混合分?jǐn)?shù)階p-Laplace算子方程積分邊值問(wèn)題的多解性

張瀟涵，劉錫平，賈梅，陳豪亮

（上海理工大學(xué) 理學(xué)院，上海 200093）

1 問(wèn)題的提出

隨著自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的發(fā)展，復(fù)雜工程應(yīng)用需求的增加，分?jǐn)?shù)階微積分理論及其應(yīng)用開(kāi)始受到廣泛關(guān)注[1-4]。非線性分?jǐn)?shù)階微分方程起源于核物理、流體力學(xué)及非線性光學(xué)等應(yīng)用領(lǐng)域，其理論研究在目前微分方程領(lǐng)域中較為活躍[5-9]。具有 p-Laplace算子的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題是非線性微分方程的一個(gè)重要研究課題，許多學(xué)者對(duì)不同類(lèi)型的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題解或正解的存在性與多重性進(jìn)行了大量研究[10-17]。由于Riemann-Stieltjes積分邊值問(wèn)題是經(jīng)典Riemann積分邊值問(wèn)題的推廣，兩點(diǎn)邊值問(wèn)題、多點(diǎn)邊值問(wèn)題及一般Riemann積分邊值問(wèn)題可視為Riemann-Stieltjes積分邊值問(wèn)題的特例，因此，Riemann-Stieltjes積分邊值問(wèn)題具有更寬廣的應(yīng)用背景[12]。

本文研究一類(lèi)同時(shí)具有Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)和Caputo導(dǎo)數(shù)的混合型分?jǐn)?shù)階 p-Laplace算子方程在 Riemann-Stieltjes積分邊界條件下的正解的存在性。

2 預(yù)備知識(shí)及引理

分?jǐn)?shù)階微積分的相關(guān)定義及其結(jié)論見(jiàn)文獻(xiàn)[2-3]。這里給出幾個(gè)與本文密切相關(guān)的結(jié)論。

引理1[3]假設(shè) u ∈C(0,1)∩L(0,1)，則分?jǐn)?shù)階微分方程(t)=0的解為f Q={(x,y):a≤x≤b,c≤y≤d}(x,y)B [a,b]

引理4[18]設(shè) 在矩形區(qū)域

的每個(gè)點(diǎn) 處連續(xù)， 在 上單調(diào)遞增，那么，

在[c,d] 上連續(xù)。

現(xiàn)假設(shè)

引理5 令 ξ ∈C[0,1]，則函數(shù) u ∈E 是下面的邊值問(wèn)題的解。

根據(jù)引理1和引理2分別得到邊值問(wèn)題（8）和（9）的解為

對(duì)式（11）的兩邊進(jìn)行Riemann-Stieltjes積分，

將其代入式（11），可得

證明 由函數(shù) G (s,τ)和 Λ (t,s)的表達(dá)式容易證得性質(zhì)a和b。下面證明性質(zhì)c。

當(dāng)0≤s≤t≤1時(shí)，

另一方面，有

由引理3可得

證畢。

3 邊值問(wèn)題正解的多重性

因此， A等度連續(xù)。

由Arzela-Ascoli定理可知， A :P→P全連續(xù)。

證畢。

現(xiàn)作如下記號(hào)：

證明 由引理5可知，邊值問(wèn)題（1）等價(jià)于積分方程

顯然， u =u(t)是邊值問(wèn)題（1）的正解當(dāng)且僅當(dāng)u滿 足算子方程 u =Au(t)。

首先，證明 A :Pc→Pc全連續(xù)。對(duì)任意的u∈Pc，由定理1的c，有

最后，證明 μk(t)＜ ωk(t),t∈ [0,1],k=0,1,2,···。

因?yàn)椋?μ0(t)＜ ω0(t),t∈[0,1]，則

μk(t)＜ ωk(t),t∈[0,1],k=0,1,2,···

類(lèi)似地，可以推出 。證畢。

4 應(yīng)用舉例

現(xiàn)運(yùn)用所得結(jié)論解決幾個(gè)具體的混合型分?jǐn)?shù)階p -Laplace算子方程邊值問(wèn)題。

例1 若取

例2 考慮混合分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題