傳輸線教學(xué)中關(guān)于復(fù)數(shù)阻抗負(fù)載反射系數(shù)的修正

唐濤　唐軍　孫浩然

摘要：在微波傳輸線理論教學(xué)中，由阻抗確定反射系數(shù)是一個(gè)重要的知識點(diǎn)。教科書一般只針對負(fù)載阻抗為實(shí)數(shù)的情況進(jìn)行講解，但是在實(shí)際工程運(yùn)用中常會遇到負(fù)載阻抗為復(fù)數(shù)的情況。本文運(yùn)用傳輸線理論闡述了阻抗和反射系數(shù)之間的關(guān)系，并分別應(yīng)用功率方程和功率波的分析方法推導(dǎo)了復(fù)數(shù)阻抗條件下的反射系數(shù)修正公式。

關(guān)鍵詞：微波傳輸線；復(fù)數(shù)阻抗；反射系數(shù)；標(biāo)簽天線

中圖分類號：G642.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）34-0097-02

引言

傳輸線理論是微波技術(shù)教學(xué)的基礎(chǔ)，在傳輸線阻抗特性的教學(xué)中，輸入阻抗與反射系數(shù)之間的關(guān)系是教學(xué)重點(diǎn)，一般運(yùn)用反射系數(shù)來判斷傳輸線的工作狀態(tài)。如反射系數(shù)Γ=0，此時(shí)的負(fù)載是匹配負(fù)載，傳輸線處于行波工作狀態(tài)；反射系數(shù)Γ=1，負(fù)載是短路、開路或純電抗，傳輸線處于駐波工作狀態(tài)。但是在復(fù)數(shù)阻抗負(fù)載情況下，反射系數(shù)可能會出現(xiàn)Γ>1的情況，這時(shí)負(fù)載阻抗與源阻抗需要共軛匹配，此時(shí)反射系數(shù)的計(jì)算需要修正，本文將從功率和功率波的角度討論復(fù)數(shù)阻抗條件下反射系數(shù)和阻抗之間的關(guān)系。

一、負(fù)載匹配與反射系數(shù)的關(guān)系

傳輸線的阻抗匹配，可以由戴維南等效電路來說明[1]。根據(jù)波動方程，可取端口電壓U為入射波電壓U+與反射波電壓U-之和。從信號源向負(fù)載看去的反射系數(shù)

從式（1）可以看出，Γ=0條件是負(fù)載阻抗等于信號源阻抗，但是此處傳輸線是均勻無耗且信號源的阻抗是實(shí)數(shù)。當(dāng)傳輸線有損耗或者信號源的阻抗是復(fù)數(shù)，那么阻抗匹配的關(guān)系將變成共軛匹配Z =Z 。

二、共軛匹配與反射系數(shù)之間的關(guān)系

設(shè)信源內(nèi)部等效阻抗是Z =R +jX ，傳輸線具有復(fù)數(shù)阻抗與負(fù)載相連，那么等效的復(fù)數(shù)負(fù)載阻抗為

Z =Z =R -jX =R +jX 。負(fù)載得到的功率為

根據(jù)圖1，式（2）最終可得

從式（3）給出的功率方程可以得出阻抗共軛匹配的條件是R =R ，X =-X 。即當(dāng)Z =Z 時(shí)，負(fù)載能夠得到最大的功率。結(jié)合式（1）給出的實(shí)數(shù)阻抗反射系數(shù)的計(jì)算公式，當(dāng)負(fù)載和源阻抗共軛匹配時(shí)有

這一結(jié)果和反射系數(shù)的定義相悖，因?yàn)楫?dāng)負(fù)載和源阻抗共軛匹配時(shí)，負(fù)載獲得最大功率，此時(shí)反射系數(shù)應(yīng)該等于0，但根據(jù)式（4）只要當(dāng)X ≠0時(shí)，則有?！?；并且如果X >R ，那么有Γ>1，而反射系數(shù)的取值范圍應(yīng)該為0≤Γ≤1。所以復(fù)數(shù)共軛匹配電路中，式（4）應(yīng)該進(jìn)行修正。

1.功率方程計(jì)算反射系數(shù)。復(fù)數(shù)阻抗下式（2）可改寫并展開為

令信號源最大的可利用功率為P = ，式（5）的分子和分母同乘Z +Z ，再經(jīng)恒等變形，可推導(dǎo)出

其中

那么有P =P （1-ΓΓ*）。

當(dāng)Γ=0（Z =Z ）或者Γ =0（Z =Z ），即阻抗共軛匹配時(shí)，負(fù)載可獲最大功率，且反射系數(shù)嚴(yán)格滿足0≤Γ≤1。所以在復(fù)數(shù)阻抗的電路中，應(yīng)該使用反射系數(shù)修正公式，即式（7）。

2.功率波計(jì)算反射系數(shù)。對于這一發(fā)現(xiàn)Kurokawa等人提出了功率波的計(jì)算方法[2]。首先定義功率波的入射波和反射波的波幅分別為

根據(jù)式（9）和式（10）可得反射系數(shù)

所以不論從功率方程還是功率波的角度來看，復(fù)數(shù)阻抗的反射系數(shù)都應(yīng)該進(jìn)行修正。

結(jié)語

本文在均勻傳輸理論的基礎(chǔ)上，針對傳統(tǒng)阻抗和反射系數(shù)的關(guān)系不適用于復(fù)數(shù)共軛阻抗匹配的問題，以功率方程和功率波為依據(jù)，提出了正確的具有廣泛適用性的反射系數(shù)和阻抗之間的修正公式。該修正公式適用于復(fù)數(shù)阻抗情況下的反射系數(shù)的求解。

參考文獻(xiàn)：

[1]李晨暉.戴維南等效電路的求解方法及例示[J].青海大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2001，19（4）：40-42.

[2]S.Llorente-Romano，A.Garca-Lamperez，T.K.Sarkar，and M.Salazar-Palma."An exposition on the choice of the properS parameters in characterizing devicesincluding transmission lines with complex reference impedances and a general methodology for computing them"[Z].IEEE Antennas Propag.Mag.，，vol.55，no.4，pp.94–112，Aug.2013.