借助數(shù)學(xué)表象 架起思維橋梁

顧玉華

摘 要：促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目標(biāo)。數(shù)學(xué)表象是促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的有效橋梁，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于借助直觀表象、經(jīng)驗(yàn)表象、操作表象幫助學(xué)生點(diǎn)燃數(shù)學(xué)思維、激活數(shù)學(xué)思維、推進(jìn)數(shù)學(xué)思維、深化數(shù)學(xué)思維。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)表象；數(shù)學(xué)思維；橋梁

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展是重要的教學(xué)目標(biāo)之一?，F(xiàn)在，一些教師在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，一般都會(huì)通過一定數(shù)量的直觀事物供學(xué)生觀察，并在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)。但是，學(xué)生在這種方式中并不能對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行透徹理解，也不能夠進(jìn)行高效化的思維。其實(shí)，在這個(gè)過程中，學(xué)生在感性認(rèn)識(shí)和概括知識(shí)之間，以及概括到應(yīng)用之間都沒有形成良好的過渡，主要的原因是沒有形成數(shù)學(xué)表象，所以在思維上就出現(xiàn)了斷層，導(dǎo)致無法進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)思考和抽象。人們?cè)谶M(jìn)行數(shù)學(xué)抽象思維時(shí)，都是以感性認(rèn)識(shí)為前提，通過表象進(jìn)行過渡，然后以自己的知識(shí)基礎(chǔ)和表達(dá)來完成。因此，教學(xué)中教師要豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)表象，為學(xué)生架起數(shù)學(xué)思維的橋梁。

一、借助直觀表象，點(diǎn)燃數(shù)學(xué)思維

利用直觀的事物來引起學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，能有效地引入新知的學(xué)習(xí)，假如不能從感性轉(zhuǎn)化為抽象思維，就無法抽象和概括出抽象的數(shù)學(xué)新知。為了讓學(xué)生能跳出具體的事物，把感性思維過渡到抽象思維上，就需要幫他們建立表象。不過表象來源于對(duì)事物的感知，只有強(qiáng)化對(duì)事物的認(rèn)知，才能建立起正確有效的表象，以升華學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，點(diǎn)燃他們的數(shù)學(xué)思維。

例如，在“認(rèn)識(shí)厘米”一課的教學(xué)中，教師就設(shè)計(jì)了如下三方面的感知內(nèi)容，以便學(xué)生對(duì)1厘米形成準(zhǔn)確的表象：（1）首先對(duì)1厘米進(jìn)行初步認(rèn)識(shí)，教師問：“你們知道尺子上多少表示1厘米嗎？”有學(xué)生就回答自己以前就知道尺子上0到1這一段就是1厘米，對(duì)此教師進(jìn)行了表揚(yáng)并讓學(xué)生利用手中的尺子感受一下1厘米的長度。（2）教師對(duì)1厘米的概念進(jìn)行總結(jié)，讓學(xué)生根據(jù)剛才的認(rèn)識(shí)在尺子上找出還有沒有其他的1厘米，以幫助學(xué)生理解尺子上兩個(gè)相鄰的數(shù)之間都表示1厘米的長度。（3）讓學(xué)生對(duì)1厘米有多長進(jìn)行比畫，先讓學(xué)生對(duì)前面觀察尺子上1厘米的長度進(jìn)行回想，然后自己把1厘米的長度比劃出來。

以上案例中，正是因?yàn)榻處熞龑?dǎo)學(xué)生在直觀表象的基礎(chǔ)進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，點(diǎn)燃了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，因此，學(xué)生能夠?qū)Α袄迕住边@一概念進(jìn)行深入把握，從而達(dá)到了高效的教學(xué)效果。

二、借助經(jīng)驗(yàn)表象，激活數(shù)學(xué)思維

由于兒童的思維主要是依靠直觀感性的認(rèn)識(shí)來形成的，所以在建立表象時(shí)需要依靠學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，以支撐其思維，保證思維的順暢性。而在實(shí)際教學(xué)時(shí)，學(xué)生常會(huì)因?yàn)闆]有及時(shí)喚醒腦海中與所學(xué)知識(shí)相關(guān)的表象，難以有效地對(duì)題目進(jìn)行解答。這就給教師傳達(dá)出這樣的信號(hào)：要讓學(xué)生在正確、豐富的感知中建立思維表象。教師應(yīng)為學(xué)生建立有效的第一印象，以便學(xué)生在感知的基礎(chǔ)上建立起數(shù)學(xué)表象，然后從中歸納、概括、抽象出數(shù)學(xué)概念以建立數(shù)學(xué)模型。一些經(jīng)驗(yàn)豐富的教師就會(huì)讓學(xué)生在對(duì)事物充分感知的基礎(chǔ)上，對(duì)所見的事物進(jìn)行冥想，通過隱去事物的方式在學(xué)生腦海中建立表象，以此激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

例如，一位教師在教學(xué)“長方體和正方體的認(rèn)識(shí)”一課時(shí)，圍繞如下環(huán)節(jié)展開。

“看”，為學(xué)生提供實(shí)物進(jìn)行觀察，如在講題和做題中給學(xué)生展示相應(yīng)的實(shí)物。

“拆”，引導(dǎo)學(xué)生沿長方體紙盒的棱進(jìn)行裁剪，并展開為一平面圖形，觀察是什么形狀，從而幫助學(xué)生建立起展開前后各面對(duì)應(yīng)的位置關(guān)系。

“做”，組織學(xué)生利用卡紙制作出底面是正方形的長方體、長寬高各不相同的長方體、長寬高均相等的長方體。

“畫”，引導(dǎo)學(xué)生先對(duì)桌上的長方體進(jìn)行觀察，看從一個(gè)角度能看到幾個(gè)面，然后邊觀察邊畫出其立體圖，同時(shí)繪制前面拆得的展開圖。在今后的習(xí)題中，要求學(xué)生畫出圖來進(jìn)行分析，從而使表象更加清晰。

以上教學(xué)片段中，教師在引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)表象時(shí)首先確保了表象的典型性，然后以學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，與學(xué)生相關(guān)的材料為感知對(duì)象，確保學(xué)生有基礎(chǔ)對(duì)新知進(jìn)行同化，推動(dòng)學(xué)生有效地構(gòu)建起概念表象，最后鼓勵(lì)學(xué)生調(diào)動(dòng)各個(gè)感官積極參與實(shí)踐活動(dòng)，以有效地構(gòu)建表象。學(xué)生在對(duì)事物進(jìn)行感知后，就能在腦海中留下深刻的心理表象，從而產(chǎn)生記憶。對(duì)于這些記憶中的表象，教師應(yīng)采取合理的方式來增加學(xué)生的記憶表象內(nèi)容，以便學(xué)生在后續(xù)的思維活動(dòng)中有更多的表象基礎(chǔ)。

三、借助操作表象，推進(jìn)數(shù)學(xué)思維

教師常常會(huì)組織學(xué)生進(jìn)行動(dòng)手實(shí)踐來學(xué)習(xí)，學(xué)生在實(shí)踐中雖然能有效地感知所學(xué)內(nèi)容，但很可能出現(xiàn)學(xué)生遇到問題時(shí)，缺少了操作環(huán)境的輔助，不知道該如何下手。究其根源就是因?yàn)閷W(xué)生沒有深刻地認(rèn)識(shí)到操作中所要研究的問題，沒有建立有效的表象。為此，就必須通過教師的適當(dāng)引導(dǎo)來讓學(xué)生再次加工腦海中形成的表象，以此推進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

例如，在教學(xué)“平行四邊形的認(rèn)識(shí)”這一課時(shí)，一些教師一般都會(huì)把平行四邊形和長方形進(jìn)行聯(lián)系，而學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)往往不能準(zhǔn)確地表達(dá)有關(guān)概念。為此，需要利用學(xué)生建立的表象來對(duì)學(xué)生對(duì)問題的認(rèn)識(shí)進(jìn)行深化。一位教師在教學(xué)中，出示了一張方格圖，并在其上繪制了一個(gè)平行四邊形，然后鼓勵(lì)學(xué)生以想象的方式來對(duì)這個(gè)平行四邊形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，形成一個(gè)長方形，以搭建起平行四邊形和長方形之間的有效鏈接。在這個(gè)基礎(chǔ)上，教師又拿出一張畫有平行四邊形的不帶方格的圖，學(xué)生就會(huì)在已經(jīng)形成的表象的幫助下，建立起平行四邊形的底、高和長方形的長、寬之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

以上教學(xué)中，教師通過讓學(xué)生從實(shí)物轉(zhuǎn)化的角度來建立表象，并要求學(xué)生對(duì)所學(xué)對(duì)象進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)。這樣就能把操作和思維活動(dòng)結(jié)合在一起，共同為思維的深化發(fā)揮重要作用。

四、借助問題表象，深化數(shù)學(xué)思維

雖然教師幫助學(xué)生積累起豐富的表象資源，但很多學(xué)生不能從積累的表象中及時(shí)提取出與問題相關(guān)的表象，常常會(huì)出現(xiàn)不知所措的現(xiàn)象。對(duì)于這樣的情況，教師應(yīng)推動(dòng)學(xué)生對(duì)自身的表象認(rèn)知進(jìn)行激活，要借助問題表象把抽象的符號(hào)和模型等表象內(nèi)容轉(zhuǎn)化為直觀的形象，以此深化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

例如，學(xué)生對(duì)周長和面積的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)以后，基本上都能熟練地掌握不同圖形的周長和面積計(jì)算公式，但卻不能把所掌握的公式準(zhǔn)確無誤地用于題目的求解中。因?yàn)閷W(xué)生所遇到的題目，基本上都是與生活相關(guān)的，并沒有直接在問題中提到要求解其周長或面積，對(duì)于這一情況，就要讓學(xué)生對(duì)已有的周長和面積的表象進(jìn)行回顧。有這樣一個(gè)實(shí)際問題：“有一張邊長為80厘米的方桌，要做一塊與桌面大小相同的玻璃放在上面，那么需要多大的玻璃？如果還要用不銹鋼邊框來給玻璃鑲邊，那么不銹鋼條應(yīng)準(zhǔn)備多長？”學(xué)生在讀完這道題后，很多人都不能把“玻璃大小”轉(zhuǎn)化為“桌面面積”，也不能把“不銹鋼條的長度”轉(zhuǎn)化為“桌面周長”。為此就需要教師激發(fā)學(xué)生想象，引導(dǎo)學(xué)生：“玻璃的大小指的是什么，它的邊又指哪兒，在腦海里想象這塊玻璃，并試著用手去摸摸看。”于是學(xué)生就能通過想象對(duì)周長和面積進(jìn)行回顧，激活學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)中建立的表象，從而理解問題里所說的“玻璃大小”就是其面積，直接用“邊長×邊長”求出，“不銹鋼條的長度”就指玻璃四條邊的長度和，用“邊長×4”進(jìn)行計(jì)算。

以上案例中，雖然學(xué)生能牢固地掌握相關(guān)周長和面積的計(jì)算公式和表象，但遇到與生活相關(guān)的實(shí)際問題，卻不能把建立起的抽象模型有效地應(yīng)用到解題中。通過教師的點(diǎn)撥，學(xué)生才喚醒了已有的周長和面積的表象，進(jìn)而在感性和抽象思維之間自由地穿梭，有效掌握所學(xué)知識(shí)。

總之，通過對(duì)形成的感覺和知覺進(jìn)行處理，就能形成表象，從而搭建起感性思維與理性思維之間的橋梁。所以，教師應(yīng)積極地把表象應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生能順利地實(shí)現(xiàn)直觀形象到抽象概括的轉(zhuǎn)化，以提高思維能力，實(shí)現(xiàn)高效學(xué)習(xí)。