一道熱學(xué)題“一題多解”的深度剖析及啟示

劉大明 江秀梅

(江西省撫州市第一中學(xué) 344000)

一、提出問題

一題多解是物理試題解答中常見的現(xiàn)象，其特征是“殊途同歸”；但是，“殊途不同歸”的“一題多解”現(xiàn)象很少見.下面這道熱學(xué)試題，有三種解法，且所得結(jié)果相差巨大，最為關(guān)鍵的是，一線教師一時還難以判斷孰是孰非.試題呈現(xiàn)如下：

圖1

題目一個橫截面積S=20 cm2，內(nèi)壁光滑且導(dǎo)熱良好的氣缸直立放置，如圖1所示，質(zhì)量m=2 kg的活塞下方封閉了一定量的理想氣體，穩(wěn)定時，氣柱長度h=20 cm，現(xiàn)把一個質(zhì)量為M的物塊放置于活塞上方，待系統(tǒng)穩(wěn)定后，被封閉氣柱長度h′=10cm，已知外界大氣壓p0=1×105Pa，重力加速度g=10 m/s2，外界溫度不發(fā)生變化.求：

(1)物塊的質(zhì)量M；

(2)該過程中氣體與外界發(fā)生熱交換的情況.

解析(1)初態(tài)對活塞由平衡條件得

p0S+mg=p1S(1)

放上物塊待穩(wěn)定后有

p1Sh=p2Sh′ (2)

此時對活塞由平衡條件得

p0S+mg+Mg=p2S(3)

聯(lián)立以上三式代入數(shù)據(jù)可得

M=22kg.

(2)解法1 整體考慮能量守恒，活塞及其上物塊減少的重力勢能通過氣體熱交換耗散于外界環(huán)境中(轉(zhuǎn)化為外界內(nèi)能)，所以Q=(mg+Mg)(h-h′)，代入數(shù)據(jù)得到Q=24J.

解法2 對活塞全過程使用動能定理：(Mg+mg+p0)(h-h′)-Q=0-0，其中封閉氣體對活塞做負功，數(shù)值等于熱交換耗散于外界環(huán)境的熱量Q，代入數(shù)據(jù)計算得到Q=44 J.

第(1)問沒有異議，故不討論.本文就第(2)問進行探討：乍一看起來，3種解法都沒有明顯的錯誤，實際上，不同教輔書籍確有不一致解答，不同教師也可能給出不一致的解答.那么，3種解法，孰對孰錯？問題何在，如何破解？

就這道題，筆者所在單位也進行了熱烈討論，起初也想法不一，觀點迥異.下面就討論過程加以描述，并進行抽絲剝繭，一一剖析.

二、問診把脈——解法剖析

1.對解法1的剖析

解法1 的思考基礎(chǔ)是能量轉(zhuǎn)化，認為：全過程只有活塞上物體的重力勢能減小，活塞上方大氣重力勢能忽略不計，又因溫度不變，封閉氣體內(nèi)能不變，因此，重力勢能減少是通過封閉氣體熱交換耗散于環(huán)境中，轉(zhuǎn)化為外界內(nèi)能.其中，大氣對活塞做功對應(yīng)什么能量轉(zhuǎn)化，因為平時接觸較少，極容易忽視，而且，“常識”讓我們想當然地認為，大氣的狀態(tài)并不會因活塞移動發(fā)生“顯著”變化，因而大氣重力勢能“不變”，于是，大氣對活塞做功一并忽略了.大氣對活塞做功肯定不可忽略，然而其對應(yīng)的能量轉(zhuǎn)化關(guān)系是怎樣的？下文將構(gòu)建等效模型給予說明.

圖2

2.對解法2的剖析

解法2的思考基礎(chǔ)是動能定理.活塞首末狀態(tài)明確(靜止)，而且活塞受到各個力的做功情況也清楚，運用動能定理求封閉氣體對活塞這一變力作功，也是不難想到的.對解法2，難以給出具有說服力的反駁理由，但要堅持本解法，無疑要回應(yīng)解法1的問題關(guān)切.可以構(gòu)建如圖2所示等價模型加以辨析.

設(shè)大氣壓強為p0，其上方活塞重力滿足m′g=p0S.當A處活塞放上物塊M后，封閉氣體的狀態(tài)變化跟題目情景一致.顯然，大氣和其上活塞會一起下降10cm.大氣對其上方活塞做負功、對其下方活塞做正功，且數(shù)值相等，從而實現(xiàn)了上方活塞重力勢能轉(zhuǎn)移(化)到封閉氣體里，當然最終通過熱交換耗散于環(huán)境中.這個等價模型很好地說明了，大氣做功不可忽略，其對應(yīng)的正是重力勢能的變化.因此，這個等價模型印證了解法2，否定了解法1.

3.對解法3的剖析

解法3中，把全過程理解為滿足理想氣體狀態(tài)方程的等溫變化，是一個誤解！也即，前提條件pV=K(常量)在全過程中不成立，從而解法3不正確.

圖3

至此，似乎可以下結(jié)論：解法2正確.然而，在交流討論中，就解法2，一位同事提出了一個挑戰(zhàn)性疑點.

4.針對解法2的挑戰(zhàn)性疑點

眾所周知，在導(dǎo)熱良好條件下，封閉理想氣體緩慢壓縮過程為等溫變化過程，也是準靜態(tài)過程，如圖3的虛線反比例曲線所示，反比例曲線段AB與V軸所圍面積大小表示封閉氣體對外界所做的功，也正是解法3計算的熱交換對應(yīng)的能量.值得強調(diào)，“緩慢”條件的重要性，宏觀上看，壓縮所需的外力是一個漸變變力；微觀上看，封閉氣體分子與活塞碰撞前后速率不變.然而，題目情景所加外力是一個恒力，活塞運動不可能“緩慢”，而是圍繞B所對應(yīng)平衡位置(對封閉氣體而言，也是一個平衡態(tài))做阻尼振動.從微觀上看，活塞向下壓縮時，由于活塞具有向下的速度，根據(jù)碰撞原理，封閉氣體分子與活塞碰后速率大于碰前速率，封閉氣體溫度略微增加；相反，活塞向上回彈時，由于活塞具有向上的速度，所以氣體分子碰后速率小于碰前速率，封閉氣體速率略微減小.因此，封閉氣體的p-V關(guān)系應(yīng)是圖3帶箭頭的實線所示.由此不難推斷：在壓縮過程，封閉氣體克服外界做功大于等溫變化過程；相反，在膨脹過程，封閉氣體對外界做功小于等溫變化過程，這個反差很好地說明了：在全過程，封閉氣體克服外界做功大于等溫變化過程.從圖像上定性來看，這些反差累加結(jié)果很可能等于44 J-30.5 J=13.5 J，從而否定了解法3，印證了解法2，如此，挑戰(zhàn)性疑點得到破解.

三、拓展與啟示

在教育教學(xué)中遇到一些難題是常有的事；就這些難題進行交流討論，也十分必要.毋庸置疑，對這些難題進行深入分析，是促進教師專業(yè)成長的必經(jīng)之路；對這些難題進行交流探討，是教師間進行專業(yè)研討的重要形式.然而，結(jié)合上面教學(xué)案例，就某些誤區(qū)提出一些看法和建議：

1.站高點才能領(lǐng)略“一覽眾山小”

不少教師認為，中學(xué)教師在大學(xué)所學(xué)的專業(yè)知識就中學(xué)教學(xué)沒有多大作用.特別是，“(師范)學(xué)得好，(入職)教不好”的反差現(xiàn)象，成為這一觀點的佐證.在應(yīng)試環(huán)境下，考試成績成為了教學(xué)業(yè)績的唯一衡量標準.然而，考試成績好與壞，取決于眾多因素，而且可以通過各種途徑實現(xiàn)，題海戰(zhàn)術(shù)、拼時間幾乎是實現(xiàn)考試成績好的普遍做法.一般地，在應(yīng)試泛濫的學(xué)校，諸如前文教學(xué)案例呈現(xiàn)的專業(yè)研討就非常少見；同樣，持有錯誤觀念的教師，面對一些教學(xué)難題時也難以深入研究，于是只能要求學(xué)生死記答案.筆者未重新翻閱大學(xué)教材之前，根據(jù)導(dǎo)熱良好條件守定為等溫變化，從而堅持解法3正確；待翻閱大學(xué)教材后，溫故“準靜態(tài)過程”后，就明白了自己之前的固執(zhí)觀點的問題所在.中學(xué)教師應(yīng)該時常翻閱大學(xué)教材；遇到教學(xué)難題，溫故大學(xué)教材一般能尋找到解決之道.教師站高點，才能發(fā)現(xiàn)教學(xué)過程中存在的前概念、迷思概念，否則面對自己的前概念、迷思概念，就難以自我突破.

2.不經(jīng)教研談不上專業(yè)成長

很多學(xué)校已經(jīng)不重視教研，有教學(xué)無教研現(xiàn)象非常普遍.邢紅軍教授認為，論文寫作是最佳的教研歷練方式，也是實現(xiàn)教師專業(yè)成長必經(jīng)之路.然而，由于種種原因，論文寫作不再是衡量教學(xué)水平的重要標志了，這將會是中學(xué)教學(xué)中的一個災(zāi)難！在前述教學(xué)案例中，沒有一定教研水平的教師，難以構(gòu)建等效模型來闡述問題，也難以深入微觀視角破解挑戰(zhàn)性疑點.事實上，錢偉長院士就提出“無教研無教學(xué)”的教學(xué)觀點.

3.專業(yè)討論中踐行人格平等理念

物理試題中出現(xiàn)殊途同歸的一題多解現(xiàn)象非常普遍，在教學(xué)研討中，就某道題“你一法我一策他一計”式的熱烈研討，尤為津津樂道！教學(xué)論文中多半呈現(xiàn)這樣的教學(xué)案例.從心理學(xué)角度而言，這是最安全的討論，討論在一片點贊中愉快進行.相反，諸如前述殊途不同歸的“一題多解”的教學(xué)研討中，極容易冷場，原因在于某些想法或觀點被“證偽”時，“一喜一憂”總讓人尷尬.所以，推進專業(yè)討論，務(wù)必構(gòu)建人格平等觀念，避免能力方面的評判，如此才能在彼此“失誤”中汲取營養(yǎng)實現(xiàn)共同成長.在前述案例研討中，正確解法的確立是建立在各種錯誤解法的證偽上實現(xiàn)的，聚焦了所有研討教師的智慧.