不可壓縮超彈性Rivlin類材料組成球形薄殼動力響應(yīng)

趙 振 濤， 袁 學 剛＊，， 張 洪 武， 趙 巍， 張 文 正

（1.大連理工大學 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室，遼寧 大連 116024；2.大連民族大學 理學院，遼寧 大連 116600）

0 引 言

超彈性材料的典型代表有橡膠材料、類橡膠材料和生物軟組織等.因其具有高彈性、大變形等特點，廣泛應(yīng)用于航空航天、機械工程、醫(yī)療器械等領(lǐng)域.從力學性能上講，超彈性材料也稱為Green彈性材料，其本構(gòu)關(guān)系可由應(yīng)變能函數(shù)給出，常見的有neo-Hookean材料、Mooney-Rivlin材料、Yeoh材料等.作為一種常見的材料模型，Rivlin類模型廣泛應(yīng)用于橡膠材料的模擬，如丁腈橡膠、天然橡膠、氯丁橡膠、硫化橡膠等；同時，Rivlin類模型形式簡單，材料參數(shù)較少，使用該模型進行數(shù)值模擬可以得到很好的效果［1－2］.此外，由于與實驗數(shù)據(jù)有較好吻合程度，有限元分析中也常使用Rivlin類模型對橡膠制件進行分析，如軌道用橡膠扣件受力和壽命分析［3］.

關(guān)于超彈性材料及其結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)問題的研究源于Knowles［4］的工作，他利用材料的不可壓縮條件和結(jié)構(gòu)的對稱性研究了無限長不可壓縮彈性圓柱管軸對稱振動問題，并將問題約化為一維非線性問題，給出了超彈性材料模型振動問題的一般形式解，從而奠定了此類問題的研究基礎(chǔ).隨著有限變形理論和非線性動力學理論的發(fā)展，越來越多的學者致力于超彈性結(jié)構(gòu)動力學問題的研究.相關(guān)問題的研究進展可參見Aranda-Iglesias等［5］和 Alijani 等［6］的 綜 述.其 中，Calderer［7］研究了球殼和柱殼結(jié)構(gòu)在突加荷載下的動力學問題，給出了荷載對解的定性性質(zhì)的影響.Yuan等［8－9］研究了周期階梯荷載下不可壓縮超彈性材料組成的球膜和圓柱殼的動力學問題，給出了周期振動的條件.為了分析超彈性本構(gòu)關(guān)系對球形薄膜動態(tài)膨脹的影響，Rodríguez-Martínez等［10］采用6種不同形式的應(yīng)變能函數(shù)分析了不同的常值荷載和加速度下球殼的變形和振動問題，指出了對于同樣的變形，不同的材料模型會改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性.Aranda-Iglesias等［11］對超彈性圓柱殼結(jié)構(gòu)的徑向振動進行了研究，分別對修正的Mooney-Rivlin模型和具有不變量高階項的Yeoh模型進行分析和比較，并指出，Yeoh模型提供了比Mooney-Rivlin模型更保守的預(yù)測性.為了更加深入了解橡膠材料的性能，并對其行為進行準確模擬，Treloar［12］和 Kawabata等［13］使用硫化橡膠進行了各種變形實驗，然后通過實驗數(shù)據(jù)擬合得到Rivlin類模型的材料參數(shù)，并進行了相應(yīng)的變形分析.

本文的目的是在已有研究工作的基礎(chǔ)上，運用有限變形理論和非線性動力學理論，研究不可壓縮超彈性Rivlin類材料組成的球形薄殼的動力響應(yīng)問題，并進行必要的定性分析.

1 球形薄殼的運動模型

對于由不可壓縮超彈性材料組成的球形薄殼，當薄殼的內(nèi)表面受突加常值荷載作用時，考察薄殼的徑向?qū)ΨQ運動.在球坐標系中，薄殼的初始構(gòu)型表示為

其中R1和R2分別表示薄殼的內(nèi)外半徑.在球?qū)ΨQ變形假設(shè)下，變形后構(gòu)型表示為

其中r（R，t）是徑向變形待定函數(shù).用于描述兩種構(gòu)型映射關(guān)系的變形梯度張量F＝diag｛r／R，r／R，r／R｝，其中λ1＝r／R，λ2＝λ3＝r／R，分別表示薄殼的徑向和環(huán)向主伸長.

根據(jù)材料的不可壓縮條件λ1λ2λ3＝1，即，對其兩端關(guān)于R積分，可以得到

其中r2（t）＝r（R2，t），是一個只與時間t相關(guān)的待求函數(shù).易見，式（3）可以完全描述薄殼隨時間演化的徑向運動.

對于不可壓縮超彈性材料組成的薄殼，Cauchy應(yīng)力的主分量為

其中p（r，t）是靜水壓力，W＝W（λ1，λ2，λ3）是不可壓縮超彈性材料的應(yīng)變能函數(shù).

忽略體積力的作用時，描述薄殼徑向?qū)ΨQ運動的平衡微分方程為

其中ρ0表示材料密度，表示r（R，t）關(guān)于時間t的二階導(dǎo)數(shù).

在初始時刻，薄殼未發(fā)生變形且處于靜止狀態(tài)，于是相應(yīng)的初始條件為

薄殼的內(nèi)表面受到與時間無關(guān)的徑向均布常值荷載p（p＞0）的作用，且外表面無約束時，應(yīng)力的邊界條件可以表示為

本文中，考慮多項式形式的Rivlin類不可壓縮超彈性材料模型，其應(yīng)變能函數(shù)的一般形式為［14］

式中：Am、Bn為材料參數(shù)；I1、I2是右 Cauchy－Green張量C的兩個主不變量，它們與主伸長λ1、λ2、λ3有如下關(guān)系：

特別地，當式（8）中的參數(shù)Am、Bn取一些特殊值時，該模型可以退化為常見的neo-Hookean、Mooney-Rivlin和Yeoh等形式的材料模型.

2 模型求解

2.1 控制方程量綱一化

對式（3）關(guān)于時間t求二階導(dǎo)數(shù)，并進行整理得到

將式（4）和（10）代入式（5），然后對得到的方程關(guān)于r積分，由邊界條件（7）得到1

其中r1（t）＝r（R1，t）.

為了便于定性分析，引入如下量綱一變換：

其中δ表示薄殼的厚度參數(shù)，x表示薄殼外表面的變形.

將應(yīng)變能函數(shù)形式（8）重新記為

其中am1＝Am1／A1，bn1＝Bn1／A1.

于是，式（11）可約化為如下形式的量綱一方程：

其中

此外，初始條件（6）變?yōu)?/p>

2.2 首次積分解

將式（14）兩邊同時乘以x2x.，然后關(guān)于時間t積分，根據(jù)初始條件（18），得到如下首次積分解：

其中

是勢能函數(shù).

令x.＝y(tǒng)，式（14）轉(zhuǎn)化為如下的一階微分方程組：

易見，方程的平衡點為（xe，0），其中xe滿足方程H（x；δ）－＝0，換句話說，對于給定的荷載，可以根據(jù)該方程確定平衡點的個數(shù).

當薄殼的結(jié)構(gòu)參數(shù)給定時，系統(tǒng)的動力響應(yīng)主要受材料的本構(gòu)關(guān)系及突加荷載的影響.通過對曲線的漸近線和系統(tǒng)平衡點個數(shù)的討論，進而可以對系統(tǒng)的動力響應(yīng)進行定性分析.

3 方程定性分析

3.1 平衡點的個數(shù)

當參數(shù)m、n取不同值時，表1、2分別給出了薄殼變形曲線的漸近線和平衡點個數(shù)的變化情況.

表1 變形曲線的漸近線隨應(yīng)變能函數(shù)中m、n的變化Tab.1 The change of asymptotic curves of deformation curves for different m，n in strain energy functions

表2 平衡點的個數(shù)Tab.2 The number of equilibrium points

表1中，水平漸近線和斜漸近線表示變形曲線在x→＋∞時的漸近線類型；“－”表示相應(yīng)的變形曲線不存在水平或斜漸近線.

由表1、2不難看出，當m＝1，n＝0時，系統(tǒng)最多有2個平衡點，對應(yīng)的變形曲線有遞增和遞減兩個分支并且有水平漸近線；當m＝1，2且n＝0，1時變形曲線存在漸近線，其他情況不再有漸近線.不難得出如下結(jié)論：當m、n繼續(xù)增大時，系統(tǒng)的行為不再發(fā)生定性的變化.

3.2 球形薄殼的動力響應(yīng)

薄殼的厚度取為δ＝0.01，初始條件為（1，0）.下面利用非線性動力學理論中的相平面分析法，結(jié)合數(shù)值算例對超彈性薄殼結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)問題進行定性分析，主要涉及周期振動、振幅跳躍以及結(jié)構(gòu)破壞等.

特別地，當薄殼做周期運動時，由于薄殼在最大振幅xmax處滿足xx＝xmax＝0，對于給定的荷載，根據(jù)式（19）求得xmax，進而描述薄殼振動的周期為

3.2.1 m＝1，n＝0應(yīng)變能模型響應(yīng) 當m＝1，n＝0時，式（8）退化為neo-Hookean應(yīng)變能模型.此時，該模型只含有I1－3的線性項.圖1給出了變形曲線以及不同荷載時的勢能曲線、相軌跡和時程曲線.

圖1 系統(tǒng)的變形曲線、勢能曲線、相軌跡和時程曲線（m＝1，n＝0）Fig.1 The deformation curves，potential energy curves，phase diagrams and time history curves of the system （m ＝1，n＝0）

圖2給出了周期運動時系統(tǒng)周期和振幅隨荷載變化的關(guān)系.由圖2可見，對于每一個小于臨界值的荷載，都對應(yīng)著確定的周期和振幅，并且它們隨荷載的增大而增大.但是當時，系統(tǒng)運動不再有周期性，薄殼的變形會隨時間一直變大，直到破裂.

圖2 周期和振幅曲線（m＝1，n＝0）Fig.2 The period and amplitude curves（m＝1，n＝0）

3.2.2 m＝1，n＝1應(yīng)變能模型響應(yīng) 當m＝1，n＝1時，式（8）退化為 Mooney-Rivlin應(yīng)變能模型.此時，該模型存在材料參數(shù)b11.由表1可見，變形曲線始終存在斜漸近線，所以系統(tǒng)至少存在一個平衡點.如圖3中的曲線，材料參數(shù)影響系統(tǒng)平衡點的個數(shù)，并存在臨界材料參數(shù)b11cr＝0.214.

（1）b11＝0.1

此時，b11＜b11cr.圖3給出了不同材料參數(shù)的變形曲線及不同荷載時的勢能曲線、相軌跡和時程曲線.

圖3 系統(tǒng)的變形曲線、勢能曲線、相軌跡和時程曲線（m＝1，n＝1）Fig.3 The deformation curves，potential energy curves，phase diagrams and time history curves of the system （m ＝1，n＝1）

圖4給出了系統(tǒng)的周期和振幅隨荷載變化的關(guān)系.由圖可見，存在臨界荷載＝2.734 67.當時，周期和振幅隨荷載的增大而增大，并且在臨界荷載處存在極限周期和振幅.當時，周期隨荷載的增大而減小，振幅隨荷載的增大而增大；當時，發(fā)生周期和振幅跳躍現(xiàn)象.

圖4 周期和振幅曲線（m＝1，n＝1，b11＝0.1）Fig.4 The period and amplitude curves（m＝1，n＝1，b11＝0.1）

（2）b11＝0.25

此時，b11＞b11cr，圖5給出周期運動時系統(tǒng)周期和振幅隨時間變化的關(guān)系.

由圖5可見，隨著荷載的增大，系統(tǒng)做非線性周期振動，周期和振幅隨荷載連續(xù)變化，雖然沒有跳躍或者突變現(xiàn)象，但是周期曲線存在一個最大值，振幅曲線存在一個拐點.

3.2.3 其他情況 前面已經(jīng)對m＝1，n＝0和m＝1，n＝1兩種典型的應(yīng)變能模型的響應(yīng)問題進行了分析，這兩種模型包含了表1中所有的漸近線類型和表2中所有可能的平衡點個數(shù)，圖6給出了m、n取其他值時的情況.

由圖6可見，材料參數(shù)對變形曲線的漸近線以及系統(tǒng)平衡點個數(shù)的影響與前兩種典型情況相似，并且同樣存在著臨界材料參數(shù).通過以上的分析驗證可以知道，應(yīng)變能函數(shù)中的參數(shù)m、n繼續(xù)增大時，系統(tǒng)的動力響應(yīng)并未發(fā)生定性的改變，只是在定量方面有一定的影響.

圖5 周期和振幅曲線（m＝1，n＝1，b11＝0.25）Fig.5 The period and amplitude curves（m＝1，n＝1，b11＝0.25）

（2）荷載的大小影響系統(tǒng)振動的穩(wěn)定性.如圖1所示，存在臨界荷載，相軌跡出現(xiàn)了非對稱的“∝”型同宿軌道，當荷載超過臨界荷載時，相軌跡不再封閉，即球形薄殼隨時間的徑向運動將無限增大，最終破裂；如圖3所示，球形薄殼隨時間的徑向運動始終是一類非線性周期振動，但出現(xiàn)了非對稱“∞”型同宿軌道，即存在臨界荷載，當荷載超過臨界荷載時，球形薄殼發(fā)生周期跳躍和振幅跳躍的現(xiàn)象，參見圖4.

（3）對于Rivlin類材料模型，應(yīng)變能函數(shù)中的低階項能夠定性描述結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)，增加高階項能夠更加準確地對其進行定量分析，但是不會出現(xiàn)新的響應(yīng)類型.

圖6 材料參數(shù)對平衡點個數(shù)的影響Fig.6 The effect of material parameters on the number of equilibrium points

4 結(jié) 論

（1）材料參數(shù)的取值影響系統(tǒng)平衡點的個數(shù).如圖6所示，存在臨界材料參數(shù)，當材料參數(shù)小于臨界參數(shù)時變形曲線有3個平衡點，當材料參數(shù)大于臨界參數(shù)時變形曲線只有1個平衡點；在有些情況下，變形曲線有兩個平衡點或不存在平衡點.