復(fù)變函數(shù)中孤立奇點(diǎn)的判別

苗保山 張文英 解妮 童小紅

摘要：先給出復(fù)變函數(shù)的零點(diǎn)及階數(shù)，再根據(jù)零點(diǎn)和孤立奇點(diǎn)的關(guān)系，給出判斷孤立奇點(diǎn)類型的方法.

關(guān)鍵詞：零點(diǎn)；階數(shù)；孤立奇點(diǎn)

中圖分類號(hào)：O174.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2018）39-0203-02

一、引言

在復(fù)變函數(shù)[1]中，把孤立奇點(diǎn)分成三種類型：可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)和本性奇點(diǎn).教材中給出了兩種判別孤立奇點(diǎn)類型的方法，一種是在奇點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)將函數(shù)展開成羅倫階數(shù)，根據(jù)負(fù)冪項(xiàng)的有無及多少來判斷，但是要將有些函數(shù)展開成羅倫階數(shù)比較困難；另外一種是對(duì)函數(shù)求極限，根據(jù)極限值來判斷，此種方法可以求出孤立奇點(diǎn)是函數(shù)的哪一類奇點(diǎn)，但若是函數(shù)的極點(diǎn)，卻不能判斷出極點(diǎn)的階數(shù).

一些文章[2-6]也給出了求孤立奇點(diǎn)類型的方法.本文先求出函數(shù)分母的零點(diǎn)，再根據(jù)零點(diǎn)和孤立奇點(diǎn)的關(guān)系，最后給出判斷復(fù)變函數(shù)孤立奇點(diǎn)類型的方法.

二、函數(shù)的零點(diǎn)

（一）沒有因子表達(dá)式的零點(diǎn)

1.定義：若不恒等于零的函數(shù)f（z）可表示成f（z）=（z-z ） φ（z），其中函數(shù)φ（z）在z 解析，且φ（z ）≠0（m≥1）且為正整數(shù)，那么z 稱為函數(shù)f（z）的m階零點(diǎn).

例1：求函數(shù)z -z -z+1的零點(diǎn)及階數(shù).

因?yàn)閦 -z -z+1=（z-1） （z+1），所以z=1是2階零點(diǎn)；z=-1是1階零點(diǎn).

例2：證明z=0是函數(shù)z-sinz的3階零點(diǎn).

證明：將sinz在0點(diǎn)展開成泰勒級(jí)數(shù)，然后得

z-sinz=z-z- z + z - z +……=z

- z + z +……

而 - z + z +……在0解析，且在0點(diǎn)的值不等于0，

∴0是函數(shù)z-sinz的3階零點(diǎn).

若函數(shù)f（z）不易表示成（z-z ） φ（z）的形式，則可用定理1[1]判定.

2.定理1：若函數(shù)f（z）在z 解析，則z 是函數(shù)f（z）的m（m≥1）階零點(diǎn)的充要條件：f （z ）=0，n=0，1，2，…，m-1，f （z ）≠0.

（二）函數(shù)f（z）=P（z）·Q（z）的零點(diǎn)

推論：若函數(shù)f（z）=P（z）·Q（z），且z 是函數(shù)P（z）的m（m≥1）階零點(diǎn)，也是函數(shù)Q（z）的n（n≥0）階零點(diǎn)，則

z 是函數(shù)f（z）=P（z）·Q（z）的m+n階零點(diǎn).

根據(jù)定義、定理及推論，并結(jié)合泰勒展式，得到函數(shù)f（z）的零點(diǎn)及其階數(shù).

三、函數(shù)f（z）= 的奇點(diǎn)

函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)有下面的關(guān)系：

定理2[1]：如果z 是函數(shù)f（z）的m階極點(diǎn)，那么z 就是函數(shù) 的m階零點(diǎn).反之亦然.

根據(jù)定理2，可得到如下推論：

推論2：若函數(shù)f（z）= ，點(diǎn)z 是函數(shù)h（z）的

m（m≥1）階零點(diǎn)，也是函數(shù)g（z）的n（n≥0）階零點(diǎn)，

則：（1）當(dāng)n≥m時(shí)，點(diǎn)z 為函數(shù)f（z）的可去奇點(diǎn)；

（2）當(dāng)n

證：∵點(diǎn)z 是函數(shù)h（z）的m（m≥1）階零點(diǎn)，

∴h（z）=（z-z ） φ（z），其中函數(shù)φ（z）在z 點(diǎn)解析，且φ（z ）≠0；

又∵點(diǎn)z 是函數(shù)g（z）的n（n≥0）階零點(diǎn)，

∴g（z）=（z-z ） ？準(zhǔn)（z），其中函數(shù)？準(zhǔn)（z）在z 點(diǎn)解析，且？準(zhǔn)（z ）≠0.

∴f（z）= =（z-z ） ，其中函數(shù) 在z 點(diǎn)解析，且 ≠0，

∴（1）當(dāng)n≥m時(shí)，函數(shù)f（z）在點(diǎn)z 的去心鄰域的洛朗展開式中沒有（z-z ）的負(fù)冪項(xiàng)，故點(diǎn)z 為函數(shù)f（z）的可去奇點(diǎn).

（2）當(dāng)n

例3：求下列函數(shù)的孤立奇點(diǎn)及其類型，如果是極點(diǎn)，并求出極點(diǎn)的階數(shù).

（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） .

解：（1）0是分母z的1階零點(diǎn)，是分子sinz的1階零點(diǎn)，所以0是函數(shù) 的可去奇點(diǎn).

由 =1- z + z -……，0

（2）0是分母z的1階零點(diǎn)，是分子sinz 的3階零點(diǎn)，所以0是函數(shù) 的可去奇點(diǎn).

由 =z - z + z -……，0

（3）0是分母z 的3階零點(diǎn)，是分子sinz的1階零點(diǎn)，所以0是函數(shù) 的2階極點(diǎn).

由 =z - + z -……，0<|z-0|<+∞可得出相同的結(jié)論.

（4）分母中，z=i（1+2k），k=0，±1，±2，……是因式1+e 的1階零點(diǎn)，且當(dāng)k=0，-1時(shí)對(duì)應(yīng)的±i也是因式1+z 的1階零點(diǎn)，所以±i是分母（1+e ）（1+z ）的2階零點(diǎn)；z=i（1+2k），k=0，±1，±2，……是分子的0階零點(diǎn).所以±i是函數(shù) 的2階極點(diǎn)，而z=i（1+2k），k=1，±2，……是函數(shù) 的1階極點(diǎn).

（5）因?yàn)閦=0，±1，±2，……是分母（sin（πz）） 的3階零點(diǎn)；又因?yàn)閦=0是分子z（z-1） 的1階零點(diǎn)，z=1是分子z（z-1） 的2階零點(diǎn).所以z=0是函數(shù) 的2階極點(diǎn)，z=1是 的2階極點(diǎn)，z=-1，±2，……是函數(shù) 的3階極點(diǎn).

本文所給方法與文章[2-6]所給方法略有不同， 該方法是先得到函數(shù)分母的零點(diǎn)及其階數(shù)，再判斷該零點(diǎn)是函數(shù)分子的幾階零點(diǎn)，從而得到函數(shù)孤立奇點(diǎn)的類型，有助于計(jì)算復(fù)變函數(shù)沿封閉曲線的積分. 參考文獻(xiàn)：

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