duì)所有工況的WIC值的影響都不顯著，尤其是工況1和工況3.究其原因不難發(fā)現(xiàn)，安全帶與安全氣囊是保證人體最重要的部位即胸部與頭部在發(fā)生意外時(shí)避免損傷最為關(guān)鍵的約束件，通常安全帶與安全氣囊的質(zhì)量好壞對(duì)整個(gè)約束系統(tǒng)的保護(hù)效果具有直接的影響，而座椅為輔.同時(shí)，織帶剛度縮放系數(shù)和氣體質(zhì)量流率縮放系數(shù)又是安全帶與安全氣囊質(zhì)量的決定因素所在，這就造成了WIC值對(duì)安全帶織物剛度縮放系數(shù)與氣體質(zhì)量流率縮放系數(shù)的變化比較敏感.由敏感性分析結(jié)果可知，表2中所示工況適于對(duì)織帶剛度縮放系數(shù)和流率縮放系數(shù)進(jìn)行識(shí)別，且在識(shí)別過(guò)程中可將座椅摩擦因數(shù)、透氣率常數(shù)假設(shè)為一固定值.

3 基于貝葉斯推理的約束系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別方法

基于貝葉斯方法的參數(shù)識(shí)別需要大量地調(diào)用仿真模型，為了提高計(jì)算效率，對(duì)選定待識(shí)別參量織帶剛度縮放系數(shù)和流率縮放系數(shù)進(jìn)行全因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)

采樣，利用試驗(yàn)中獲取的樣本點(diǎn)等信息，計(jì)算出涉及到全部試驗(yàn)因素的各水平響應(yīng)值，最終建立系統(tǒng)的高近似度二階響應(yīng)面模型，如式（3）所示.式（3）中，X1為織帶剛度縮放系數(shù)，X2為質(zhì)量流率縮放系數(shù)，WIC1和WIC2分別為工況1和工況2下的損傷指標(biāo).

通過(guò)上述方法可獲得織帶剛度系數(shù)和流率縮放系數(shù)的分布形式，且后驗(yàn)概率分布中的概率最大值所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為參數(shù)識(shí)別中的最佳結(jié)果.對(duì)于式（4）一般采用數(shù)值積分方法進(jìn)行求解，MCMC是一種常用的處理復(fù)雜問(wèn)題的高維數(shù)值積分方法，而且其可以避免對(duì)式（4）中的正規(guī)化常數(shù)的求解.該方法主要是通過(guò)馬爾科夫鏈利用抽樣點(diǎn)之間的相關(guān)性產(chǎn)生有用樣本點(diǎn)，只要樣本足夠多，那么統(tǒng)計(jì)樣本得到的結(jié)果就越接近織帶剛度系數(shù)和流率縮放系數(shù)的后驗(yàn)PDF.MetropolisHastings （MH） 算法[18]是常用的一種構(gòu)造馬爾科夫鏈的方法，該方法能夠保證更多的樣本點(diǎn)落在最重要的區(qū)域，以至于產(chǎn)生能夠模擬真實(shí)未知參數(shù)聯(lián)合后驗(yàn)PDF的足夠多的樣本點(diǎn)，從而提高計(jì)算效率.針對(duì)織帶剛度系數(shù)和流率縮放系數(shù)，該方法生成各自馬氏鏈{X0i，X1i，X2i，…}（i=1，2）的具體過(guò)程如下：

1）隨機(jī)產(chǎn)生織帶剛度系數(shù)和流率縮放系數(shù)的初始樣本X0i；

2）構(gòu)造待識(shí)別參數(shù)的建議分布p（X*iXi）；

3）當(dāng)前樣本Xji及提議分布p（X*iXi）產(chǎn)生待識(shí)別參數(shù)的候選樣本X*i；

4）從0，1均勻分布隨機(jī)產(chǎn)生u；

5）求解v=p（X*iWIC）p（X*iXji）p（XjiWIC）p（XjiX*i），若u≤v，則接受Xj+1i=X*i，進(jìn)行步驟6）；否則Xj+1i=Xji并重復(fù)過(guò)程3） .

6）在馬氏鏈達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)或滿足鏈長(zhǎng)條件時(shí)，輸出識(shí)別的織帶剛度系數(shù)和流率縮放系數(shù)的PDF.

4 識(shí)別結(jié)果與分析

假定損傷指標(biāo)WIC1值和WIC2值分別服從正態(tài)分布N1（0.52，0.01）和N2（0.40，0.01）， 迭代的初始點(diǎn)為[10，10].進(jìn)行了10 000次迭代，識(shí)別的織帶剛度縮放系數(shù)和質(zhì)量流率縮放系數(shù)的二維隨機(jī)游走過(guò)程如圖2所示.從圖2可以看出，只經(jīng)過(guò)較少次數(shù)的迭代，該馬爾科夫鏈就得到收斂.由識(shí)別結(jié)果可得織帶剛度縮放系數(shù)和質(zhì)量流率縮放系數(shù)的邊緣概率密度如圖3所示，均值和標(biāo)準(zhǔn)差如表4所示.

從圖3和表4可以看出，織帶剛度縮放系數(shù)和質(zhì)量流率縮放系數(shù)的識(shí)別結(jié)果都為類正態(tài)分布，測(cè)量響應(yīng)的不確定性對(duì)質(zhì)量流率縮放系數(shù)的影響較大，而對(duì)織帶剛度縮放系數(shù)的影響較小.通過(guò)獲得的織帶剛度縮放系數(shù)和質(zhì)量流率縮放系數(shù)的邊緣概率密度曲線有效地評(píng)價(jià)測(cè)量響應(yīng)的不確定性對(duì)待識(shí)別參數(shù)結(jié)果的影響，相比于傳統(tǒng)的確定性識(shí)別方法，本文方法識(shí)別的參數(shù)結(jié)果為一類正態(tài)分布而非一確定值，且結(jié)合參數(shù)敏感性分析可判斷參數(shù)對(duì)WIC值的影響程度，這對(duì)汽車乘員約束系統(tǒng)的安全性設(shè)計(jì)具有更佳的指導(dǎo)意義.

5 結(jié) 論

為了有效評(píng)價(jià)測(cè)量響應(yīng)的不確定性對(duì)汽車乘員約束系統(tǒng)中待識(shí)別參數(shù)的影響，本文發(fā)展了一種基于貝葉斯推理的乘員約束系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別方法.該方法首先充分考慮了測(cè)量響應(yīng)的不確定性，通過(guò)敏感性分析篩選出了約束系統(tǒng)中對(duì)WIC值影響較大的且難以通過(guò)直接測(cè)量得到的系統(tǒng)參數(shù).其次基于近似模型構(gòu)造技術(shù)對(duì)待識(shí)別參量進(jìn)行全因子試驗(yàn)設(shè)計(jì).利用試驗(yàn)中獲得的涉及到全部試驗(yàn)因素的各水平響應(yīng)值，建立系統(tǒng)的二階響應(yīng)面模型.最后利用基于貝葉斯推理的不確定性參數(shù)識(shí)別方法，有效地搜索乘員約束系統(tǒng)中待識(shí)別參數(shù)的后驗(yàn)分布，以此獲得乘員約束系統(tǒng)參數(shù)最終識(shí)別結(jié)果.結(jié)果表明，相比于傳統(tǒng)確定性識(shí)別方法，本文方法不僅能夠保證參數(shù)尋優(yōu)的全局收斂性，而且能有效地給出乘員約束系統(tǒng)中待識(shí)別參數(shù)的概率分布，可為汽車乘員約束系統(tǒng)的安全性設(shè)計(jì)提供更為全面的參考.

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