促進數(shù)學理解的策略

翟運勝

【摘 要】數(shù)學的理解是根據(jù)學生的已有數(shù)學經(jīng)驗及認知結構，主動建構內(nèi)部的心理表征，并進而獲得心理意義的過程。能否用語言來描述數(shù)學內(nèi)容，能否用畫圖來表達數(shù)學內(nèi)容，能否實際運用是數(shù)學理解的標志。建立聯(lián)系、借助形象、突出本質、加強對比、借助變式與反例等策略可以促進學生的數(shù)學理解。

【關鍵詞】數(shù)學理解；行為表征；策略

一、數(shù)學理解與外部行為表征

從建構主義理論來看理解實質上是學習者以信息的傳輸、編碼為基礎，根據(jù)已有經(jīng)驗及認知結構，主動建構內(nèi)部的心理表征，并進而獲得心理意義的過程。也就是建立相應的認知結構。這種內(nèi)隱的心理學上的變化，必然帶來一些外顯特征的變化，《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》附錄中這樣來解釋理解：描述對象的特征和由來，闡述此對象與相關對象之間的區(qū)別和聯(lián)系，這個可以看作是理解外顯上的變化。怎樣具體判斷學生理解了所學的知識呢？

（一）能否用語言表述是衡量學生是否理解的基本標志

1.能夠講清知識與生活經(jīng)驗之間的聯(lián)系與區(qū)別。比如數(shù)學上的角，學生能夠自己認識到角是一種從一點引出兩條射線的平面圖形，不是指桌角、墻角的角。

2.能夠講清新知識與舊知識之間的聯(lián)系。把一些難以理解的知識放到情境中去理解，在實際背景中加深理解。比如小數(shù)乘小數(shù)，為什么以往是越乘越大，而現(xiàn)在則會出現(xiàn)越乘積越小的情況，把它們放到具體的情境中去幫助學生理解，打破學生的認識局限，幫助學生重組認識結構。在復習時，能畫出概念間的關系網(wǎng)，能講清楚知識的來龍去脈。學習五年級下冊的“認識分數(shù)”單元復習，學生要能進行梳理總結，把分數(shù)的意義歸納成“份數(shù)的意義、除法的意義、比的意義”，形成知識結構圖，從而融會貫通。

3.學會講理，知道所學知識的本質是什么。數(shù)學是講“理”的科學，哪怕是一年級的數(shù)學教學也不例外。通過講理，學生能夠理解所學知識的本質。通過各種看直尺、數(shù)軸圖等方式，學生認識到小數(shù)其實質是一種分母為10、100、1000等的特殊分數(shù)。

4.用自己的語言表達對數(shù)學的思考。從不同的角度對所學知識作出解釋，能根據(jù)概念舉出恰當?shù)睦?。比如有的教師在教學時，引導學生以數(shù)學小論文的形式來表達自己對所學知識的理解。這種方式對于提高學生學習數(shù)學的熱情，擴大信息量非常有效，因此促進數(shù)學類信息的閱讀，有利于提高學生的數(shù)學理解能力。

（二）能否進行實際畫圖、操作是衡量學生是否理解的重要標志

學習了一個數(shù)比另一個數(shù)多（少）百分之幾，在考試中要求學生畫線段圖表示“美術組人數(shù)比舞蹈組少20%”，學生需要判斷把哪一種人數(shù)看作標準，平均分成多少份。

讓學生根據(jù)線段圖寫出數(shù)量之間的相等關系，如果學生能夠正確地畫圖并寫出相關的相等關系，說明學生真正理解了“美術組人數(shù)比舞蹈組少20%”的真正含義，否則很可能停留在機械模仿的解題階段。因為做到了直觀上的理解才是真正的理解。

（三）能否具體運用是衡量學生是否理解的關鍵標志

在學習公倍數(shù)與公因數(shù)的時候，學生對于公倍數(shù)與公因數(shù)能否區(qū)別，關鍵看他們是否能夠正確應用公倍數(shù)與公因數(shù)的知識解決一些實際問題。如能否解決下面的問題：把一張長20厘米、寬12厘米的長方形紙裁成同樣大小、面積盡可能大的正方形，紙沒有剩余，可以裁多少個？它是學生理解的標志。

二、促進數(shù)學理解的策略

（一）建立非人為和實質性的聯(lián)系

認知結構是人們在對客觀事物的感知和理解的基礎上頭腦里形成的一種心理結構，是個體認知活動的產(chǎn)物。教師要想讓學生達到確切的理解，關鍵是要幫助學生準備好已有的認知結構，以便組織新概念。學生所學的新知識，與認知結構已有的適當知識本身就存在某種固有聯(lián)系，這種聯(lián)系就是“非人為和實質性的”，它們只是目前存在于不同的載體中，學生如果能把兩者原有的“非人為和實質性聯(lián)系”認識出來、建立起來，也就建立了非人為和實質性的聯(lián)系。比如正方形是特殊長方形，它們之間的聯(lián)系就是非人為和實質性的聯(lián)系。建立了聯(lián)系，也就形成了結構。組織認知結構有兩種方式，一是同化，二是順應。例如根據(jù)長方形的特征推理正方體的特征，這是一種同化，學生理解相對較簡單。在教學認識分數(shù)的第二階段，原先是把一個物體平均分成若干份，其中一份是幾分之一，而現(xiàn)在是把一些物體看成一個整體平均分成若干份，其中一份中的個數(shù)是不固定的，這對于這個發(fā)展階段的學生來講是一種挑戰(zhàn)，需要打破原有的認識結構，順應知識的形成。數(shù)學教育心理學相關研究認為，在數(shù)學學習中大部分是順應過程，這是數(shù)學難學的一個因素。

例如，教學平行四邊形的面積計算以后，課件出示下面的圖形：

師：平行四邊形的底和高正好是它的一組相鄰的底邊時，就成了長方形或正方形。

師課件演示如下：

師：作為特殊的平行四邊形，長方形與正方形的面積計算也可以用S=ah表示嗎？

生：長方形的寬其實就是它的高，正方形的邊長其實就是和底相等的高，也可以用S=ah來表示。

通過課件演示，分析異同，學生把長方形與正方形的面積計算也“歸”到了平行四邊形的面積計算中去，建立了本質聯(lián)系，完善了知識結構，加深了對這一公式的理解。

同樣，學生如果能把梯形與三角形的面積計算“歸”在一起，則學生對于這兩種圖形的面積計算就又上升到了一個新的等級。

（二）借助形象，促進理解

數(shù)學家克萊因認為：數(shù)學不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上；數(shù)學的直觀是對概念、證明的本質把握。對于兒童來講，能夠做到直觀上的理解，才是真正的理解。通過形象加深對于問題本質的觀照，尋找數(shù)學對象的直觀模型是有效發(fā)揮幾何直觀促進理解的重要環(huán)節(jié)。

【案例】教學公因數(shù)這節(jié)課，還可以這樣引入，更能使學生理解因數(shù)以及公因數(shù)。過去在教學中，由一個自然數(shù)的乘法算式，把其中的一個數(shù)叫作積的因數(shù)，學生往往鸚鵡學舌，其實并沒有真正理解因數(shù)。

教學公因數(shù)，教師可以通過直觀圖來加以深化。教師出示下面兩根彩帶。每2厘米一段，可以把18厘米與12厘米正好分完，沒有剩余。2既是18的因數(shù)，又是12的因數(shù)，2是18與12的公因數(shù)。

同理，12厘米與18厘米還可以分成1厘米、3厘米、6厘米同樣長的一段，其中最長6厘米，就是18與12的最大公因數(shù)。

（三）突出數(shù)學知識的本質

著眼知識的本質教學素材。在數(shù)學教學中，在開始階段，要注意突出知識的本質屬性，使本質屬性先入為主，得以強化。例如在“認識周長”這節(jié)課中，教學中要直奔知識的本質，才有助于理解?？梢栽卺斪影迳嫌美K子圍出長方形、正方形等圖形，然后剪開測量，得出周長。這個活動有利于學生正確感知圖形的周長，正確地理解周長。作為教師來講，要盡可能地預先判知學生可能出現(xiàn)的錯誤，暴露出學生的潛在意識，從而更好地幫助學生理解數(shù)學知識。通過操作，突出數(shù)學知識的本質，促進學生的理解。

例如，教學三角形的特征，三角形具有穩(wěn)定性，這里的穩(wěn)定性實質是指當三角形的三邊確定了，那么三角形的形狀與大小就不會改變。而以往教學中，教師會讓學生去拉木條做成的三角形與平行四邊形，結果出現(xiàn)了把三角形與平行四邊形都拉變形的情況，誤導學生把三角形的穩(wěn)定性等同于“穩(wěn)固性”。一位教師在教學時是這樣借助操作教學三角形的穩(wěn)定性的。

師：三角形為什么不容易變形呢？你想知道這里面的奧秘嗎？下面我們來拼一拼。老師為每個人準備了一個學具袋，大袋里裝的是這樣的四根小棒，小袋里裝的是這樣的三根小棒，請拿大袋的同學拼一個平行四邊形，請拿小袋的同學拼一個三角形。（學生操作）

師：老師收集了一些作品，請大家觀察這些同學擺的平行四邊形和三角形，比一比，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：同樣的四根小棒可以拼成多種平行四邊形，而同樣的三根小棒只能拼成一種三角形。

師：請大家看屏幕，同樣的四根小棒可以拼成多種平行四邊形，而同樣的三根小棒只能拼成一種三角形，也就是說三條邊的長度確定后，這個三角形的形狀和大小就不會改變，這就是三角形的穩(wěn)定性。

（四）加強對比，促進理解

加強對比是溝通知識之間聯(lián)系的重要策略，通過對比能更好地認識知識的內(nèi)涵，分辨知識的外延，促進對于知識的理解。

例如，教學蘇教版五年級上冊“一一列舉”的解決問題的策略，在練習時教師安排如下對比練習。

小強沿著方格紙的格線畫長方形。（每個方格的邊長都是1厘米）

（1）如果畫出的長方形的周長是24厘米，有多少種不同的畫法？

（2）如果畫出的長方形的面積是24平方厘米，有多少種不同的畫法？

在列舉求這個問題的答案時，學生往往因為搞不清周長與面積而列舉錯誤，教師可以有意識地通過此題進行對比，借助實際操作，理解列舉之前應當考慮什么因素，使學生真正理解怎樣列舉，如何列舉。

（五）借助變式與反例

所謂變式就是變更對象的非本質特征的表現(xiàn)形式，變更觀察事物的角度或方法，以突出對象的本質特征，突出那些隱蔽的本質要素。一句話，變式是指事物的肯定例證在無關特征方面的變化。 讓學生在變式中思維，可以使學生了解哪些是事物的本質屬性，哪些是事物的非本質屬性，從而更好地掌握事物的本質規(guī)律。

通過非標準變式，突出概念的本質屬性， 促進學生對數(shù)學概念的理解。例如學習二年級下冊“角的認識”時，可以出示下面非標準變式圖形。

學生對于數(shù)學概念、結論的認識有時要通過反例來促進理解，因為反例提供了最有利于辨別的信息，對概念認識的深化具有非常重要的作用。例如教學六年級上冊“比的認識”時，在揭示了比的概念以后，觀看足球賽視頻片段，引導學生辨析比分3∶0。為什么這里比的后項可以為0，這個比與我們今天所學的比表示的意思一樣嗎？學生從而認識到足球、籃球等體育比賽中的比，不是表示相除關系的比。

數(shù)學理解是一個過程，數(shù)學理解是隨著年齡增長而發(fā)展的，追求數(shù)學理解是一個過程，但是有些東西是需要學生達到一定年齡，心智成熟到一定水平才可能理解的，因此教學過程中有的時候學生一時不能理解，教師也不要因此而耿耿于懷，很多情況下數(shù)學的理解需要時間來鋪墊，需要歲月來沉積。

參考文獻：

[1]涂榮豹，季素月.數(shù)學課程與教學論新編[M].南京：江蘇教育出版社，2007.

[2]曹才翰，章建躍.數(shù)學教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2006.

（江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)方洲小學 215028）