立足學(xué)生思考的數(shù)學(xué)教學(xué)

嚴必友

摘 要：以數(shù)學(xué)思維活動引領(lǐng)數(shù)學(xué)教學(xué)，教學(xué)生學(xué)會思考應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的本源性活動.教學(xué)生學(xué)會思考的數(shù)學(xué)活動形式主要有三類：一是引導(dǎo)學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)知識、追根溯源、反思質(zhì)疑；二是捕捉機會滲透并應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法；三是學(xué)會數(shù)學(xué)研究的一般方法，即經(jīng)歷提出問題、猜想假設(shè)、探索驗證、構(gòu)建概念、解決問題等各環(huán)節(jié)的完整研究過程.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)活動；數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)教育家A. A.斯托利亞爾有個重要的觀點：數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動的教學(xué)[1].的確，以數(shù)學(xué)思維活動引領(lǐng)數(shù)學(xué)教學(xué)，教學(xué)生學(xué)會思考應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的本源性活動. 數(shù)學(xué)教學(xué)既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力方面的獨特作用，培養(yǎng)學(xué)生推理、判斷、決策的能力. 實際上，“授之魚不如授之漁”，教給學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思考的方法，他所學(xué)到的將是未來可持續(xù)發(fā)展所需要的思維品質(zhì).

那么，數(shù)學(xué)教學(xué)要從哪些方面教學(xué)生學(xué)會思考呢？筆者認為，盡管“教學(xué)生學(xué)會思考”的形式和機會不一而足，但以下三類數(shù)學(xué)活動形式應(yīng)是最主要的載體：一是引導(dǎo)學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)知識、追根溯源、反思質(zhì)疑；二是捕捉機會滲透并應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法；三是學(xué)會數(shù)學(xué)研究的一般方法，即經(jīng)歷提出問題、猜想假設(shè)、探索驗證、構(gòu)建概念、解決問題等各環(huán)節(jié)的完整研究過程. 本文就此做些探索和思考.

一、以數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)為載體的學(xué)會思考

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的大部分活動聚焦于數(shù)學(xué)知識的理解與掌握. 數(shù)學(xué)概念、命題、公式、法則等知識的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)活動的主體，幾乎是每節(jié)數(shù)學(xué)課必然要面對的. 如何在這些常態(tài)的數(shù)學(xué)課堂里教學(xué)生學(xué)會思考也就成為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù).

思考是在具體的數(shù)學(xué)活動中進行的，在知識學(xué)習(xí)中“教學(xué)生學(xué)會思考”就要提供給學(xué)生自己投入數(shù)學(xué)知識的理解、建構(gòu)、掌握活動的機會. 這些數(shù)學(xué)活動包括對情境材料的數(shù)學(xué)化、對數(shù)學(xué)對象的表述、對數(shù)學(xué)問題及結(jié)果的反思質(zhì)疑等. 數(shù)學(xué)思考是以這些活動為載體的，活動越深入，思考也就越有質(zhì)量.

例如，以下“加權(quán)平均數(shù)”的教學(xué)片段由無錫江南中學(xué)張珉老師執(zhí)教，在并不復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)中引導(dǎo)學(xué)生通過對情境材料數(shù)學(xué)化、對數(shù)學(xué)對象表述、對數(shù)學(xué)問題及結(jié)果反思質(zhì)疑等數(shù)學(xué)活動進行數(shù)學(xué)思考.

教師首先拋出一個引導(dǎo)性問題啟發(fā)學(xué)生思考.

師：（呈現(xiàn)問題一）學(xué)校舉行一次知識競賽，我班選派了15個同學(xué)參加競賽，共有3種得分，分別是80分、85分、90分，你能求出這15個同學(xué)的平均成績嗎？

【評述】問題一是為了引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)在一定的情境下必然會出現(xiàn)加權(quán)平均數(shù)，而不是人為生造的. 該情境材料是學(xué)生身邊的生活情境，雖是以基礎(chǔ)知識為載體的簡單問題，但因問題開放，數(shù)學(xué)化過程中容易產(chǎn)生錯誤的結(jié)果，對學(xué)生的思考啟迪作用是顯而易見的.

生1：把80，85，90相加再除以3，就是這15個同學(xué)的平均得分.

師：這位同學(xué)的觀點是把3個得分加起來除以3，即[80+85+903]（板書）. 還有沒有不同的解法呢？

生2：我認為，需要知道這3個成績在人數(shù)里所占的比例，才能做.

師：哦！這位同學(xué)說，需要知道這3個成績所對應(yīng)的人數(shù). 好！現(xiàn)在有兩種觀點：有同學(xué)說把3個成績相加除以3，有同學(xué)說這個平均分要看這3個成績在人數(shù)里所占的比例.

我有些糊涂了，我們來分組討論一下. 請這個小組派一位代表來說一說.

生3：我們組贊同第二位同學(xué)的方法，先找出每個分數(shù)對應(yīng)的人數(shù)，把分數(shù)與對應(yīng)的人數(shù)乘起來，相加，再除以總?cè)藬?shù)，我們覺得這樣比較公平.

師：好的. 我們再請一個小組. 你們這個小組派一個代表，你們討論的結(jié)果怎么樣？

生4：我們也同意第二個同學(xué)的觀點.

師：你們還是認為，這3個成績要知道它對應(yīng)的人數(shù).

【評述】利用校園活動創(chuàng)設(shè)情境問題，貼近學(xué)生生活，情境自然. 教師語言比較生動、幽默. 用解題方式復(fù)習(xí)舊知，比單純記憶背概念公式更有效，把知識與運用情境結(jié)合，使知識情境化、條件化. 通過引導(dǎo)學(xué)生合理地表述數(shù)學(xué)對象，討論、對比不同的結(jié)果，使學(xué)生思考、感悟加權(quán)平均數(shù)的產(chǎn)生原因.

師：（呈現(xiàn)問題二）你來給每個成績分配一個人數(shù)，這時候怎么來求平均成績？

生5：假如是15個人的話，我就分配3個成績正好都是5個人.

師：現(xiàn)在這位同學(xué)提出來，把這三項成績都分配5個人，那么現(xiàn)在你能來求平均分了嗎？哪個同學(xué)來說一說？

生6：80×5+85×5+90×5，它們的和除以15.

師：15就是剛才的3個5相加，（板書） [80×5+85×5+90×55+5+5]（教師特別把15改成5+5+5）.

再請一個同學(xué)，還有沒有什么其他的分配方法？好，你來說一說，你有什么分配方法？

生7：因為3個成績都是5個人，所以只要把3個成績加起來乘以5，然后再除以15就行了.

師：哦，你跟他是一樣的. 還有沒有其他方法？

生8：分配成9，4，2.

師：就是分配成9個人，4個人，2個人. 現(xiàn)在這位同學(xué)把這15個同學(xué)分配成： 9，4，2 （板書）. 請坐，這時候根據(jù)她的分配方法又怎么來求出平均數(shù)呢？你來說說看.

生9：把80×9+85×4+90×2，再除以9+4+2.

（板書）[80×9+85×4+90×29+4+2] .

這是什么意思？9就是成績80在這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的次數(shù). 4就是85這個成績在整個這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的次數(shù). 同樣，2就是90這個成績在這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的次數(shù). 根據(jù)成績數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)不同，我們就給它一個數(shù)據(jù)——“權(quán)”. 我們就把“9，4，2”叫作“80，85，90”這三個成績的“權(quán)”，用這種方法求出的平均數(shù)叫作“加權(quán)平均數(shù)”.

【評述】巧妙地設(shè)置探究活動，讓學(xué)生“來給每個成績分配人數(shù)”，以此領(lǐng)悟“權(quán)”的本質(zhì)，這樣的數(shù)學(xué)活動不是局限于一個公式的識記與理解，而是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中自己思考其中的道理，對公式的理解自然也就趨于深刻.

毋庸置疑，對于概念或公式等知識性的新授課教學(xué)，如果提供給學(xué)生合適的素材和問題，設(shè)置有效的思考路徑，能夠產(chǎn)生良好的探索思考活動. 在這樣的思考過程中，學(xué)生學(xué)會的不僅僅是對知識的識記與掌握，更重要的是對問題的分析、解決方法，隨著探索的深入自然也就深化了對知識的理解.

二、以數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)為載體的學(xué)會思考

“教學(xué)生學(xué)會思考”的教學(xué)離不開數(shù)學(xué)思想方法的滲透，數(shù)學(xué)思想方法實質(zhì)上是前人在數(shù)學(xué)研究中積累的成熟的思維方式，是數(shù)學(xué)思考的結(jié)晶.

中小學(xué)階段涉及的數(shù)學(xué)思想方法已經(jīng)很豐富.例如，常見的數(shù)學(xué)思想有對應(yīng)思想、比較思想、符號化思想、歸納思想、類比思想、轉(zhuǎn)化思想、分類思想、數(shù)形結(jié)合思想、統(tǒng)計思想、函數(shù)與方程思想，等等；常用的數(shù)學(xué)方法有換元法、配方法、消元法、反設(shè)法、分析法、綜合法、待定系數(shù)法、構(gòu)造法、模型方法、整體代換法，等等. 教學(xué)過程中注重挖掘、整理和滲透，無疑是激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的絕好機會和載體.

日本數(shù)學(xué)家米山國藏對數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)意蘊有過中肯的評述：“學(xué)生在初中、高中時接受的數(shù)學(xué)知識，因畢業(yè)進入社會后幾乎沒有什么機會應(yīng)用這種作為知識的數(shù)學(xué)，所以通常在出校門后不到一兩年就忘掉了. 然而，不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和著眼點等，卻隨時隨地地發(fā)揮作用，使他們受益終身.”[2] 可見，相較于數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考力作用顯明.

例如，已知函數(shù)

[f（x）=sinx， x<1 ，x3-9x2+25x+a， x≥1.] 若函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x有三個不同的公共點，求實數(shù)a的取值集合.

引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會以數(shù)學(xué)思想方法為載體思考數(shù)學(xué)問題，往往能使問題迎刃而解.

本題首先應(yīng)結(jié)合函數(shù)圖象使用數(shù)形結(jié)合與分類討論思想思考問題：當(dāng)x<1時，f（x）=sinx與y=x有一個交點；當(dāng)x≥1時，f（x）=x3-9x2+25x+a與y=x應(yīng)有兩個交點.接著使用特殊化思想，考慮x=1的情況，也有一個交點；這樣，當(dāng)x>1時，f（x）=x3-9x2+25x+a與y=x只能有一個交點.再借助數(shù)學(xué)結(jié)合思想方法判斷y=x應(yīng)是曲線f（x）=x3-9x2+25x+a的一條切線，這就把問題化歸為導(dǎo)數(shù)的幾何意義，至此問題迎刃而解.

【評述】這類問題的解題教學(xué)，要避免局限于問題解決的結(jié)果呈現(xiàn)，而要致力于引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會利用數(shù)學(xué)思想方法自主探索解題過程，讓學(xué)生感悟到分類討論、一般與特殊、數(shù)形結(jié)合以及化歸等數(shù)學(xué)思想方法的魅力與價值，并注重引導(dǎo)學(xué)生歸納數(shù)學(xué)思想方法使用的特點和規(guī)律.思想方法的使用與歸納本身就是一種高層次思維活動，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探索活動能力，提升數(shù)學(xué)思考的層次與水平具有直接的意義，教學(xué)中應(yīng)善于捕捉各種機會，適時地滲透數(shù)學(xué)思想方法，使得以數(shù)學(xué)思想方法為載體的學(xué)會思考的教學(xué)常態(tài)化.

三、以研究問題的一般方法學(xué)習(xí)為載體的學(xué)會思考

“教學(xué)生學(xué)會思考”還應(yīng)當(dāng)上升到一個更高的層面——教給學(xué)生研究問題的一般方法. 這里所謂研究問題的“一般方法”，就是指研究數(shù)學(xué)問題的基本方法，是一種本原的方法，是人們探索數(shù)學(xué)領(lǐng)域乃至整個世界的最根本方法，具體涉及以下幾個環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境提出或形成問題、構(gòu)建概念或關(guān)系、探尋或設(shè)計方法、提出解決問題的猜想與假設(shè)、驗證猜想、建立解決問題的理論與方法.

這種方法論層面的數(shù)學(xué)教學(xué)每一步都激勵著學(xué)生的數(shù)學(xué)思考. 數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)習(xí)材料的特點，設(shè)計恰當(dāng)?shù)姆桨?，有意識地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)提出問題，建構(gòu)概念，尋找方法，最終學(xué)會研究問題的一般方法.

例如，“對數(shù)”概念的教學(xué)，就可以根據(jù)相關(guān)的素材，設(shè)計成由學(xué)生自己提出問題、探尋方法、建構(gòu)概念、解決問題的過程，從而使學(xué)生感受、學(xué)會研究問題的一般方法.

以下“對數(shù)”的教學(xué)片段是由南京師范大學(xué)附屬中學(xué)張萍老師執(zhí)教.

師：同學(xué)們，在前面學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)時，我們曾見過這樣的問題情境.

問題情境：某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過1年，這種物質(zhì)剩留量是原來的84%. 設(shè)該物質(zhì)的最初質(zhì)量為1.

問題1 你能就此情境提出一個數(shù)學(xué)問題嗎？

師：請將你的問題寫在草稿本上.

【評述】提供材料引導(dǎo)學(xué)生自己提出問題，頗有新意和啟發(fā)性，很好地激發(fā)了學(xué)生主動思考的積極性. 而且，由于問題的設(shè)置具有彈性和開放性，給學(xué)生留出思考的余地，學(xué)生提出多種問題，思考量是可想而知的.

生1：經(jīng)過5年，這種物質(zhì)的剩留量為原來的多少？

師：是多少呢？（寫下來）0.845=N.

師：還有不同的問題嗎？

生2：經(jīng)過多少年，這種物質(zhì)的剩留量為原來的一半？

師：這個問題怎么解決呢？（寫下來） 0.84x=[12].

【評述】出現(xiàn)本節(jié)課的目標性問題，就可以順此繼續(xù)讓學(xué)生進一步探索下去了.

師：同學(xué)們提出了很好的問題，這兩個問題實際上都與我們學(xué)過的指數(shù)函數(shù)y=0.84x有關(guān).

第一個問題是已知指數(shù)x求冪y；第二個問題是已知冪y求指數(shù)x.如果底數(shù)是未知的，那么，我們還可以解決已知指數(shù)x和冪y求底數(shù)a的問題.

這些問題本質(zhì)上就是在研究ab=N（其中a>0且a≠1）中已知兩個量求第三個量.

師：之前我們已經(jīng)研究了已知a，b求N，比如：

32=9，53=125…

我們還研究了已知b，N求a，比如：

a5=32?a=2，a3=5?a=[53]…

現(xiàn)在我們還可以研究什么問題呢？

【評述】還可以研究什么問題？仍讓學(xué)生自己去探尋.

生：已知a，N，求b.

比如：

2b=2?b=1，

2b=4?b=2，

2b=3?b=？

問題2 2b=3，這樣的指數(shù)b有沒有呢？

【評述】拋出頗具思考誘惑性的問題，啟發(fā)學(xué)生想辦法去判斷究竟是否存在這樣的b.無論是估計還是利用數(shù)形結(jié)合方法都能使學(xué)生領(lǐng)悟到研究數(shù)學(xué)問題的一般方法.

生3：2b=2?b=1，2b=4?b=2，2b=3，b在1到2之間.

師：為什么？

師：2b從2增加到4，指數(shù)b就相應(yīng)地從1增加到2？

從數(shù)的角度進行解釋.還能從其他角度來解釋嗎？

生4：2b=3這個問題和指數(shù)函數(shù)y=2x有關(guān)，我們可以作出它的圖象來觀察.

師：圖1是 2x=3與y=3的圖象，發(fā)現(xiàn)它們有交點，而且只有一個，那么指數(shù)b在哪里呢？

圖1

生5：交點的橫坐標就是我們要求的指數(shù)b.

師：從形的角度來解釋很好，剛才那位同學(xué)實際上利用了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，從數(shù)的角度作解釋的.

師：現(xiàn)在如何表示這里的指數(shù)b呢？指數(shù)b由2和3確定，數(shù)學(xué)家用log23來表示，讀作以2為底3的對數(shù)，其中2為底數(shù)，寫在下方，3叫真數(shù).

這樣，我們就由等式2b=3（指數(shù)式）得到等式b=log23（對數(shù)式），對數(shù)式中的對數(shù)b就是指數(shù)式中的指數(shù).

……

師：根據(jù)這些具體的例子，你知道一般情況下，對數(shù)是怎么表示的嗎？

生：ab=N?logaN.

……

至此，完成對數(shù)概念的初步建構(gòu)學(xué)習(xí)過程.

【評述】綜觀整個教學(xué)過程設(shè)計，立足于讓學(xué)生經(jīng)歷提出問題、建構(gòu)概念、探尋或設(shè)計方法、提出解決問題的猜想與假設(shè)、驗證猜想、建立解決問題的理論與方法，收到很好的教學(xué)效果. 學(xué)生在主動探究的過程中，認識到學(xué)習(xí)對數(shù)的必要性，理解了對數(shù)概念建構(gòu)的意義和價值，發(fā)現(xiàn)遇到對數(shù)的問題可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)問題來解決，學(xué)生完全領(lǐng)悟到研究數(shù)學(xué)問題的一般方法. 這一過程中思考的深度是可圈可點的.

以上所談的三類數(shù)學(xué)活動是教學(xué)生學(xué)會思考的主流形式，課堂教學(xué)中只要注重尋求各種機會激發(fā)學(xué)生思考，是能夠收到良好的效果的. 但筆者認為，教學(xué)生學(xué)會思考更應(yīng)成為一種教學(xué)觀念. 只有數(shù)學(xué)教師頭腦中形成一種根深蒂固的“教學(xué)生學(xué)會思考”的觀念時，才能在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)活動中產(chǎn)生一種真正意義上的教學(xué)生學(xué)會思考的效能.

參考文獻：

[1]A. A.斯托利亞爾.數(shù)學(xué)教育學(xué)[M].丁爾陞，等譯.北京：人民教育出版社，1984：序言.

[2]米山國藏.數(shù)學(xué)的精神思想和方法[M]. 毛正中，吳素華，譯.成都：四川教育出版社，1986： 序.