基于Sigmoid函數(shù)的S型加減速控制方法研究*

方佳偉，蔡錦達(dá)，姚 瑩，張大偉

(1.上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093；2.上海理工大學(xué) 出版印刷與藝術(shù)設(shè)計(jì)學(xué)院，上海 200093；3.上海理工大學(xué) 教育部光學(xué)儀器與系統(tǒng)工程中心，上海 200093)

0 引 言

為減小機(jī)械設(shè)備在啟停階段的沖擊、失步、超程或振蕩，必須設(shè)計(jì)專門的加減速控制規(guī)律，使加給電機(jī)的輸入(脈沖頻率或電壓)按照這個(gè)規(guī)律變化，從而使設(shè)備在各種工況下都能快速、準(zhǔn)確地停留在給定的位置上(這種控制稱為加減速控制)。

目前S型加減速控制方法已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于實(shí)際工程當(dāng)中。文獻(xiàn)[1]提出了基于位移的7段加減速方法，這種方法通過位移求解速度，通過多項(xiàng)式擬合生成S型曲線，運(yùn)算量大，設(shè)備加減速階段沖擊時(shí)間長(zhǎng)。

本文將提出基于Sigmoid函數(shù)的S型加減速控制方法，從位移、速度、加速度以及加加速度等方面論證該控制方法的可行性；采用非等時(shí)離散化的時(shí)間規(guī)劃方法對(duì)加減速的時(shí)間分段做優(yōu)化與改進(jìn)；采用時(shí)間與速度數(shù)組遍歷查詢的方法進(jìn)行程序設(shè)計(jì)；通過基于ARM9微控制器的龍門式點(diǎn)樣儀進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，利用激光跟蹤儀進(jìn)行測(cè)量，以驗(yàn)證基于Sigmoid函數(shù)的S型加減速控制方法的有效性。

1 基于Sigmoid函數(shù)的S型加減速控制方法

設(shè)備在啟停階段若未使用加減速，會(huì)產(chǎn)生明顯的抖動(dòng)，對(duì)精度造成影響。所以在設(shè)備啟停階段必須使用加減速來減小抖動(dòng)。常見的加減速曲線有直線型加減速、指數(shù)型加減速和S型加減速[2]。龍門式點(diǎn)樣儀使用S型加減速控制方法來減小啟停階段的抖動(dòng)。

1.1 控制方法的模型分析

典型的S型加減速控制方法，大多使用多項(xiàng)式函數(shù)或者分段函數(shù)，函數(shù)的表達(dá)式為構(gòu)造函數(shù)，完成S型的擬合，Sigmoid函數(shù)本身就為平滑的S型曲線，表達(dá)式為：

(1)

式中：S—Sigmoid函數(shù)應(yīng)變量；x—Sigmoid函數(shù)自變量。

由于Sigmoid函數(shù)關(guān)于(0，0.5)中心對(duì)稱，而時(shí)間為非負(fù)數(shù)，所以將式(1)中的x用時(shí)間t-0.5n替換，S用速度v替換，那么式(1)就轉(zhuǎn)換為速度-時(shí)間的函數(shù):

(2)

式中：v—設(shè)備運(yùn)動(dòng)速度；t—設(shè)備運(yùn)動(dòng)時(shí)間；n—加速階段或者減速階段完成的時(shí)間周期數(shù)。

式(2)中，為了使得設(shè)備在最短的時(shí)間內(nèi)，零點(diǎn)處減小階躍信號(hào)的影響，并且保證步進(jìn)電機(jī)不出現(xiàn)抱死現(xiàn)象(頻率小于250 Hz)，保證加減速末端線性度(斜率小于0.005)，則須滿足：

(3)

式中：v—設(shè)備運(yùn)動(dòng)速度；t—設(shè)備運(yùn)動(dòng)時(shí)間；n—加速階段或者減速階段完成的時(shí)間周期數(shù)。

通過式(3)可以求得n=6。將式(2)積分可以得到位移d關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)式：

d(t)=ln(et-6+1)

(4)

式中：d—設(shè)備運(yùn)動(dòng)距離；t—設(shè)備運(yùn)動(dòng)時(shí)間。

將式(2)求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)分別可以得到加速度a和加加速度j關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)式：

(5)

式中：a—設(shè)備運(yùn)動(dòng)加速度；t—設(shè)備運(yùn)動(dòng)時(shí)間。

(6)

式中：j—設(shè)備運(yùn)動(dòng)加加速度；t—設(shè)備運(yùn)動(dòng)時(shí)間。

式(3～6)的函數(shù)圖像如圖1所示。

通過幾何法得出，圖1(a)中S型曲線未使用分段函數(shù)進(jìn)行擬合，直接通過超越函數(shù)即可得到S型的曲線。

圖1(b)位移-時(shí)間圖像末端取點(diǎn)可得：

當(dāng)t-6>3 ms時(shí)，距離-時(shí)間公式可近似為：

d(t)=k·t

(7)

式中：d—設(shè)備的運(yùn)動(dòng)距離；k—?jiǎng)蛩龠\(yùn)動(dòng)時(shí)的速度；t—設(shè)備運(yùn)動(dòng)時(shí)間。

式(7)證明了該加減速控制方法的末端線性度好，能夠平滑地從加速階段過渡到勻速階段。

通過幾何法分析圖1(c)加速度-時(shí)間圖像可以得出當(dāng)t-6=0時(shí)，加速度達(dá)到最大值，即加速度的最大值為：

amax=0.25·m

(8)

式中：amax—加速度最大值；m—達(dá)到勻速狀態(tài)之前，加速度的最大設(shè)定值。

式(8)中表示當(dāng)m的值取值越大，加速階段加速度越大，會(huì)產(chǎn)生步進(jìn)電機(jī)抱死現(xiàn)象[3]，后文中通過時(shí)間分段的非等時(shí)離散化設(shè)計(jì)解決該問題[4]。

圖1 基于Sigmoid函數(shù)的S型加減速控制方法的函數(shù)圖像

通過解析法，對(duì)式(6)求導(dǎo)可得：

(9)

式中：j—設(shè)備運(yùn)動(dòng)加加速度；t—設(shè)備運(yùn)動(dòng)時(shí)間。

加加速度的最大值反應(yīng)了系統(tǒng)的柔性，值越大，則沖擊越大；值越小，則加減速時(shí)間長(zhǎng)[5]。文獻(xiàn)[6]中7段加減速的控制方法加速階段的速度-時(shí)間公式：

(10)

式中：v—速度；vs—初速度；j′—加加速度；0～t1，t2～t3—加速階段中加速度變化的階段；t1～t2—加速階段加速度不變的階段。

式(10)中，在兩種加減速控制方法的加減速時(shí)間相同(t=12 ms)的情況下設(shè)：vs=0,v4=1 mm/ms，可得：

當(dāng)t2-t1<1.065 ms時(shí)，j′>jmax

式(10)中，在兩種加減速控制方法的最大加加速度相同(j′=jmax=0.096 32 mm/ms2)的情況下設(shè)：vs=0,v4=1 mm/ms,t2-t1=0，可得：

(t1+t2+t3)min=6.444 ms

由上結(jié)論可知：當(dāng)7段加減速控制方法與基于Sigmoid型S型加減速控制方法的加減速時(shí)間相同時(shí)，7段加減速的勻加速階段時(shí)間必須小于整體時(shí)間的1/12。當(dāng)7段加減速控制方法與基于Sigmoid型S型加減速控制方法的加加速度最大值相同時(shí)，7段加減速的時(shí)間短，但7段加減速的加加速度為定值，所以沖擊值為常量，對(duì)精度影響大。Sigmoid型加減速的最大沖擊值為瞬態(tài)值，對(duì)精度影響小。減速階段與加速階段對(duì)稱。

1.2 控制方法的時(shí)間分段規(guī)劃

通過幾何法將圖1(a)等時(shí)離散化以及非等時(shí)離散化后，如圖2所示。

圖2 基于Sigmoid函數(shù)的S型加減速的時(shí)間離散化散點(diǎn)圖

通過幾何法可知圖2(a)中，當(dāng)-2

(11)

式中：T—等分時(shí)間段；t—設(shè)備運(yùn)動(dòng)時(shí)間；k1,k2—非等時(shí)分段系數(shù)。

式(11)中，根據(jù)需要選擇：k1=0.5,k2=0.25，其結(jié)果如圖2(b)所示。

通過圖2(a)和圖2(b)的對(duì)比，可以得出：非等時(shí)離散化方法相比于等時(shí)離散化所得到的時(shí)間分段，將時(shí)間分段從原先的12段等分時(shí)間段轉(zhuǎn)換成了16段非等分時(shí)間段，使得Δv/Δt的最大值減小，運(yùn)動(dòng)更加平穩(wěn)。

2 S型加減速的程序設(shè)計(jì)

綜合上述分析可知，對(duì)于ARM9嵌入式微控制器的程序設(shè)計(jì)主要過程是根據(jù)外部傳入的速度參數(shù)以及時(shí)間參數(shù)計(jì)算出步進(jìn)電機(jī)所需要的頻率以及改變頻率的時(shí)間點(diǎn)[7]。

根據(jù)圖2可知速度參數(shù)和時(shí)間參數(shù)的數(shù)量較多，為了提高程序的執(zhí)行效率，本研究采用數(shù)組查詢的方式設(shè)計(jì)程序[8]。

2.1 時(shí)間數(shù)組的建立

必須先建立時(shí)間數(shù)組才能夠通過時(shí)間數(shù)組建立速度數(shù)組。根據(jù)外部傳參分段數(shù)n、加速時(shí)間T、非等時(shí)分段系數(shù)k1,k2，通過圖2(b)以及式(11)可以設(shè)計(jì)出求時(shí)間數(shù)組time[n]的流程圖，如圖3所示。

圖3 時(shí)間數(shù)組規(guī)劃流程圖

通過圖3計(jì)算得出時(shí)間數(shù)組之后，可以迅速遍歷數(shù)組得到數(shù)組中的值進(jìn)行判斷以及運(yùn)算。

2.2 速度數(shù)組的建立與運(yùn)動(dòng)控制流程

步進(jìn)電機(jī)由脈沖信號(hào)進(jìn)行控制的，ARM9嵌入式微控制器有兩種脈沖控制模式，一種是通過PWM生成波形，另一種是通過對(duì)GPIO的控制輸出波形[9]。兩種方式的原理均為重載定時(shí)器中TCNT寄存器的值來改變脈沖的頻率以獲得所需步進(jìn)電機(jī)的轉(zhuǎn)速[10]。根據(jù)外部傳參速度V以及2.1節(jié)求解出的時(shí)間數(shù)組，求解出速度數(shù)組v[n]，并通過ARM9控制器的脈沖生成原理設(shè)計(jì)整體控制流程，如圖4所示。

圖4 速度數(shù)組建立及控制流程圖

基于Sigmoid函數(shù)的S型加減速控制方法是超越函數(shù)，非普通多項(xiàng)式函數(shù)，計(jì)算成本高，無法在運(yùn)動(dòng)的同時(shí)計(jì)算所需數(shù)值，所以必須事先完成相關(guān)數(shù)值計(jì)算。在計(jì)算機(jī)中，通過數(shù)組形式對(duì)數(shù)值進(jìn)行存放、遍歷，此種方法速度快、效率高，是一種高效的S型加減速處理方法[11-12]。如圖4所示，基于Sigmoid函數(shù)的S型加減速控制方法的時(shí)間離散化可通過Timer1定時(shí)器的定時(shí)時(shí)間time1確定，脈沖發(fā)生的頻率通過Timer2定時(shí)器TCNT2進(jìn)行重裝載。其減速階段與加速階段對(duì)稱。

3 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

本文使用龍門式生物芯片點(diǎn)樣儀作為實(shí)驗(yàn)設(shè)備。生物芯片對(duì)于點(diǎn)樣精度的要求高，所以生物芯片的生產(chǎn)設(shè)備在精度上要優(yōu)于普通設(shè)備，且步進(jìn)電機(jī)啟停階段的抖動(dòng)會(huì)影響設(shè)備精度[13]。因此本研究利用激光跟蹤儀對(duì)設(shè)備啟停階段的抖動(dòng)進(jìn)行測(cè)量，驗(yàn)證基于Sigmoid函數(shù)的S型加減速控制方法的有效性。

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)備

龍門式點(diǎn)樣儀的機(jī)械系統(tǒng)主要由點(diǎn)樣儀機(jī)械平臺(tái)、點(diǎn)樣基質(zhì)工作平臺(tái)組成，如圖5所示。

圖5 龍門式點(diǎn)樣儀裝置

圖5中龍門式點(diǎn)樣儀機(jī)械平臺(tái)采用托盤固定的龍門式直角坐標(biāo)結(jié)構(gòu)。X軸的兩根支撐導(dǎo)軌設(shè)計(jì)在龍門的兩側(cè)，X軸滑塊在兩根導(dǎo)軌上作直線運(yùn)動(dòng)，Y軸滑塊沿龍門方向作Y向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)樣儀的點(diǎn)樣噴頭模塊固定在Z軸上，可以在X-Y平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，也能在Z軸方向上實(shí)現(xiàn)升降。這種方案以剛度、強(qiáng)度都較大的兩側(cè)固定支撐導(dǎo)軌作為連接兩個(gè)運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)的橋梁，將點(diǎn)樣工作區(qū)域置于X向兩根支撐導(dǎo)軌之間，既能保障機(jī)械結(jié)構(gòu)的剛度、精度和速度，又合理利用空間。由于托盤固定不動(dòng)，芯片基質(zhì)不會(huì)發(fā)生移動(dòng)影響點(diǎn)樣精度。

本研究利用API T3激光跟蹤儀對(duì)實(shí)驗(yàn)設(shè)備精度進(jìn)行測(cè)量。激光跟蹤儀可以在短時(shí)間內(nèi)采集多個(gè)樣點(diǎn)進(jìn)行誤差分析。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

本文對(duì)龍門式點(diǎn)樣儀使用基于Sigmoid函數(shù)的S型加減速控制方法的運(yùn)動(dòng)控制與使用階躍信號(hào)的控制方法、使用7段加減速控制方法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，其實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6所示。

圖6 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖6(a)中采用了基于Sigmoid函數(shù)的加減速控制算法之后，啟停動(dòng)階段產(chǎn)生最大跟蹤誤差小于0.045 mm，持續(xù)的時(shí)間短。運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，由于在加速或減速階段的加加速度的絕對(duì)值有兩處最大處，測(cè)量結(jié)果在加減速階段各出現(xiàn)兩個(gè)跟蹤誤差峰值。

圖6(b)中可得：使用階躍信號(hào)控制算法時(shí)，啟動(dòng)階段速度突變大，加速度以及加加速度大，產(chǎn)生0.12 mm的跟蹤誤差，持續(xù)的時(shí)間短。

圖6(c)中可得：使用7段加減速控制算法時(shí)，啟停動(dòng)階段產(chǎn)生最大跟蹤誤差小于0.045 mm，持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)。

由于激光測(cè)量?jī)x動(dòng)態(tài)跟蹤性能好，其跟蹤誤差可作為判別設(shè)備啟停階段抖動(dòng)的依據(jù)。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：使用基于Sigmoid函數(shù)的S型加減速控制方法,利用激光跟蹤儀采集的點(diǎn)的抖動(dòng)均小于0.045 mm并且持續(xù)的時(shí)間短;使用階躍信號(hào)控制方法的抖動(dòng)的最大為0.12 mm，持續(xù)時(shí)間短;使用7段加減速控制方法的抖動(dòng)均小于0.045 mm，持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)。所以基于Sigmoid函數(shù)的加減速控制方法相比于階躍信號(hào)的控制方法可降低設(shè)備啟停階段62.5%的抖動(dòng)，基于Sigmoid函數(shù)的加減速控制方法相比于7段加減速控制方法可降低設(shè)備啟停階段33.3%的抖動(dòng)時(shí)間。

4 結(jié)束語(yǔ)

本研究提出了基于Sigmoid函數(shù)的S型加減速控制方法，并分析了該控制方法的位移、速度、加速度以及加加速度與時(shí)間的關(guān)系，論證了該控制方法的可行性；對(duì)加減速的時(shí)間分段方法做了優(yōu)化與改進(jìn)，論證了非等時(shí)離散化的時(shí)間規(guī)劃方法的有效性，并采用時(shí)間與速度數(shù)組遍歷查詢的方法進(jìn)行程序設(shè)計(jì)；通過基于ARM9微控制器的龍門式點(diǎn)樣儀進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，利用激光跟蹤儀進(jìn)行了測(cè)量。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：基于Sigmoid函數(shù)的S型加減速控制方法要優(yōu)于階躍信號(hào)的控制方法以及7段加減速控制方法，這為以后的研究提供了重要參考依據(jù)。