線性代數(shù)中基于線性方程組的“轉(zhuǎn)換”思想

沈進(jìn)

摘要：線性代數(shù)的主要研究對象是行列式、矩陣、線性方程組、矩陣的特征值、二次型以及線性變換，其中線性方程組的學(xué)習(xí)和研究貫穿全書。首先我們使用行列式和矩陣作為工具來判斷線性方程組的解。之后我們利用“轉(zhuǎn)換”思想把具體的線性問題構(gòu)建成一個線性方程組的數(shù)學(xué)模型，將線性問題轉(zhuǎn)化成方程組求解問題。文中列舉了線性代數(shù)基于線性方程組“轉(zhuǎn)換”思想的三處知識點，分別是：向量組的線性組合、向量組的線性相關(guān)性、矩陣的特征值。利用“轉(zhuǎn)換”思想可以加深大家對線性問題的理解。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；線性方程組；轉(zhuǎn)換思想；矩陣

中圖分類號：O151.2 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）27-0189-02

一、引言

線性方程組是線性代數(shù)教學(xué)內(nèi)容的主線。第一章利用行列式的克拉默法則解系數(shù)行列式不等于零的方程組，第二章將線性方程組轉(zhuǎn)化成矩陣形式，利用逆矩陣求解方程組。第三章把方程組的消元過程轉(zhuǎn)化成矩陣的初等變換。之后，我們就使用線性方程組來解決一系列的線性問題，例如線性組合，線性相關(guān)（無關(guān)）等。[1]在這過程中，主要利用“轉(zhuǎn)換”思想把具體的線性問題構(gòu)建成一個線性方程組的數(shù)學(xué)模型，將待研究的線性問題轉(zhuǎn)換成相應(yīng)方程組的解，根據(jù)方程組有唯一解、解不唯一或無解，來找出向量的線性關(guān)系或矩陣特征值等問題。[2]下面我們就具體介紹教學(xué)中三種常見的基于線性方程組“轉(zhuǎn)換”思想的線性問題。

二、相關(guān)理論

1.n元線性方程組的三種表達(dá)形式。

線性方程組有三種表達(dá)形式，分別是一般形式、矩陣形式和向量形式。[3]

（1）一般形式。

a x +a x +…+a x =b a x +a x +…+a x =b ……a x +a x +…+a x =b ，其中b ，b ，…，b 不全為零時稱為非齊次線性方程組，b ，b ，…b 全為零時稱為齊次線性方程組。

（2）矩陣形式。

Ax=b，其中A= ，x=（x x … x ） ，b=（b b … b ） 。

（3）向量形式。

α x +α x +…α x =b，其中α =（α α … α ） ，j=（1，2，…，n），b=（b b … b ） 。

2.n元線性方程組解的判定。

每個線性方程組的解的情況都是不同的，需要討論解的存在性和唯一性。那么在解具體線性方程組之前應(yīng)該先預(yù)判一下該方程組的解是何種情況，針對它的解挑選合適的方法。一般可以用系數(shù)行列式的值或系數(shù)矩陣的秩來判斷線性方程組解的情況。

（1）系數(shù)行列式。

如果Ax=b的系數(shù)行列式A≠0，則方程組有唯一解；如果Ax=b無解或解不唯一，則它的系數(shù)行列式A=0；

如果Ax=O的系數(shù)行列式A≠0，則方程組只有零解；如果Ax=O有非零解，充要條件是它的系數(shù)行列式A=0。

（2）系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩。

Ax=b有唯一解 （A）=r（ ）=n有無窮多解 （A）=r（ ）

三、基于線性方程組的“轉(zhuǎn)換”思想

1.向量組的線性組合。

定義1 給定向量組A：α ，α ，…，α 和向量β，若存在一組數(shù)k ，k ，…，k 使β=k α +k α +…+k α ，則稱向量β是向量組A的線性組合，又稱向量β能由向量組A線性表示。

在相關(guān)理論部分我們介紹過線性方程組可以表達(dá)成向量形式：α x +α x +…+α x =β?？梢娤蛄喀率欠衲苡上蛄拷MA線性表示的問題等價于線性方程組α x +α x +…+α x =β是否有解的問題。

2.向量組的線性相關(guān)性。

定義2 給定向量組A：α ，α ，…，α ，如果存在不全為零的一組數(shù)k ，k ，…，k 使k α +k α +…+k α =0，則稱向量組A的線性相關(guān)，否則稱向量組A線性無關(guān)。

向量組A線性相關(guān)或無關(guān)取決于數(shù)k ，k ，…，k 的值是否全為零，我們把求解k ，k ，…，k 問題轉(zhuǎn)換成齊次線性方程組α x +α x +…+α x =0是否只有零解的問題。

3.矩陣的特征值。

定義3 設(shè)A是n階方陣，如果數(shù)λ和n維非零向量x使Ax=λx成立，則稱λ為方陣A的特征值，非零向量x稱為方陣A的特征向量。

已知 Ax=λx，移項（λE-A）x=0。方陣A存在非零的特征向量的問題轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組有非零解的問題。[4]

四、結(jié)束語

本文概括了在線性代數(shù)教學(xué)中基于線性方程組 “轉(zhuǎn)換”思想的三處知識點的三處知識點，分別是向量組的線性組合，向量組的線性相關(guān)（無關(guān)），矩陣的特征值?；诰€性方程組的“轉(zhuǎn)換”思想主要是把具體的線性問題構(gòu)建成一個線性方程組的數(shù)學(xué)模型，用線性方程組解的存在性和唯一性來解釋相應(yīng)的線性問題。[5]在教學(xué)中，使用基于線性方程組的“轉(zhuǎn)換”思想來講授文中的三個知識點，會通俗易懂，并且具有教學(xué)的連續(xù)性與一致性。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉薇.“生動”教學(xué)模式下線性代數(shù)的教學(xué)設(shè)計與實踐[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2015，21（3）：110-113.

[2]田曉娟，王利東.加強線性代數(shù)計算能力培養(yǎng)的教學(xué)模式探討[J].科教文匯，2015，（316）：43-55.

[3]姜愛平.線性代數(shù)中矩陣章節(jié)基本概念及性質(zhì)的教學(xué)方法探討[J].高師理科學(xué)刊，2016，36（3）：48-51.

[4]吳贛昌.線性代數(shù)（第4版）[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2011.

[5]劉潔晶，任金忠.線性代數(shù)課程分層教學(xué)探討[J].衡水學(xué)院學(xué)報，2016，18（1）：105-109.