基于融合概率盒的指標(biāo)靈敏度分析方法

任東磊 王清心 丁家滿(mǎn)

摘要：傳統(tǒng)靈敏度分析方法大多忽略了指標(biāo)不確定性問(wèn)題，難以反映指標(biāo)不確定性對(duì)評(píng)估結(jié)果的影響程度，導(dǎo)致關(guān)鍵指標(biāo)辨識(shí)困難。為此，在不精確概率的數(shù)學(xué)性質(zhì)基礎(chǔ)上，提出基于融合概率盒的不確定性指標(biāo)靈敏度分析方法。首先針對(duì)指標(biāo)數(shù)據(jù)的分布特點(diǎn)采用不同方法建立指標(biāo)概率盒模型，然后進(jìn)行指標(biāo)概率盒兩兩交叉融合運(yùn)算，獲得每次融合后的概率盒模型，最后通過(guò)計(jì)算融合后概率盒模型積分面積變化分析指標(biāo)的靈敏度。與傳統(tǒng)方法比較，結(jié)果表明該方法不僅能有效辨識(shí)出關(guān)鍵指標(biāo)，而且給出的靈敏度排序結(jié)果與傳統(tǒng)方法相比具有更高的區(qū)分度。

關(guān)鍵詞：概率盒；不確定性指標(biāo)；融合；靈敏度分析

DOI：10.11907/rjdk.173051

中圖分類(lèi)號(hào)：TP301

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1672-7800（2018）007-0070-05

Abstract：Thetraditionalsensitivityanalysismethodmostlyignoretheuncertaintyoftheindex，anditisdifficulttoreflecttheinfluenceofuncertaintyonassessmentresults.Onthebasisofthemathematicalpropertieswithimpreciseprobability，thispaperputsforwardasensitivityanalysismethodbasedonfusedprobabilitybox.Firstly，accordingtothedistributioncharacteristicsofindexdatatheprobabilityboxmodelisestablishedbycorrespondingmodelingmethods，andtheneachtwoprobabilityboxesarefused，thuswecangetfusedprobabilityboxmodel；finally，thesensitivityoftheindexisanalyzedbytheratioofareaintegralbetweenthefusedprobabilityboxes.Theanalysisresultshowsthattheproposedmethodcannotonlyhavemoreeffectiveidentificationofthekeyindicatorsthantraditionalmethods，butalsocanobtainthesensitivityresultswithhigherdifferentiation.

KeyWords：probabilitybox；uncertainindex；fusion；sensitivityanalysis

0引言

為防止規(guī)劃決策過(guò)程出現(xiàn)偏差，決策者不僅要對(duì)關(guān)鍵指標(biāo)進(jìn)行識(shí)別，并且要在眾多指標(biāo)中進(jìn)行篩選，過(guò)濾出對(duì)方案影響小的指標(biāo)以及分析各指標(biāo)影響程度。因此，研究規(guī)劃方案中指標(biāo)的靈敏度尤為重要[1]。

靈敏度分析[2]指在一個(gè)數(shù)學(xué)模型中根據(jù)輸入變量的變化觀測(cè)輸出變量的變化，確定靈敏度大小的方法。在指標(biāo)權(quán)重賦值、設(shè)計(jì)可靠性和方案決策中，不確定指標(biāo)數(shù)據(jù)的正確表達(dá)是靈敏度分析的關(guān)鍵環(huán)節(jié)[3]。靈敏度分析有許多經(jīng)典方法，如非參數(shù)法[4]、方差分析法[5]以及矩獨(dú)立分析法[6]。其中對(duì)指標(biāo)不確定性描述和表達(dá)，尤其對(duì)隨機(jī)不確定性表達(dá)方面，均值、方差較為常用，相當(dāng)于用不確定指標(biāo)數(shù)據(jù)的一個(gè)特征值描述不確定信息。在指標(biāo)確定的情況下，可采用直接求導(dǎo)法對(duì)靈敏度進(jìn)行計(jì)算；在指標(biāo)不確定且變量分布有規(guī)律的情況下，常用方差分析法等進(jìn)行靈敏度分析。

事實(shí)上許多不確定變量沒(méi)有準(zhǔn)確的規(guī)律可循，即便大體符合某種分布也存在漂移現(xiàn)象，比如某個(gè)指標(biāo)基本符合正態(tài)分布，但其均值和方差不是固定值，而是區(qū)間。在決策分析中隨機(jī)不確定性與認(rèn)知不確定性往往同時(shí)存在。因此，如何正確表達(dá)指標(biāo)數(shù)據(jù)的不確定性成為靈敏度分析的重中之重。

在證據(jù)理論基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)的概率盒理論[7]，能較好地統(tǒng)一表達(dá)隨機(jī)不確定性和認(rèn)知不確定性[8]，從其數(shù)學(xué)定義來(lái)看，概率盒用于表達(dá)不確定性變量漂移現(xiàn)象更為擅長(zhǎng)，得到了廣泛應(yīng)用[9-10]。例如文獻(xiàn)[11]使用概率盒解決多項(xiàng)式系統(tǒng)的可靠性問(wèn)題，文獻(xiàn)[12]將其用于處理工程分析中的不精確概率問(wèn)題。本文提出基于融合概率盒的靈敏度分析方法，通過(guò)概率盒表達(dá)這些不確定指標(biāo)。首先對(duì)指標(biāo)進(jìn)行概率盒建模，然后進(jìn)行指標(biāo)概率盒兩兩交叉融合運(yùn)算，得到新的融合概率盒模型，最后根據(jù)融合概率盒兩兩之間的面積積分比值分析指標(biāo)的靈敏度。

1概率盒及相關(guān)理論

1.1概率盒

概率盒由美國(guó)桑迪亞國(guó)家實(shí)驗(yàn)室（SandiaNationalLaboratory）提出，在累積概率分布函數(shù)（CumulativeProbabilityDistributionFunction，簡(jiǎn)稱(chēng)CDF）中引入?yún)^(qū)間類(lèi)型界限，這種界限稱(chēng)之為“概率盒”，它既可表達(dá)隨機(jī)不確定性，也可表達(dá)認(rèn)知不確定性。

定義一個(gè)隨機(jī)變量X屬于集合（Ω，A），同樣A為Ω的子集。因?yàn)槔鄯e分布函數(shù)是非遞減函數(shù)，并且累積分布函數(shù)F（x）值域?yàn)镽[0，1]，累積分布函數(shù)F（x）界定在（F-（x），F(xiàn)-（x））之間，這種表示方法稱(chēng)之為概率盒或概率包絡(luò)（P-box）。F-（x）稱(chēng)為F（x）的下邊界，F(xiàn)-（x）稱(chēng)為F（x）的上邊界。概率盒如圖1所示。

概率盒可這樣理解：不管或者不必知道概率符合的分布是什么，規(guī)定一個(gè)上邊界和下邊界，要求累積分布處于這個(gè)范圍，這個(gè)范圍即稱(chēng)為概率盒。這種分析通過(guò)對(duì)不確定性分布函數(shù)周?chē)M(jìn)行邊界劃分，保證產(chǎn)生的界限完全處于累積分布函數(shù)之間。

1.2D-S結(jié)構(gòu)體

同理，從圖2可知概率盒可轉(zhuǎn)化為多個(gè)D-S結(jié)構(gòu)體，這個(gè)過(guò)程稱(chēng)之為概率盒的離散化。

2基于融合概率盒的指標(biāo)靈敏度分析方法

2.1概率盒建模算法

將所知的經(jīng)驗(yàn)信息和理論信息表現(xiàn)在概率盒并對(duì)概率盒建模的方法很多，專(zhuān)家估計(jì)法可根據(jù)已經(jīng)掌握的分布或?qū)＜业慕?jīng)驗(yàn)得到某一不確定變量的概率分布，進(jìn)而得到概率盒的上下界，是一種最常用的方法，也是最容易得到輸入模型的方法。所以，當(dāng)不確定信息足夠時(shí)，該概率盒會(huì)退化為累積概率分布函數(shù)。多數(shù)情況下由于所知局限，一個(gè)分布的參數(shù)是不確定的，只能由經(jīng)驗(yàn)估算出一個(gè)大致區(qū)間，此時(shí)可直接計(jì)算出概率盒的上下界。例如，對(duì)于一個(gè)不確定變量A服從正太分布，其均值μ∈[0，1]，方差σ∈[2，3]，就可知道概率盒的左上邊界是以0為均值，2為方差的累積概率分布函數(shù)。同理，概率盒的左下邊界是均值為0方差為3的累積概率分布函數(shù)，右下邊界是均值為1方差為2的累積概率分布函數(shù)，右上邊界是均值為1方差為3的累積概率分布函數(shù)，如圖3所示。

概率盒建模方法還有參數(shù)建模、魯棒貝葉斯、測(cè)量觀測(cè)法等等。

概率盒建模算法步驟：

（1）獲取指標(biāo)的歷史數(shù)據(jù)，采集數(shù)據(jù)特征進(jìn)行不確定數(shù)據(jù)概率盒建模分類(lèi)。①如果數(shù)據(jù)符合某種分布，可直接選取其密度函數(shù)或概率分布函數(shù)作為模型；②如果數(shù)據(jù)符合某種分布，但其分布參數(shù)在某個(gè)區(qū)間波動(dòng)，則選擇參數(shù)建模法。首先將數(shù)據(jù)分為n組，根據(jù)每組的最大值、最小值以及隨機(jī)不確定性的概率均值累計(jì)分布性質(zhì)，分別以最大值、最小值作為積分的上下界，累積出每組的概率上界和概率下界，最后選取所有組中概率下界最小的概率作為概率盒下界，選取所有組中概率上界最大的作為概率盒上界；③如果數(shù)據(jù)不符合以上情況，可直接使用概率盒的定義建模。

（2）進(jìn)行分布累積，得到概率盒上下界。

（3）根據(jù)累積分布后的函數(shù)畫(huà)出概率盒示意圖。

2.2概率盒融合

2.2.1交集融合

交集融合是利用最小區(qū)域作為融合結(jié)果，該區(qū)域的所有估計(jì)是一致且高度可信的。

對(duì)于任意x都有F-*（x）≤F-*（x）。使用交集對(duì)概率盒進(jìn)行融合，實(shí)質(zhì)就是取各概率盒的下界最大值和上界最小值。使用交集融合的條件是所有信息源必須包含真實(shí)值，但是交集融合的容錯(cuò)性差，一旦信息源出現(xiàn)奇異源將可能得到空集。

交集融合的一般步驟是：先將所有信息源構(gòu)建為概率盒，然后等信度離散成相同的份數(shù)，利用上述交集公式對(duì)每一份等信度概率盒進(jìn)行融合，最后累積即可得到融合結(jié)果。

2.2.2包絡(luò)融合

包絡(luò)融合實(shí)質(zhì)就是并集融合，取概率盒的下界最小值和上界最大值，和交集融合相反。包絡(luò)法適用于信息源可靠性未知的情況。

使用包絡(luò)法融合概率分布、概率盒或D-S結(jié)構(gòu)體得到的結(jié)果仍是概率盒，包絡(luò)法是最開(kāi)放的融合方法，但是其融合結(jié)果的精確度也最差，一旦奇異源出現(xiàn)，決策的精度就會(huì)大打折扣。

2.2.3D-S規(guī)則融合

證據(jù)理論以焦元為基本計(jì)算單位，所以必須將概率盒離散為焦元的形式?；贒-S合成規(guī)則的概率盒融合算法主要運(yùn)用證據(jù)理論中的D-S合成規(guī)則計(jì)算離散后的證據(jù)結(jié)構(gòu)體，最終累積后得到融合結(jié)果，利用的便是概率盒與D-S結(jié)構(gòu)體之間的關(guān)系。其步驟為：先將概率盒正則離散成D-S結(jié)構(gòu)體，將每一份等信度的D-S結(jié)構(gòu)體運(yùn)用證據(jù)合成規(guī)則進(jìn)行融合，然后依據(jù)得到的結(jié)構(gòu)體累積即可得到融合的概率盒。

3基于融合概率盒的指標(biāo)靈敏度分析算法

概率盒的概率邊界不是傳統(tǒng)的近似值或一個(gè)估計(jì)區(qū)間，所以數(shù)據(jù)的隨機(jī)不確定性和認(rèn)知不確定性描述會(huì)更加完整。可以全面考慮不確定數(shù)據(jù)的性質(zhì)，例如分布參數(shù)的不確定性、分布形狀、間隔依賴(lài)。因此，概率盒可根據(jù)不確定數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)單特征構(gòu)建出概率界限帶入相關(guān)分析中，這比傳統(tǒng)的計(jì)算方法全面。下例簡(jiǎn)單展示了本文方法思想。

首先搜集整理歷史數(shù)據(jù)，對(duì)其建模如圖4、圖5、圖6所示。

然后對(duì)3個(gè)指標(biāo)分別融合，得到融合概率盒模型如圖7、圖8、圖9、圖10所示。

最后，將指標(biāo)兩兩所得的概率盒面積和所有指標(biāo)融合后的概率盒面積按式（14）進(jìn)行比較分析：

式（14）中，sx代表指標(biāo)X的靈敏程度，sxy代表指標(biāo)XY融合得到的概率盒面積，sxyz代表3個(gè)指標(biāo)融合得到的概率盒面積，以此類(lèi)推。

分析上式，可以看出X的靈敏程度約為59%，Z的靈敏程度約為22%，Y的靈敏程度約為18%。得X、Y、Z的靈敏度序列為X>Z>Y。

依據(jù)靈敏度排序結(jié)果區(qū)分度定義：

進(jìn)一步計(jì)算指標(biāo)X的靈敏度與Y的區(qū)分度為（0.5852-0.1813）/0.18×100%=40.39%，Y的靈敏度與Z的區(qū)分度為21.4%

基于融合概率盒的指標(biāo)靈敏度分析算法步驟如下：

（1）對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)，分析歷史數(shù)據(jù)是否有某種規(guī)律。

（2）根據(jù)步驟（1）的結(jié)果選擇相應(yīng)的概率盒建模方法對(duì)指標(biāo)建模：①如果數(shù)據(jù)符合某種分布，可直接選取其密度函數(shù)或概率分布函數(shù)作為模型；②如果數(shù)據(jù)符合某種分布，但其分布參數(shù)在某個(gè)區(qū)間波動(dòng)，選擇參數(shù)建模法；③如果數(shù)據(jù)不符合以上情況，可直接使用概率盒定義建模。

（3）重復(fù)步驟（1）、步驟（2）對(duì)所有指標(biāo)進(jìn)行概率盒建模。

（4）根據(jù)融合算法兩兩融合這些指標(biāo)概率盒得到新的融合概率盒。

（5）求取所有融合概率盒的面積積分。

（6）分析兩者之間的面積積分比值，獲得指標(biāo)靈敏度序列或指標(biāo)對(duì)應(yīng)的靈敏程度。

（7）依據(jù)靈敏度排序結(jié)果區(qū)分度定義公式，進(jìn)一步計(jì)算各指標(biāo)靈敏程度的排序區(qū)分度。

4實(shí)驗(yàn)與分析

為更清楚地理解本文方法及應(yīng)用，選用電網(wǎng)規(guī)劃方案中某支路節(jié)點(diǎn)傳輸功率靈敏度作為示例進(jìn)行分析，公式如下：

xij為支路l的電抗，θi為節(jié)點(diǎn)i的電壓相角，θj為節(jié)點(diǎn)j的電壓相角。分別對(duì)3個(gè)技術(shù)指標(biāo)做靈敏度分析，指標(biāo)數(shù)據(jù)來(lái)自IEEE-RTS支路參數(shù)部分，技術(shù)參數(shù)如表1所示。由于材料和溫度等周?chē)h(huán)境影響，各技術(shù)指標(biāo)不在參數(shù)規(guī)定的范圍內(nèi)變化，還有許多認(rèn)知不確定性，采用概率盒分析方法對(duì)3個(gè)指標(biāo)建模。

利用采集的數(shù)據(jù)，對(duì)指標(biāo)進(jìn)行概率盒建模如圖11、圖12所示。

對(duì)該指標(biāo)使用基于融合概率盒的靈敏度分析方法進(jìn)行分析，并與傳統(tǒng)分析方法對(duì)比，得到各指標(biāo)靈敏程度結(jié)果，如表2所示。

由表2可以看出，3種方法計(jì)算出的靈敏度排序基本相同：θj>θi>xij，均辨識(shí)出指標(biāo)θj最敏感，屬于關(guān)鍵指標(biāo)。

根據(jù)表2數(shù)據(jù)，求導(dǎo)法認(rèn)為指標(biāo)θi與xij一樣敏感，難以區(qū)別，而方差法和本文方法可以辨識(shí)出指標(biāo)θi明顯比xij敏感，更為關(guān)鍵。其中方差法和本文方法得出θi與xij的區(qū)分度分別為45%、55.5%，θj與θi的區(qū)分度分別為40.6%、50%。在相同數(shù)據(jù)集中本文方法計(jì)算出的靈敏度排序結(jié)果區(qū)分度較高，究其原因是本文方法在對(duì)指標(biāo)建模時(shí)，將所有不確定性都包含在概率盒中，在之后的每個(gè)計(jì)算步驟中，差異不斷放大，最終的排序結(jié)果差異也愈發(fā)明顯，區(qū)分度更高。由此可見(jiàn)，本文方法在采用傳統(tǒng)評(píng)價(jià)方法難以給出靈敏度排序的情況下更具實(shí)用性。

5結(jié)語(yǔ)

利用概率盒描述不確定指標(biāo)數(shù)據(jù)，充分描述了不確定數(shù)據(jù)的性質(zhì)，通過(guò)對(duì)不確定指標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行概率盒建模，以及基于融合概率盒的分析方法進(jìn)行靈敏度分析，可更精確地得出影響模型變化的指標(biāo)，發(fā)現(xiàn)指標(biāo)對(duì)模型的影響程度，提高了靈敏度分析精度指標(biāo)，有助于決策者分析各指標(biāo)的權(quán)重分布。本文方法側(cè)重點(diǎn)是對(duì)不確定指標(biāo)的靈敏度分析，可以應(yīng)用于結(jié)構(gòu)可靠性靈敏度分析，對(duì)某種結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行評(píng)估，還可對(duì)指標(biāo)相關(guān)性進(jìn)行研究。

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（責(zé)任編輯：杜能鋼）