高考分段函數(shù)問題考點透視

李昭平

一般地，在自變量的不同取值范圍內(nèi)，函數(shù)有著不同的對應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)常常稱為分段函數(shù). 分段函數(shù)的定義域和值域分別是幾段函數(shù)定義域和值域的并集. 分段函數(shù)問題往往融函數(shù)、方程、不等式、圖像、導(dǎo)數(shù)等知識于一體，具有涉及面廣、綜合性強(qiáng)、解法靈活的特點，是高考經(jīng)久不衰的高頻考點. 下面結(jié)合近幾年部分高考題和?？碱}透視考點，僅供參考.

1. 考查求函數(shù)值

例1. 設(shè)f（x）=， 0

（ ）

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

解析：由分段函數(shù)的結(jié)構(gòu)知，其定義域是（0， +∞），所以a>0.

（1）當(dāng)01，則f（a）=f（a+1）就是=2（a+1 -1）， a=. 于是f（）=f（4）=6.（2）當(dāng)x>1時， a+1>1，則f（a） =f（a+1）就是2（a+1）=2（a+1-1），方程無解.

綜上可知，f（）=6. 故選C.

點評：本題主要考查分段函數(shù)的定義域、分段函數(shù)的意義、分類討論思想和方程思想. 在利用f（a）=f（a+1）構(gòu)建方程時，要注意自變量的值在哪段內(nèi)，不能代錯分段解析式.

訓(xùn)練1：設(shè)f（x）是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[-1， 1）上有f（x）=x+a， -1≤x<0|-x |， 0≤x<1其中a∈R. 若f（-）= f（），則f（5a）的值是 .

解析：因為f（x）的周期為2，所以-2，4，-4也是其周期.

于是f（-）=f（--2）=f（-）=-+a，f（）=f（+4）=f（）=|-|=.

由f（-）= f（），得-+a=，a=.

故f（5a）=f（3）=f（3-4）=f（-1）=-1+=-.

2. 考查求函數(shù)解析式

例2.（2018年皖江聯(lián)盟?？季砦睦?3）若函數(shù)f（x）的圖像是如圖所示的折線段OAB，則函數(shù)解析式f（x）= .

解析：由圖像可知，當(dāng)x∈[0， 2]時，有y=2x.

當(dāng)x∈（2， 4]時，由點（4， 0）和點（2，4），得=， 即y=-2x+8.

所以函數(shù)的解析式為f（x）=2x， （0≤x≤2）-2x+8. （2

點評：在求分段函數(shù)的解析式時，根據(jù)自變量取值范圍的不同，要一段一段地求，類似于求多個函數(shù)一樣，但最后要合并寫成一個函數(shù)的形式.注意圖像中有“尖點”的，往往是分段函數(shù).

訓(xùn)練2：若函數(shù)f（x）的圖像是如圖所示的折線段OABC，則函數(shù)解析式f（x）=

.

解析：

y=2x， （0≤x<1）2， （1≤x<2）-x+4. （2

3. 考查函數(shù)值域問題

例3.（2017年合肥市?？季砝?）函數(shù)f（x）=logx， x≥12x， x<1的值域是（ ）

A.（-∞， 0] B.（-∞， 2） C.（0， +∞） D.（2， +∞）

解析：當(dāng)x≥1時，f（x）=logx單調(diào)遞減，f（x）≤f（1）=log1 =0，此時的f（x） 值域是（-∞， 0]. 當(dāng)x<1時，f（x）=2x單調(diào)遞增，f（x）

綜上可知，f（x） 的值域是（-∞， 2）. 故選B.

點評：分段函數(shù)是一個函數(shù)，其定義域是各段函數(shù)定義域的并集，值域也是各段函數(shù)值域的并集. 值域只有一個，不能分段回答其值域. 處理分段函數(shù)值域問題一般有兩種方法：一是先分段求值域，然后取并集；二是作出分段函數(shù)的整體圖像，觀察得到其值域.

訓(xùn)練3：若函數(shù)f（x）=-x+m， x

解析：當(dāng)x≥e時， （x-ln x）′=1->0，此時函數(shù) f（x）在[e， +∞）上單增，值域是[e-1， +∞）. 當(dāng)x

因此（-+m， +∞）？哿[e-1， +∞）. 于是-+m≥e-1，解得m≥-1. 即實數(shù)m的取值范圍是[-1， +∞）.

4. 查解函數(shù)不等式

例4.（2018年高考課標(biāo)Ⅰ卷文12）設(shè)函數(shù)f（x）=

2-x， x≤01， x>0 則滿足f（x+1）

A.（-∞， -1] B.（0， +∞） C.（-1， 0） D.（-∞， 0）

法1（圖像法）：首先根據(jù)分段函數(shù)的解析式，畫出對應(yīng)范圍內(nèi)的圖像.

從圖像中可以看出，要使f（x+1）

法2（特殊值法）：取x=-，

則f（-+1）=f（）=1， f（2·（-））=f（-1）=2. 因此， f（-+1）

再取x=-1，則f（-1+1）=f（0）=1，f（2·（-1））=f（-2）=4，

因此（-1+1）

點評：本題是已知函數(shù)值的大小，反過來確定自變量的取值范圍，屬于逆向設(shè)置問題.主要考查分段函數(shù)的圖像、單調(diào)性與數(shù)形結(jié)合的思想. 法1是根據(jù)分段函數(shù)的解析式，快速準(zhǔn)確地畫出分段函數(shù)的圖像來確定單調(diào)性和等價的不等式組，再求自變量的范圍. 法2則是利用特殊值法，根據(jù)“命題在一般情況下為真，則在特殊情況下也為真”、“命題在特殊情況下為假，則在一般情況下也為假”迅速排除錯誤答案.對于某些有關(guān)函數(shù)的圖像、函數(shù)值、參數(shù)范圍、函數(shù)不等式、最值等問題的選擇題，有時運用“特殊值法”，往往事半功倍.

訓(xùn)練4：（2017年高考課標(biāo)Ⅲ卷理15）設(shè)函數(shù)f（x）=

x+1， x≤02x， x>0 則滿足f（x）+f（x-）>1的x的取值范圍是____.

解析：數(shù)0， 將x軸分成三段，分別討論：

（1）當(dāng)x≤0 時，x-<0，則x+1+x-+1>1，所以-

（2）當(dāng)01，所以0

（3）當(dāng)x>時，x>0，則2x+2+2>1，所以x>.

綜上可知，滿足f（x）+f（x-）>1的x的取值范圍是

（-，+∞）.

5. 考查函數(shù)圖像

例5.函數(shù)y=2x2-e|x| 在[-2， 2]上的圖像大致為（ ）

解析：y=f（x）=2x2-ex， （0≤x≤2）2x2-e-x， （-2≤x<0） 當(dāng)0≤x≤2時，f′（x）=4x-ex. 此時，f′（）=1-e<0，立即排除A和C. 又計算f（2）=8-e2<8-2.72<1，排除B. 故選D.

點評：本題具有一定的思維深度，y=2x2-e|x| 是超越復(fù)合型函數(shù)，用傳統(tǒng)方法往往無法畫出其圖像. 其實符號 |x| 就暗示我們可以分類變成分段函數(shù)來處理.解這種非常規(guī)型函數(shù)的圖像問題，要注意靈活運用導(dǎo)數(shù)法和特殊值法進(jìn)行處理.

訓(xùn)練5：（2018年南昌市?？季砝?）函數(shù)y=x2-e|x| （x∈R）的圖像可能是（ ）

解析：y=f（x）=x2-2x， x≥0x2-2-x， x<0 顯然原函數(shù)是偶函數(shù)，立即排除B，D.

由解析式可知，2，4是函數(shù)的兩個零點，可以考慮2

當(dāng)2y2，即y>0，排除A. 故選C.

6. 考查函數(shù)最值問題

例6. 設(shè)a∈R，f（x）=x3-3x， x≤a-2x， x>a （1）若a=0，則f（x）的最大值為 ；（2）若f（x）無最大值，則a的取值范圍是 .

解析：（1）當(dāng)a=0時，由（x3-3x）′=3x2-3=0，得x=±1，如圖1是分段函數(shù)f（x）的圖像. 觀察圖形可知，最高點是 （-1， f（-1）），即（-1， 2），所以f（x）的最大值為2.

（2）當(dāng)a=-1時，如圖2，有最大值2，不合題意.

當(dāng)a>-1時，如圖3是x3-3x在R上的圖像，此時f（x）總有最大值，不合題意.

當(dāng)a<-1時，如圖4.

f（a）+2a=a3-3a+2a=a（a+1）（a-1）<0，（x3-3x）max<-2a，而-2x在x>a時無最大值. 滿足題意.

綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是（-∞， -1）.

點評：本題主要考查分段整式函數(shù)的圖像、導(dǎo)數(shù)處理三次函數(shù)、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想. 對（1），在求分段函數(shù)的最值時，一般是先求出每段的最值，各段最值中的最大（?。┱?，才為整個函數(shù)的最大（?。┲?，也可以觀察整個分段函數(shù)圖像的最高點或最低點得到函數(shù)的最大值或最小值. 對（2），a的變化影響到圖像的位置，a=-1是一個臨界點，分a=-1，a>-1或a<-1三類進(jìn)行討論.

訓(xùn)練6：（2017年濟(jì)南市?？季砝?5）若函數(shù) f（x）=

x+2， x≤21+log a x， x>2（a>0，a≠1）的最大值是4，則a的取值范圍是

.

解析：若a>1，則函數(shù)3+log a x在x>2時單增，沒有最大值，因此必有0

此時3+log a x在x>2時，滿足 f（x）< f（2）=1+log a 2.

而 f（x）=x+2在x≤2時的最大值是4. 因此應(yīng)有1+log a 2≤4，解得0

故實數(shù)a的取值范圍是（0， ）.

7. 考查函數(shù)零點問題

例7.（2018年安慶市模考卷文15）已知函數(shù)f（x）=

1， （x≤0）， （x>0）則函數(shù)g（x）=f（x）-的零點個數(shù)是 .

解析：顯然，當(dāng)x≤0時，f（x）=沒有解. 當(dāng)x>0時，=，即 |sinx| =x.

由于0≤ |sinx| ≤1，直線y=x 經(jīng)過（8， 1），只要考慮直線y=x 和曲線y= |sinx| 在區(qū)間（0， 8] 上的交點個數(shù).

畫出草圖，不包括（0，0），有5個交點.

故函數(shù)g（x）的零點個數(shù)是5.

點評：求分段函數(shù)的零點，必須先求出各段上的零點，再取并集. 本題在處理時 |sinx| =x，易忽視區(qū)間（0， 8] 而得到6個零點的錯誤答案. 處理函數(shù)f（x）的零點問題主要有兩種方法：一是直接求f（x）=0的實根或f（x）的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)；二是將f（x）“一分為二”為f（x）=g（x）-h（x），再考察兩個函數(shù)g（x）和h（x）圖像的交點個數(shù).

訓(xùn)練7：（2018年高考浙江卷理15）已知λ∈R，函數(shù)f（x） =x-4， x≥λx2-4x+3， x<λ若函數(shù)f（x）恰有兩個零點，則λ的取值范圍是 .

解析：當(dāng)有y=x2-4x+3兩個零點時，λ>4.

當(dāng)y=x2-4x+3有一個零點1時，y=x-4有一個零點4，則1<λ≤3.

故λ的取值范圍是（1， 3] ∪ （4， +∞）.

8. 考查求參數(shù)范圍

例8.（2017年高考天津卷理8）已知函數(shù)f（x）=x2-x+3， x≤1x+， x>1 設(shè)a∈R，若關(guān)于x的不等式f（x）≥|+a| 在R上恒成立，則a的取值范圍是（ ）

A.[-， 2] B.[-， ]

C.[-2， 2] D.[-2， ]

解析：f（x）≥|+a| 等價于-f（x）≤+a≤f（x）.

當(dāng)x≤1時，就是-x2+x-3≤+a≤x2-x+3，即-x2+x-3≤a≤x2-x+3-（x-）2-≤a≤（x-）2+，所以-≤a≤.

當(dāng) x>1時，就是-x-≤+a≤x+， 即-x-≤a≤x+.

而-x-≤-2，當(dāng)且僅當(dāng)x=時取等號. x+≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時取等號. 所以-2≤a≤2. 綜上可知-≤a≤2，選答案A.

點評：本題主要考查分段函數(shù)的意義、二次函數(shù)與雙勾函數(shù)的最值、恒成立不等式、參變分離思想等. 要注意分段討論后得到的a的范圍應(yīng)取交集. 能否將恒成立不等式f（x）≥|+a| 等價變形是解題的關(guān)鍵.一般地，|f（x）|≤g（x）？圳-g（x）≤f（x）≤ g（x）；|f（x）|≥g（x）？圳f（x）≤-g（x）或|f（x）|≥-g（x）.

訓(xùn)練8：（2018年高考課標(biāo)Ⅰ卷理9）已知函數(shù)f（x）=

ex， x≤0ln x， x>0 g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）

A.[-1， 0） B.[0， +∞） C.[-1， +∞） D.[1， +∞）

解析：“g（x）=f（x）+x+a 存在兩個零點”就是“曲線y=f（x）與直線y=-x-a 有兩個交點”. 函數(shù)f（x）的圖像如右：要使得動直線y=-x-a 與f（x）的圖像有兩個交點，必須且只須-a≤1，即a≤-1. 故選C.

9. 考查面積范圍問題

例9.設(shè)直線l1，l2分別是函數(shù)f（x）=-ln x， 01 圖像上點P1，P2處的切線，l1與l2垂直相交于點P，且l1，l2分別與y軸相交于點A，B，則△PAB的面積的取值范圍是（ ）

A.（0， 1） B.（0， 2） C.（0， +∞） D.（1， +∞）

解析：設(shè)P1（x1， y1），P2（x2， y2），由題意，不妨設(shè)0

因為f′（x）=-， 01所以l1的斜率k1=-，l2的斜率k2=.

又l1與l2垂直，所以k1·k2=-1，即-·=-1，x1x2=1.

寫出切線l1與l2的方程分別為， l1： y=-（x-x1）-ln x1……①

l2：y=（x-x2）-ln x2……②

聯(lián)立①②解得交點P的橫坐標(biāo)x==.

由①得點A的坐標(biāo)為（0， 1-ln x1），由②得點B的坐標(biāo)為（0， -1+ln x2）.

于是 |AB|=2-ln x1-ln x2=2.

故S△PAB=·|AB|·=≤=1，當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=1時等號成立，與0

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、曲線的切線方程、解方程組、基本不等式，以及分析、推理、運算能力和數(shù)形結(jié)合思想，具有結(jié)構(gòu)新穎、運算量大、交匯性強(qiáng)的特點，能有效考查學(xué)生的思維水平和綜合能力，有較大的難度.

訓(xùn)練9.（2018年?？谑心？季砦?0）設(shè)直線l1，l2分別是函數(shù)f（x）=e-x-1， -2

解析：因為點P1（-1， m）和點P2（1， n）在函數(shù)f（x）的圖像上，所以m=e-1，n=1. 在P1（-1， e-1）處的切線l1的方程是y-e+1=-e（x+1），即y=-ex-1. 在P2（1， 1）處的切線l2的方程是y-1=2（x-1），即y=2x-1. l1與l2相交于點P為（0， -1）， A（-， -1）， B（， 0）.

于是△PAB的面積是×（+）×1=.

10.考查實際問題

例10.（2018年高考上海卷19）某群體的人均通勤時間，是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時.某地上班族S中的成員僅以自駕或公交方式通勤. 分析顯示：當(dāng)S中x%（0

（1）當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間？

（2）求該地上班族S的人均通勤時間g（x）的表達(dá)式，討論g（x）的單調(diào)性，并說明其實際意義.

解析：（1）f（x）>40，得2x+-90>40，解得45

故當(dāng)S中的自駕成員在45%到100%之間時，公交群體的人均通勤時間少于自駕群體的人均通勤時間.

（2）g（x）=x%·f（x）+（1-x%）·40=40-x， 0

而二次函數(shù)x2-x+58的對稱軸是x=-=32.5，所以函數(shù)g（x）在（0，32.5）內(nèi)單減，在（32.5，100）內(nèi)單增，說明當(dāng)有32.5%以上的人自駕時人均通勤時間開始增加.

點評：本題主要考查分段函數(shù)的實際應(yīng)用，注意分類討論和實際問題中自變量、函數(shù)的意義與范圍. 其實，在現(xiàn)實生活中存在著大量的分段函數(shù)模型，解題的關(guān)鍵在于閱讀、理解和遷移實際問題，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的東西來處理.

訓(xùn)練10：某網(wǎng)民使用電腦上因特網(wǎng)有兩種方案可選：一是在家里上網(wǎng)，費用分為通訊費（即電話費）與網(wǎng)絡(luò)維護(hù)費兩部分.現(xiàn)有政策規(guī)定：通訊費為0.02元/分鐘，但每月30元封頂（即超過30元則只需交30元），網(wǎng)絡(luò)維護(hù)費1元/小時，但每月上網(wǎng)不超過10小時則要交10元；二是到附近網(wǎng)吧上網(wǎng)，價格為1.5元/小時.

（1）將該網(wǎng)民在某月內(nèi)在家上網(wǎng)的費用y（元）表示為時間t（小時）的函數(shù)；

（2）試確定在何種情況下，該網(wǎng)民在家上網(wǎng)較便宜？

解析：（1）時間t要分成三段.當(dāng)025時，y=t+30.

于是y=10+1.2t，（025）

（2）由t+30<1.5t？圯t>60.上網(wǎng)時間超過60小時，則在家上網(wǎng)較便宜.

以上對分段函數(shù)問題的高考考點進(jìn)行了十個方面的梳理和總結(jié). 不難看出， 分段函數(shù)問題在高考中主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，并且試題的位置在逐漸后移，這意味著廣度、深度和難度都在不斷加大. 特別是導(dǎo)數(shù)的引入，拓寬了高考對函數(shù)問題的命題空間和解題空間，以致在近年來的高考中，對分段函數(shù)的考查形式更加豐富、更加活潑、更加新穎. 分段函數(shù)的特征決定了分類討論思想是處理該問題的核心思想方法，必須切實掌握， 處理好整體與局部的關(guān)系. 當(dāng)然，數(shù)形結(jié)合思想、導(dǎo)數(shù)思想、方程思想、一分為二的思想、轉(zhuǎn)化思想也常常發(fā)揮重要作用.

責(zé)任編輯 徐國堅