數(shù)學(xué)建模對(duì)高等數(shù)學(xué)教學(xué)的影響

劉小瓊　楊國(guó)英

摘要：為了提高中外合作辦學(xué)中高等數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量，我們結(jié)合學(xué)院多位優(yōu)秀教師的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想的引入對(duì)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量有很大的促進(jìn)作用，因此將數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程是可行的。

關(guān)鍵詞：合作辦學(xué)；高等數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.0；G712 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2018）29-0184-02

一、引言

《高等數(shù)學(xué)》是所有高等院校最重要最基礎(chǔ)的課程之一，內(nèi)容多，課時(shí)長(zhǎng)，是理工科學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)專(zhuān)業(yè)課程的理論和基礎(chǔ)。為了滿(mǎn)足社會(huì)主義市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)對(duì)應(yīng)用型人才的需求，我們學(xué)校和國(guó)外高校加強(qiáng)合作，以中外合作辦學(xué)的形式在機(jī)械設(shè)計(jì)、電氣自動(dòng)化、計(jì)算機(jī)技術(shù)等專(zhuān)業(yè)方向?qū)W(xué)生展開(kāi)了聯(lián)合培養(yǎng)，目的是培養(yǎng)出基礎(chǔ)扎實(shí)、知識(shí)面寬、動(dòng)手和應(yīng)用能力強(qiáng)，能夠從事各領(lǐng)域內(nèi)的設(shè)計(jì)制造、科技開(kāi)發(fā)、應(yīng)用研究、技術(shù)管理等方面工作的創(chuàng)新性復(fù)合型高級(jí)專(zhuān)門(mén)人才。而中外合作辦學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生要學(xué)習(xí)大量的外語(yǔ)課程，花在高等數(shù)學(xué)上的時(shí)間就會(huì)減少，若我們老師還是一如既往地堅(jiān)持傳統(tǒng)的教學(xué)方法，學(xué)生會(huì)感到枯燥無(wú)味，難以體會(huì)到數(shù)學(xué)的高度的抽象之美，也就無(wú)法理解數(shù)學(xué)在其專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域解決實(shí)際問(wèn)題的作用。如何解決這一問(wèn)題已是迫在眉睫的事，除了在教材的選取及內(nèi)容的取舍方面做適當(dāng)?shù)恼{(diào)整外，我們需要找到一條新的教學(xué)路徑，使學(xué)生能夠認(rèn)識(shí)到高等數(shù)學(xué)的廣泛的應(yīng)用性，充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

隨著社會(huì)的發(fā)展及計(jì)算機(jī)技術(shù)的日新月異，數(shù)學(xué)的應(yīng)用不僅在工程技術(shù)及自然科學(xué)領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用，而且也正以飛一般的速度滲透到如醫(yī)學(xué)、環(huán)境、人口、交通、經(jīng)濟(jì)等新的領(lǐng)域，數(shù)學(xué)建模活動(dòng)正是在這種大環(huán)境下應(yīng)運(yùn)而生的。數(shù)學(xué)建模活動(dòng)于1985年在美國(guó)開(kāi)始，我國(guó)大學(xué)生參加該項(xiàng)活動(dòng)始于1989年，隨后，越來(lái)越多的院校和學(xué)生加入了該活動(dòng)?？梢哉f(shuō)，數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)是在美國(guó)誕生，在中國(guó)開(kāi)花結(jié)果的。

近些年來(lái)，我們學(xué)校也對(duì)全校學(xué)生開(kāi)設(shè)了數(shù)學(xué)模型這門(mén)課，并在學(xué)生掌握了一定的知識(shí)量之后鼓勵(lì)和引導(dǎo)學(xué)生積極參加河南省及全國(guó)乃至國(guó)際數(shù)學(xué)建模比賽，并取得了不菲的成績(jī)，僅2015-2016年就獲得全國(guó)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽一等獎(jiǎng)二十多項(xiàng)，國(guó)際數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽獎(jiǎng)項(xiàng)一等獎(jiǎng)也有數(shù)十項(xiàng)之多。數(shù)學(xué)建模的成功給我們帶來(lái)了一定的啟示，能否通過(guò)數(shù)學(xué)建模實(shí)際案例的分析來(lái)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性呢？

二、數(shù)學(xué)建模的思想與方法引入高等數(shù)學(xué)課堂的可行性和實(shí)際意義

數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和方法通過(guò)抽象簡(jiǎn)化能近似刻畫(huà)并解決實(shí)際問(wèn)題的一種強(qiáng)有力的教學(xué)手段，它或許能夠解釋某些客觀現(xiàn)象，或許能夠預(yù)測(cè)未來(lái)的發(fā)展。舉辦數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的目的在于激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的綜合能力，鼓勵(lì)在校大學(xué)生踴躍參加課外科技活動(dòng)，開(kāi)拓知識(shí)面，培養(yǎng)創(chuàng)造精神及合作意識(shí)，推動(dòng)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)體系、教學(xué)內(nèi)容和方法的改革。通過(guò)教學(xué)過(guò)程中對(duì)具體的數(shù)學(xué)模型案例的分析，使學(xué)生更容易意識(shí)到數(shù)學(xué)工具在實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用。參加過(guò)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的學(xué)生在賽后也表示，通過(guò)參加此項(xiàng)賽事活動(dòng)，他們的自主學(xué)習(xí)能力得到了明顯的提高，分析問(wèn)題也更加全面嚴(yán)謹(jǐn)，和同學(xué)們及老師之間的合作交流也更加密切，為他們以后步入社會(huì)打下了良好的基礎(chǔ)。因此將數(shù)學(xué)建模引入高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程是切實(shí)可行的。

數(shù)學(xué)對(duì)社會(huì)的貢獻(xiàn)是培養(yǎng)出能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方法解決實(shí)際問(wèn)題的人才。由于問(wèn)題本身并沒(méi)有設(shè)置所謂的標(biāo)準(zhǔn)答案，因此學(xué)生在分析問(wèn)題時(shí)就可以盡可能地發(fā)揮自身的聰明才智和無(wú)限的創(chuàng)新思維，通過(guò)圖書(shū)館、網(wǎng)絡(luò)等多種資源對(duì)問(wèn)題進(jìn)行調(diào)查取證，分析問(wèn)題，建立模型，解決問(wèn)題。既然數(shù)學(xué)建模能帶來(lái)這么多的正效應(yīng)，我們就可以在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)課堂上適當(dāng)引入與所講知識(shí)相關(guān)的數(shù)學(xué)模型案例，一能增強(qiáng)高等數(shù)學(xué)課堂的趣味性，二能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，三能引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)相關(guān)的數(shù)學(xué)軟件，四能提高學(xué)生的綜合能力。

三、數(shù)學(xué)建模思想引入教學(xué)的具體實(shí)例分析

實(shí)例1 極限思想的引入

極限是我們研究《高等數(shù)學(xué)》的工具，很多如導(dǎo)數(shù)、定積分、面積分、線積分等基本概念都是由極限給出的。所以對(duì)極限定義的理解直接影響到對(duì)后續(xù)內(nèi)容尤其是對(duì)基本定義的理解和掌握。

如我們?cè)谥v解重要極限2的過(guò)程中，就可以引入銀行存款中的連續(xù)復(fù)利模型，設(shè)本金為p ，計(jì)息期（1年）的利率為r，t是計(jì)息期數(shù)，如果每期結(jié)算m次，則第t個(gè)計(jì)息期滿(mǎn)后的本利和p 為p =p 1+ ，如果結(jié)算的次數(shù)m越來(lái)越多，且趨于無(wú)窮，則意味著每個(gè)瞬時(shí)立即存入立即結(jié)算，這樣的復(fù)利稱(chēng)為連續(xù)復(fù)利，這就歸結(jié)為下面的極限：

這是連續(xù)復(fù)利的數(shù)學(xué)模型，引申到自然現(xiàn)象中，例如細(xì)菌的繁殖、生物的生長(zhǎng)、放射性物質(zhì)的衰減等，都是屬于連續(xù)復(fù)利問(wèn)題。即利用重要極限是可以解決一大類(lèi)問(wèn)題的，學(xué)生在了解極限的廣泛應(yīng)用之后會(huì)對(duì)之產(chǎn)生興趣，進(jìn)而會(huì)更深入地學(xué)習(xí)函數(shù)的極限。

實(shí)例2 用微分方程解決實(shí)際問(wèn)題

在微分方程的教學(xué)過(guò)程中，當(dāng)研究對(duì)象是與時(shí)間相關(guān)且具有動(dòng)態(tài)變化的特征時(shí)，就可以采用建立微分方程模型的方法來(lái)解決。如我們?cè)谥v解可分離變量的微分方程時(shí)，就可以引入物理學(xué)中放射性元素鈾的衰變規(guī)律，由于鈾的衰變速度 與其含量M成正比，故可得微分方程

其中λ是衰變系數(shù)，從而求得鈾的衰變規(guī)律為

其中M 是t=0時(shí)鈾的含量。

另外物理學(xué)中電流強(qiáng)度隨時(shí)間變化的規(guī)律、質(zhì)點(diǎn)在阻力作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律、無(wú)阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律等，這些都可以利用不同種類(lèi)的微分方程去推導(dǎo)，學(xué)生在解方程的同時(shí)亦可以了解物理學(xué)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用背景，提高學(xué)習(xí)積極性，對(duì)微分方程理論知識(shí)的掌握也會(huì)逐步加強(qiáng)，為他們以后學(xué)習(xí)好大學(xué)物理打下良好的基礎(chǔ)。

實(shí)例3 用MATLAB求解實(shí)際問(wèn)題

傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)求解需要依靠復(fù)雜繁瑣的計(jì)算和驗(yàn)證，即使認(rèn)真細(xì)心，出錯(cuò)也在所難免。在現(xiàn)在的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽里面，實(shí)際問(wèn)題需要大量的數(shù)據(jù)作為支撐，我們需要對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行分析整理計(jì)算進(jìn)而作圖，而這些工作通過(guò)手動(dòng)計(jì)算是難以實(shí)現(xiàn)的。因此我們有必要開(kāi)設(shè)相應(yīng)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程，把一些常用的數(shù)學(xué)軟件融進(jìn)高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程，使學(xué)生掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)工具，這樣不僅可以免去繁瑣的計(jì)算，又能簡(jiǎn)化某些復(fù)雜的求導(dǎo)求積分解方程等，還可以對(duì)某些圖形進(jìn)行直觀的演示，豐富了學(xué)生的空間想象能力。

MATLAB就是數(shù)學(xué)建模中常用的數(shù)學(xué)軟件之一，借助該軟件可以解決高等數(shù)學(xué)中很多的問(wèn)題。如學(xué)生在學(xué)習(xí)多元函數(shù)時(shí)，在對(duì)其所對(duì)應(yīng)的圖形畫(huà)不出來(lái)，空間想象能力又不太豐富的情況下，就可以借助MATLAB軟件來(lái)畫(huà)圖，畫(huà)出的圖還可以360度旋轉(zhuǎn)，既滿(mǎn)足了學(xué)生的好奇心，又使學(xué)生對(duì)空間解析幾何產(chǎn)生了無(wú)限的興趣和想象。當(dāng)然MATLAB除了畫(huà)圖之外，還有很多其他的優(yōu)點(diǎn)，如可以求極限，求導(dǎo)數(shù)，求積分等。這些在數(shù)學(xué)中看來(lái)很難解決的問(wèn)題，在MATLAB軟件中只要調(diào)用命令輸入函數(shù)即可得到相應(yīng)的結(jié)果，大大節(jié)省了時(shí)間，還促使學(xué)生去學(xué)好數(shù)學(xué)軟件以便解決實(shí)際問(wèn)題。

四、結(jié)束語(yǔ)

將數(shù)學(xué)建模的思想及方法很好地融入到高等數(shù)學(xué)的課堂中去，可能會(huì)牽涉到很多的改變，如教學(xué)目的、教學(xué)內(nèi)容、授課課時(shí)等，這需要我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中逐步地修正和改進(jìn)。另外，數(shù)學(xué)軟件的教學(xué)和使用需要在計(jì)算機(jī)上機(jī)操作，因此也會(huì)對(duì)教學(xué)環(huán)境提出新的要求。近些年來(lái)，學(xué)校積極組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，促使學(xué)生利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)去決實(shí)際問(wèn)題，在此過(guò)程中，學(xué)生收集數(shù)據(jù)的動(dòng)手能力、合作能力都有大幅度提高，學(xué)習(xí)效果也會(huì)越來(lái)越好。

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