回歸課本，簡約至美

雷小華

繁華落盡，還剩幾世蒼涼？尋尋覓覓，終將回歸簡約.2018年的全國高考數(shù)學已經(jīng)結(jié)束，在經(jīng)歷了多年的探尋摸索之后，今年試題特點較往年顯現(xiàn)更加回歸課本，著力于檢測考生的思維能力與數(shù)學素養(yǎng)，致力于顯現(xiàn)課本本身內(nèi)核所蘊含的簡約之美！這一特點在三角題中亦是如此.本文僅對高考數(shù)學理科Ⅰ卷的三角題作出分析，僅供參考.

一、試題回顧

二、試題分析

今年三角試題有兩道，試題立足課本基礎(chǔ)知識，計算適度，有難有易，1小1大，分值穩(wěn)定在17分. 由于小題作為壓軸題，綜合性強，有一定難度.解題情景都較熟悉，試題盡量避免與以往重復，在向課本靠攏的同時又有創(chuàng)新.

（一）填空題第16題

本題已知的函數(shù)f（x） =2sinx+sin2x 結(jié)構(gòu)并不復雜，著意避開以往常規(guī)的熟悉模式，如f（x） =2sinx+cos2x 或f（x） =2sinx+sin 2 x 等. 若考生平時套路練得又多又熟，思考反易受以往固定模式的干擾.

「分析」

考生易知 f（x） 是最小正周期為2？仔 的周期函數(shù)，故問題轉(zhuǎn)化為僅考慮在上[0， 2？仔]的最小值問題. 又知f（x）為奇函數(shù)，故問題又轉(zhuǎn)化為僅考慮在[0， 2？仔]上的最大值問題，此時f（x）min=-f（x）max. 又由sinx與sin2x 在[0，2？仔]內(nèi)的符號法則及單調(diào)性可知，f（x）取得的最大值應(yīng)在（0， ）內(nèi)取得.

對試題的外圍分析能整體把握解題動態(tài)與方向，有利于敏捷高效作答.

「作答」

尋找突破口. 注意到f（x）中sin2x=2sinxcosx，發(fā)現(xiàn)f（x）=2sinx（1+cosx），若后繼解題功力不夠，會感覺前路迷霧重重，無法前行. 接下來，只有兩種選擇，要么知難而上，執(zhí)著前行；要么改道而行，另求它法.前者將檢測出考生的意志品質(zhì)與數(shù)學能力的等級，后者同樣能考查出考生靈活變通的思維品質(zhì)與數(shù)學能力，若能準確作答，都是強者，若不能繼續(xù)作答，則被淘汰.

1.下面將知難而上，執(zhí)著前行者的途經(jīng)之路列舉幾種：

【方法一】基本不等式

充分利用豐富的三角恒等變換公式，加上最后臨門一腳（基本不等式）得解.

由f（x）=2sinx（1+cosx） = 2sinx·2cos2= 8sin·cos3=≤·（）2=，當且僅當3sin2=cos2，即tan=，即x=時，f（x）max=f（）=，故f（x）min=.

這里用到了基本不等式：a， b， c， d>0時，≥，或abcd≤（）4 .

或?qū)瘮?shù)f（x）進行平方得：

f 2（x）=4sin2x（1+cosx）2=4（1-cos 2 x）（1+cosx）2

=4（1-cos x）（1+cosx）3

=（3-3cos x）（1+cosx）（1+cos x）（1+cosx）≤（）2.

故f（x）≤，從而f（x）min=.

【方法二】導數(shù)法

導數(shù)法是分析函數(shù)單調(diào)性而得知函數(shù)的最值方法，這是導數(shù)的拿手好戲！

由f ′（x）= 2cos x+2cos 2x=4cos 2 x+2cos x-2 = 2（2cos x-1）（cosx+1），令f′（x）=0，得cos x=，易知函數(shù)的最小正周期為2？仔，在[-？仔， ？仔]中，f（x）min=f（-）=-.

【方法三】換元導數(shù)法

利用三角函數(shù)中的“萬能公式”進行換元，再結(jié)合導數(shù)進行求解.

萬能公式如下：cosx=，sinx=. 令t=tan（tan有意義），則g（t）=2··1+=. 后續(xù)利用導數(shù)對g（t）=進行分析，得出答案，過程略去.

「點評」

高考試題在對應(yīng)的題號內(nèi)容上一般與往年試題會有人為的區(qū)別，正如“鐵打的營盤流水的兵”，年年不同，年年出新.由于在課本導數(shù)這一章中有過用導數(shù)求三角函數(shù)最值的練習，而往年在第16題的位置上沒有出現(xiàn)過這類試題，故今年就在這一位置出上一道形似而神不似的壓軸題，既在意料之外，又在情理之中.

今年本題精妙之處在于平和卻不平淡，看似平淡卻不平庸，起初你或許會想用三角恒等變換常規(guī)思路去謀求解決，在并不能一蹴而就時，你要么知難而上，要么激流勇退轉(zhuǎn)換思路，重新拾級而上，唯有不畏陡峭山路并能選好路線而努力攀登的人們才能到達光輝的頂點. 本題是一道考查核心素養(yǎng)有區(qū)分度的好題！

變式練習一

1. 已知函數(shù)f（x）=2sinx-sin2x，則f（x）的最小值是 .

2. 已知函數(shù)f（x）=2cosx-sin2x，則f（x）的最小值是 .

3. 過點（-1， 0），且傾斜角為？琢 的直線l與圓E：（x-2）2+y2=20 相交于A，B兩點，若∠AEB=，則3sin 2 ？琢+sin2？琢 的值為（ ）

A. B. C. D.

【答案】

1. 解

由f′（x） = 2cosx-2cos2x = -4cos 2 x+2cosx+2 = -2（2cosx+1）（cosx-1），令f′（x） =0，得cosx=-，或cosx=1，易知函數(shù)的最小正周期為2？仔， 在[-？仔， ？仔]中， f（x）min=f（-）=-.

2. 解

由f′（x）=-2sinx-2cos2x = 4sin 2 x-2sinx-2=2（2sinx+1）（sinx-1），令f′（x） =0，得sinx=-，或sinx=1，易知函數(shù)的最小正周期為2？仔，在[-？仔， ？仔]中， f（x）min=f（-）=-.

3. C.

（二）解答題第17題

本題為解答題的第1道大題，為給考生營造平緩有利的過渡環(huán)境，題文設(shè)計簡潔，著眼于課本基礎(chǔ)知識與基本應(yīng)用，讓考生開個好頭.題目不配圖形，著意考查根據(jù)題意描繪圖形的能力.

「分析」

在畫出圖形并進行分析后，為求出第（1）問中的cos∠ADB的值，考生需用正弦定理先求出sin∠ADB的值，而后用同角的平方關(guān)系再求出cos∠ADB的值；在解第（2）時，用余角的誘導公式先求出cos∠BDC 的值，最后用余弦定理求出BC 的大小.

「作答」

（1）在△ABD中，由正弦定理得=.

由題設(shè)知，=，所以∠ADB=.

由題設(shè)知， ∠ADB<90°，所以cos∠ADB==.

（2）由題設(shè)及（1）知，cos∠BDC=sin∠ADB==.

在△BCD中，由余弦定理得：

BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC

=25+8-2×5×2×

=25.

所以BC=5.

「點評」

今年本道試題題干簡約，凸現(xiàn)本學科的一大特色——簡約之美！

近幾年第17題理科都考查解三角形，估計只有今年的試題最讓考生與廣大一線教師更欣喜，更接受.解題過程思維自然，流暢，若擁有一定的基礎(chǔ)知識與具備一定的運算能力的考生，一般都能作答好，旨在考查基礎(chǔ)的分析問題與解決問題的能力.

試題根據(jù)已知條件在解答過程中先后用到了正弦定理、同角的平方關(guān)系、誘導公式與余弦定理，一步接著一步，一環(huán)緊扣一環(huán)選擇并準確正用公式.試題回歸課本，緊扣核心內(nèi)容，注重基礎(chǔ)知識與基本能力的考查，有利于指導中學老師平日的課堂教學，為中學數(shù)學高考復習指明了方向，估計這道高考試題的示范效果會有深遠的意義！倘若高考試題8成都能如此，我看減負真正開始了！

變式練習二

1. 在平面四邊形ABCD 中，∠A=45°，AB=2，BD=.

（1）若DC⊥AB，求cos∠BDC；

（2）若DC=3，求BC.

解答：（1）在△ABD中，由正弦定理得=.

由題設(shè)知，=，所以

sin∠ADB=.

由題設(shè)BD=>2=AB ，知∠ADB<45°，

所以cos∠ADB===.

由題設(shè)DC⊥AB ，知∠A=∠ADC=45°.

故cos∠BDC=cos（45°-∠ADB）=cos45°cos∠ADB+

sin45°sin∠ADB=（cos∠ADB+sin∠ADB）=（+）=.

（2）在△ABD 中，由余弦定理得：

BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC

=+9-2××3×

=.

所以BC=.

變式練習三

1. 在平面四邊形ABCD 中，∠A=45°，AB=2，BD=.

（1）若△BCD 為等邊三角形，求cos∠ADC；

（2）求AD.

解答：（1）在△ABD 中，由正弦定理得=.

由題設(shè)知，=，所以sin∠ADB=.

由題設(shè)知BD=>2=AB ，知∠ADB<45°，

所以cos∠ADB===.

由△BCD 為等邊三角形，所以∠BDC=60°.

故 cos∠ADC = cos（60°+∠ADB） = cos60°cos∠ADB - sin60°sin∠ADB=×-×=.

（2）在△ABD 中，由余弦定理得：

AB2=BD2+AD2-2·BD·AD·cos∠ADB，

即4=6+AD2-2×AD·，

即AD2-4AD+2=0.

解得AD=2+，或AD=2-.

由∠ABD=180°-（∠ADB+45°）>180°-（45°+45°）=90°，

所以AD>，故AD=2-不合舍去，

所以AD=2+.

變式練習四

1. 在平面四邊形ABCD 中，∠A=45°，AB=2，BD=，DB 為∠ADC的角平分線.

（1）求cos∠ADC；

（2）若△BCD 的面積為-1，求對角線AC 的長.

解答：（1）在△ABD中，由正弦定理得=.

由題設(shè)知，=，所以sin∠ADB=.

由DB 為∠ADC的角平分線，故cos∠ADC=cos2∠ADB =1-2sin2∠ADB=1-2（）2=.

（2）在△ABD中，由余弦定理得：

AB2=BD2+AD2-2·BD·AD·cos∠ADB，

即4=6+AD2-2×AD·，

即AD2-4AD+2=0.

解得AD=2+，或AD=2-.

由∠ABD=180°-（∠ADB+45°）>180°-（45°+45°）=90°，

所以AD >，故AD=2-不合舍去，

所以AD=2+.

又依題意得S△BCD=BD·CD·sin∠BDC=·CD·sin∠ADB =·CD·=-1，

故CD=2-.

在△ADC 中，由余弦定理得：

AC2=DC2+AD2-2·DC·AD·cos∠ADC

=（2-）2+（2+）2-2·（2-）（2+）·

=.

故AC=.

猶如上乘武功不一定需要用那十八般武藝，回歸課本隨手“摘葉飛花”也可盡顯風釆.

今年一道壓軸、一道保底的三角題都蘊含了數(shù)學基本知識和數(shù)學文化，在回歸課本、緊扣內(nèi)核上來做好文章，聚焦主干內(nèi)容，突出關(guān)鍵能力，考查出學生的數(shù)學思維能力與數(shù)學素養(yǎng).

今年高考三角題能引導中學教學遵循教育規(guī)律、回歸課堂，用好教材，避免超綱學、超量學，杜絕偏題、怪題和繁難試題，廣大師生拍手稱快！

三、2019年高考備考建議

在2019年高考理科三角題的復習中，建議如下：

（一）回歸課本，把握并吃透三角核心內(nèi)容及相關(guān)應(yīng)用；

（二）落實三角中的基礎(chǔ)知識，基本技能，基本思想和基本活動經(jīng)驗，提高解題能力；

（三）在有區(qū)分度的三角壓軸題上，要求考生有一定的數(shù)學綜合能力.故建議考生在平時做題后，嘗試一題多解，多題歸一. 以發(fā)展核心素養(yǎng)為導向并貫穿始終.

若容顏老去，還有幾人癡癡愛慕？夫數(shù)學真諦，惟有核心不離不棄！兜兜轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，離圓心最近最美的原來就是圓心！故回歸課本，關(guān)注基礎(chǔ)與主干，濃縮高考數(shù)學考點，既可以有效降低試卷難度，增加數(shù)學在高考總分中的權(quán)重比例，又能在考查數(shù)學能力的同時使數(shù)學核心素養(yǎng)熠熠生輝，簡約至美，何樂而不為呢！

今年高考數(shù)學對三角的考查，回歸課本，簡約卻不簡單，平和卻不平庸，有“摘葉飛花”之功，符合課改要求，實為師生喜愛.也許，面對當今社會被各校師生厭惡的加課、補課及教輔資料滿天飛等頑癥，若要徹底治愈的有效辦法就是高考試題回歸課本，簡約至美！

愿一如既往，還社會一個“綠色環(huán)保”的教育，相信教育的春天已經(jīng)來臨！

責任編輯 徐國堅