整合教材資源 優(yōu)化習(xí)題設(shè)計(jì)

彭曉丹

【摘 要】數(shù)學(xué)習(xí)題是課堂教學(xué)的重要組成部分，它不但能幫助學(xué)生鞏固、熟練、活化基礎(chǔ)知識，加深他們對數(shù)學(xué)知識的理解，而且是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要載體。“三角形內(nèi)角和”練習(xí)課的習(xí)題如何選擇才能更好地按認(rèn)知規(guī)律組織學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維？教師可以對“三角形內(nèi)角和”不同教材的習(xí)題從習(xí)題類型、習(xí)題數(shù)量和習(xí)題異同點(diǎn)三方面進(jìn)行比較分析，從而為練習(xí)課的習(xí)題優(yōu)選提供啟示。

【關(guān)鍵詞】教材比較；練習(xí)課；習(xí)題設(shè)計(jì)；三角形內(nèi)角和

數(shù)學(xué)習(xí)題是課堂教學(xué)的重要組成部分，它不但能幫助學(xué)生鞏固、熟練、活化基礎(chǔ)知識，加深他們對數(shù)學(xué)知識的理解，而且是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要載體。習(xí)題設(shè)計(jì)要能體現(xiàn)出練習(xí)的價(jià)值，為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供幫助。本文以現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)各版本中“三角形內(nèi)角和”一課為例，對其中的習(xí)題部分進(jìn)行比較分析，以了解不同教材的編寫特點(diǎn)，為練習(xí)課的習(xí)題設(shè)計(jì)提供參考，并在此基礎(chǔ)上來談練習(xí)課的習(xí)題優(yōu)選。

一、現(xiàn)行不同教材的習(xí)題比較

（一）進(jìn)行比較的教材

本文試圖對人教版、浙教版、蘇教版、青島版、北師大版、西南師大版這六套小學(xué)數(shù)學(xué)現(xiàn)行教材中“三角形內(nèi)角和”這一內(nèi)容所在單元涉及的與“三角形內(nèi)角和”有關(guān)的習(xí)題進(jìn)行整理，并從習(xí)題類型、習(xí)題數(shù)量和各版本習(xí)題的異同點(diǎn)三個(gè)方面進(jìn)行比較研究。

（二）習(xí)題的類型

根據(jù)習(xí)題的功能，我們將各個(gè)版本設(shè)計(jì)的習(xí)題類型分為如下3類。

1.基礎(chǔ)型

①根據(jù)“三角形內(nèi)角和等于180°”這一性質(zhì)進(jìn)行簡單計(jì)算。已知三角形其中兩個(gè)角，求第三個(gè)角。②明確三角形內(nèi)角和與三角形的形狀無關(guān)。

2.綜合型

綜合利用“三角形內(nèi)角和”“三角形分類中特殊三角形的性質(zhì)”來解決問題。

3.探究型

①用“三角形內(nèi)角和”說明一個(gè)三角形中最多只有一個(gè)直角、一個(gè)鈍角。②探索多邊形的內(nèi)角和。

（三）習(xí)題數(shù)量對比分析

從表1中可以看出：

第一，蘇教版在這一單元涉及“三角形內(nèi)角和”的習(xí)題數(shù)量最多，西南師大版次之，這兩個(gè)版本的基礎(chǔ)型習(xí)題數(shù)量也是明顯多于其他版本教材的。因?yàn)檫@兩個(gè)版本教材安排上是先上“三角形的內(nèi)角和”，再上“三角形的分類”，故在“三角形內(nèi)角和”課后安排了一定數(shù)量的基礎(chǔ)性習(xí)題。

第二，浙教版、青島版基本型習(xí)題最少，重視綜合型習(xí)題和探究型習(xí)題，注重讓學(xué)生建立知識間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題以及進(jìn)行說理、推理的能力。浙教版的探究型習(xí)題是最多的。

第三，人教版、北師大版的習(xí)題數(shù)量安排相仿。特別說明，因?yàn)槿私贪嬷小八倪呅蝺?nèi)角和”一課單獨(dú)作為例題，在該節(jié)課后探索五邊形、六邊形、七邊形……內(nèi)角和，故在習(xí)題統(tǒng)計(jì)時(shí)未將多邊形的內(nèi)角和作為“三角形內(nèi)角和”的習(xí)題，因而人教版“三角形內(nèi)角和”的探究型習(xí)題數(shù)量為0。

（四）各版本習(xí)題的異同

從表2中可以看到各版本“三角形內(nèi)角和”習(xí)題考查目標(biāo)有以下異同點(diǎn)。

1.相同點(diǎn)

（1）都有直接應(yīng)用“三角形內(nèi)角和是180°”這一性質(zhì)來計(jì)算求解的基礎(chǔ)性習(xí)題。已知三角形中兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，利用“三角形內(nèi)角和是180°”，求出第三個(gè)角的度數(shù)。這類習(xí)題強(qiáng)化學(xué)生對“三角形內(nèi)角和等于180°”的認(rèn)識，掌握求三角形中未知角度數(shù)的思考方法。并且其中均有涉及“已知一個(gè)直角三角形的一個(gè)銳角，求另一個(gè)銳角的度數(shù)”，盡可能讓學(xué)生掌握直接用90°減去已知銳角的度數(shù)，求出另一個(gè)銳角的度數(shù)這一簡便算法，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力。

（2）都有綜合利用“三角形內(nèi)角和的性質(zhì)”和“三角形分類”的知識來解決問題的習(xí)題。

主要類型有：根據(jù)等腰三角形中已知角（底角或頂角）的度數(shù)，求未知角（頂角或底角）的度數(shù)；求等邊三角形的內(nèi)角；已知三角形其中2個(gè)內(nèi)角，判斷是什么類型的三角形。這樣的習(xí)題鞏固特殊三角形的特征，又增強(qiáng)了“三角形內(nèi)角和性質(zhì)”的運(yùn)用。

2.不同點(diǎn)

（1）在對“三角形內(nèi)角和是180°”的含義的考查上有所不同。

人教版安排了“把1個(gè)大三角形分割成2個(gè)小三角形，求每個(gè)小三角形的內(nèi)角和”的習(xí)題。蘇教版安排的習(xí)題有“用兩塊完全一樣的三角尺拼一個(gè)三角形，求拼成的三角形內(nèi)角和度數(shù)”“將正方形不斷對折成等腰直角三角形，求三角形的內(nèi)角和”“用兩塊完全一樣的三角尺拼內(nèi)角和是180°的圖形”。北師大版安排的習(xí)題有“把兩個(gè)相同的三角尺分別拼成一個(gè)四邊形和一個(gè)三角形，先想、再量、后算它們的內(nèi)角和”“將長方形紙對折剪三角形，再將大三角形不斷剪小，使其形狀與大小不斷變化，填寫三角形內(nèi)角和”。西南師大版安排了“把兩塊完全一樣的三角板，拼成一個(gè)三角形，求三角形的內(nèi)角和”的習(xí)題。

這四個(gè)版本均有涉及幫助學(xué)生進(jìn)一步理解“三角形內(nèi)角和是180°”的含義的習(xí)題，體會三角形的內(nèi)角和與三角形的形狀、大小無關(guān)，幫助學(xué)生積累一些圖形變換的經(jīng)驗(yàn)。其他兩個(gè)版本沒有涉及。

（2）在梳理“三角形內(nèi)角和是180°”探索過程的考查上有所不同。

北師大版結(jié)合對課上探索活動的回顧，交流體會，明晰三角形內(nèi)角和是180°，總結(jié)解決問題的方法。其他版本沒有涉及。

（3）在對學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識進(jìn)行推理這一能力的考查上有所不同。

浙教版安排了“思考一個(gè)三角形中是否可能有兩個(gè)直角或鈍角”的習(xí)題。北師大版安排了判斷“鈍角三角形兩個(gè)銳角之和大于90°”和“直角三角形兩個(gè)銳角之和等于90°”這兩句話是否正確的習(xí)題。

這兩個(gè)版本習(xí)題中都有綜合運(yùn)用“三角形內(nèi)角和”“三角形分類特征”等所學(xué)知識進(jìn)行推理，提高學(xué)生解決問題的能力的題目。其他版本沒有涉及。

（4）在對四邊形或者多邊形內(nèi)角和推導(dǎo)的考查上有所不同。

浙教版安排了“把一個(gè)三角形截去一個(gè)內(nèi)角后，變成一個(gè)四邊形，求四邊形內(nèi)角和” 的習(xí)題。蘇教版安排了“用兩塊完全相同的三角尺拼內(nèi)角和分別是180°、360°的圖形”的習(xí)題。青島版安排了“根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°，推算長方形和正方形內(nèi)角和”的習(xí)題。西南師大版安排了“根據(jù)三角形、四邊形的內(nèi)角和，推導(dǎo)五邊形、六邊形內(nèi)角和”的習(xí)題。

浙教版、蘇教版、青島版在習(xí)題中均有根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°，觀察、推算出四邊形的內(nèi)角和。西南師大版在習(xí)題中分析多邊形的邊數(shù)與三角形個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，體會計(jì)算多邊形內(nèi)角和的一般方法，不歸納多邊形內(nèi)角和的公式。人教版中“四邊形內(nèi)角和”作為例題教學(xué)已在前面說明。蘇教版 “多邊形內(nèi)角和”作為“綜合實(shí)踐課”進(jìn)行教學(xué)，所以習(xí)題中只有一道四邊形的內(nèi)角和。北師大版沒有涉及四邊形或者多邊形的內(nèi)角和的習(xí)題。

二、對練習(xí)課的習(xí)題優(yōu)選的啟示

通過對以上六個(gè)版本不同教材習(xí)題的分析與比較，可以為練習(xí)課的習(xí)題優(yōu)選提供如下啟示。

（一）基礎(chǔ)型練習(xí)的安排，應(yīng)該強(qiáng)化學(xué)生對“三角形內(nèi)角和等于180°”的認(rèn)識，掌握求三角形中未知角度數(shù)的思考方法

比如，已知三角形中兩個(gè)角的度數(shù)，利用“三角形內(nèi)角和是180°”，求出第三個(gè)角的度數(shù)或者判斷三角形的類型；已知一個(gè)直角三角形的一個(gè)銳角，求另一個(gè)銳角的度數(shù)；在三角形的分與合的過程中，求三角形的內(nèi)角和等。但是此類習(xí)題安排時(shí)要注意適量，注意習(xí)題形式的改變，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。另外，無論是三角形內(nèi)角和性質(zhì)的探索還是理解，以及探索多邊形的內(nèi)角和，學(xué)生對于“內(nèi)角”概念的理解都非常重要，因此練習(xí)課習(xí)題設(shè)計(jì)時(shí)要注重學(xué)生對于“內(nèi)角”這一概念的理解。

（二） 綜合型習(xí)題的安排，應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用“三角形內(nèi)角和的性質(zhì)”“特殊三角形的性質(zhì)”等所學(xué)知識進(jìn)行推理，提高學(xué)生解決問題的能力

有兩個(gè)版本的習(xí)題涉及學(xué)生用所學(xué)的知識進(jìn)行推理、說理能力的培養(yǎng)，這也是我們在練習(xí)課上應(yīng)該加以重視的。比如“根據(jù)等腰三角形中已知角（底角或頂角）的度數(shù)，求未知角（頂角或底角）的度數(shù)”； 思考一個(gè)三角形中是否可能有兩個(gè)直角或鈍角。培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)能力，關(guān)注學(xué)生說理的條理性、邏輯性是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要方面。在練習(xí)課上教師應(yīng)當(dāng)適當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生說理的能力?！拔沂窃鯓幼龅?？”“我為什么這樣做？”“這樣做的結(jié)論是什么？”學(xué)生在表達(dá)自己的想法和做法的過程中，培養(yǎng)了思維的條理性，明確教材編者的意圖。

（三）探究型習(xí)題的安排，應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生關(guān)注知識的聯(lián)系，注重學(xué)生數(shù)學(xué)思想的系統(tǒng)性的建構(gòu)

比如，從學(xué)習(xí)三角形的內(nèi)角和到探索四邊形的內(nèi)角和乃至多邊形的內(nèi)角和，由內(nèi)角拓展到外角，有利于學(xué)生感受圖形內(nèi)部角之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生將所學(xué)知識系統(tǒng)化。將三角形內(nèi)角和的性質(zhì)和三角形的分類進(jìn)行綜合練習(xí)，將三角形內(nèi)角和與圖形特征建立起聯(lián)系，也體現(xiàn)了知識的內(nèi)在聯(lián)系。教師在教學(xué)時(shí)，應(yīng)當(dāng)有意識地培養(yǎng)學(xué)生關(guān)注知識的聯(lián)系，注重學(xué)生數(shù)學(xué)思想的系統(tǒng)性的建構(gòu)。

三、“三角形內(nèi)角和”練習(xí)課的習(xí)題優(yōu)選

心理學(xué)研究者指出，知識只有組織成系統(tǒng)，才會被學(xué)生迅速、準(zhǔn)確而牢固地記憶并遷移，而這個(gè)系統(tǒng)應(yīng)該是有序的、有層次的。所以在設(shè)計(jì)練習(xí)題時(shí)先模仿，再變式，然后綜合應(yīng)用，最后再進(jìn)行開放題的探究，注重知識的靈活運(yùn)用，發(fā)散學(xué)生的思維。另外，練習(xí)題設(shè)計(jì)應(yīng)盡可能注重與生活的聯(lián)系，在學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上設(shè)置相關(guān)練習(xí)題，提高練習(xí)題的生活味，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系。這樣，學(xué)生才能更加深刻地理解所學(xué)知識，保持學(xué)習(xí)的動力。

（一）基礎(chǔ)型習(xí)題的優(yōu)選

1.回顧思維歷程，加深性質(zhì)理解

（1）三角形內(nèi)角和等于多少？我們是用什么方法進(jìn)行探索的？

（設(shè)計(jì)意圖：通過對三角形內(nèi)角和探索活動的回顧，交流體會，明晰三角形內(nèi)角和是180°，總結(jié)解決問題的方法。）

（2）①如圖，用兩把完全相同的三角尺拼成一個(gè)三角形，拼成的三角形內(nèi)角和是多少度？

②用一張長方形紙剪一剪，再填一填。

（設(shè)計(jì)意圖：三角形分與合的過程中，三角形的形狀和大小不斷變化，加深對三角形內(nèi)角和性質(zhì)的理解，激活學(xué)生的思維。）

2.應(yīng)用性質(zhì)計(jì)算，提高計(jì)算能力

（1）下面每組角是同一個(gè)三角形的內(nèi)角嗎？如果是，請指出它是什么三角形。

①∠1=120°，∠2=30°，∠3=30°

②∠1=90°，∠2=40°，∠3=50°

③∠1=85°，∠2=55°，∠3=50°

④∠1=55°，∠2=60°，∠3=60°

（設(shè)計(jì)意圖：應(yīng)用三角形內(nèi)角和性質(zhì)進(jìn)行判斷，讓學(xué)生明確要構(gòu)成一個(gè)三角形，三個(gè)角加起來的度數(shù)必須是180°。此題靈活應(yīng)用“三角形內(nèi)角和是180°”來解決問題，提高三角形內(nèi)角和性質(zhì)的應(yīng)用能力。）

（2）算出下面未知角的度數(shù)。

（設(shè)計(jì)意圖：利用“三角形內(nèi)角和是180°”，求出第三個(gè)角的度數(shù)，強(qiáng)化學(xué)生對“三角形內(nèi)角和等于180°”的認(rèn)識，掌握求三角形中未知角度數(shù)的思考方法。安排“已知一個(gè)直角三角形的一個(gè)銳角，求另一個(gè)銳角的度數(shù)”，盡可能讓學(xué)生掌握直接用90°減去已知銳角的度數(shù)，求出另一個(gè)銳角的度數(shù)這一簡便算法，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力。）

（3）你能根據(jù)每個(gè)三角形中已知的兩個(gè)銳角的度數(shù)，判斷各是什么三角形嗎？

（設(shè)計(jì)意圖：靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，把三角形兩個(gè)銳角的和與90°進(jìn)行比較，快速進(jìn)行判斷，培養(yǎng)解題思維的靈活性。）

（二）綜合型習(xí)題的優(yōu)選

1.應(yīng)用性質(zhì)解題，培養(yǎng)發(fā)散思維

（1）有一個(gè)等腰三角形的風(fēng)箏，它的底角是30°，它的頂角是多少度？

（2）埃及金字塔的四個(gè)側(cè)面的形狀都是等腰三角形，每個(gè)等腰三角形的頂角約是52°。金字塔每個(gè)側(cè)面的底角是多少度？

（3）已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是40°，它的另外兩個(gè)內(nèi)角是多少度？

變式：已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是60°，它的另外兩個(gè)內(nèi)角是多少度？

（設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)等腰三角形中已知角（底角或頂角）的度數(shù)，求未知角（頂角或底角）的度數(shù)，特別是有一個(gè)角是60°的等腰三角形的內(nèi)角的度數(shù)。這樣的題目綜合利用“三角形內(nèi)角和的性質(zhì)”和“三角形分類”的知識來解決問題，幫助學(xué)生進(jìn)一步鞏固等腰三角形和等邊三角形的特征，培養(yǎng)靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力，培養(yǎng)邏輯思維，提高解題思維的靈活性。）

2.應(yīng)用性質(zhì)說理，提高推理能力

（1）它們說得對嗎？

（2）想一想：一個(gè)三角形中可能有兩個(gè)直角或鈍角嗎？為什么？

（設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)用三角形內(nèi)角和是180°進(jìn)行分析推理，加深對“一個(gè)三角形中至少有兩個(gè)銳角”的理解，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯性思維和數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力。在解決數(shù)學(xué)問題和同伴交流的過程中，發(fā)展數(shù)學(xué)交流的能力，感受成功的喜悅，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。）

（三）拓展型習(xí)題的優(yōu)選

1.綜合應(yīng)用性質(zhì)，培養(yǎng)邏輯思維

填一填。

（設(shè)計(jì)意圖：這些題目具有較強(qiáng)的綜合性，學(xué)生要靈活運(yùn)用所學(xué)知識解題，既鞏固三角形內(nèi)角和的性質(zhì)、等腰三角形的特征、平角等相關(guān)知識，還適度拓展外角的知識，提高思維的有序性和靈活性。在拓展應(yīng)用的過程中，體會三角形內(nèi)角和及相關(guān)數(shù)學(xué)方法的價(jià)值，注重?cái)?shù)學(xué)思想系統(tǒng)性的建構(gòu)，進(jìn)一步產(chǎn)生對數(shù)學(xué)的好奇心，感受數(shù)學(xué)活動的挑戰(zhàn)性和趣味性，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。）

2.經(jīng)驗(yàn)遷移，系統(tǒng)建構(gòu)數(shù)學(xué)思想

請用你喜歡的方法來探索五邊形的內(nèi)角和。

想一想，如果是六邊形、七邊形呢？

（設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°，利用轉(zhuǎn)化思想求解，推算多邊形的內(nèi)角和，培養(yǎng)學(xué)生的探究推理能力。在類比遷移的過程中，積累探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和探究推理能力。）

這些習(xí)題的設(shè)計(jì)，注重學(xué)生知識的理解與靈活運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力，注重?cái)?shù)學(xué)思想習(xí)題性的建構(gòu)。習(xí)題設(shè)計(jì)時(shí)關(guān)注學(xué)生的思維與思考，讓學(xué)生自己在操作中感悟，在比較中選擇，從而成為一個(gè)“會想”的人。數(shù)學(xué)不單單是“會做”，還要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中感受到喜悅。

總之，對不同教材的習(xí)題進(jìn)行比較，博采眾長，可以便于教師更好地整合教材資源，服務(wù)于教學(xué)設(shè)計(jì)。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳永明名師工作室.數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)研究[M].上海：上海教育出版社，2010.

[2]人民教育出版社.義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)教師教學(xué)用書（四年級下冊）[M].北京：人民教育出版社，2014.

[3]張?zhí)煨?義務(wù)教育小學(xué)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)教學(xué)參考書（四年級下冊）[M].杭州：浙江教育出版社，2012.

[4]南京東方數(shù)學(xué)教育科學(xué)研究所.義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)教師教學(xué)用書（四年級下冊）[M]. 南京：江蘇鳳凰教育出版社，2014.

（浙江省臺州市白云小學(xué) 318001）