深海張力腿平臺非線性渦激振動響應(yīng)特性分析

孫友剛 董達(dá)善 強(qiáng)海燕 王 冉

1.上海海事大學(xué)物流工程學(xué)院，上海，201306 2.同濟(jì)大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院，上海，201804

0 引言

張力腿平臺（tension leg platform，TLP）是進(jìn)行深海油氣開發(fā)的重要工具，其升沉運(yùn)動小，適用水深大［1?3］。但是，張力腿長度的增大使自振頻率降低，由于深海流速較大，海流激發(fā)比基頻彎曲模態(tài)更高的彎曲模態(tài)，增大了發(fā)生渦激共振的流速范圍；而且，海流的幅值和方向沿張力腿長度方向是變化的，這可能會激起多階模態(tài)的渦激振動；就結(jié)構(gòu)自身而言，張力腿長度增大，其自身非線性效應(yīng)也會隨之增大，就必須考慮自身結(jié)構(gòu)非線性因素的影響；另外還存在低頻慢漂運(yùn)動、二階和頻力和高階脈沖力共振等問題。由此可知，深海平臺張力腿渦激振動問題要比淺水、固定式平臺更復(fù)雜，張力腿在深海中的非線性動態(tài)特性需要進(jìn)一步研究。

波浪海流共同作用產(chǎn)生的渦激振動容易引起張力腿的疲勞破壞。許多學(xué)者對渦激振動的發(fā)生原因、鎖頻共振現(xiàn)象、流體動力學(xué)計算以及動態(tài)響應(yīng)等問題展開了研究。GADAGI等［4］求解計算平臺在不同預(yù)張力下的動力響應(yīng)，分析了不同有效波高下張力腿的響應(yīng)以及系纜的應(yīng)力。CHEN等［5］研究了波浪作用下Mini張力腿平臺的耦合響應(yīng)特性。董艷秋［6］將張力腿簡化為歐拉梁，采用多項(xiàng)Galerkin法計算了當(dāng)結(jié)構(gòu)固有頻率與渦激頻率接近時，張力腿的單自由度渦激振動響應(yīng)。谷家揚(yáng)等［7］考慮波流聯(lián)合作用，求解張力腿的渦激非線性動力響應(yīng)。HAN等［8］采用非線性剛性梁和柔性梁模型，計算結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)，但在模型中忽略了平臺的運(yùn)動。KUCHNICKI等［9］推導(dǎo)了張力腿受到渦脫落載荷作用的振動方程，但在模型中沒有考慮平臺的運(yùn)動。徐萬海等［10］應(yīng)用二維非線性梁模型計算結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)，結(jié)果表明張力腿軸向與流向有很明顯的耦合效應(yīng)，但在模型中忽略了扭轉(zhuǎn)效應(yīng)與轉(zhuǎn)動慣量的影響。麥繼婷等［11］將張力腿簡化成歐拉-伯努利梁，建立了張力腿的橫向振動方程。瞿元等［12］把平臺張力腿簡化為平面柔性梁，比較了在橫向有限應(yīng)變存在下不同渦激載荷幅值下的運(yùn)動響應(yīng)，但在模型中忽略了平臺的運(yùn)動和流體阻尼力作用。綜上所述，在海洋平臺非線性動態(tài)特性方面已經(jīng)取得了重要進(jìn)展，但還存在一些不足，如對于影響平臺張力腿非線性參激耦合運(yùn)動的許多因素，考慮還不夠全面；對于非線性耦合運(yùn)動特性及引起大幅運(yùn)動的原因，還缺乏本質(zhì)的和規(guī)律性的認(rèn)識等。

基于上述原因，本文在深海平臺張力腿動力學(xué)分析時，不僅考慮平臺作用力、波浪、海流、動張力等復(fù)雜載荷的聯(lián)合作用，還充分反映結(jié)構(gòu)自身非線性因素的影響，建立了深海平臺張力腿非線性多自由度耦合運(yùn)動方程。

1 空間非線性動力學(xué)模型

1.1 空間模型與假設(shè)

將張力腿考慮為空心的柔性空間梁結(jié)構(gòu)，兩端采用鉸支，其中底端為固定鉸支座，頂端為移動鉸支座，平臺空間運(yùn)動對張力腿的作用采用頂端的位移邊界條件來施加。張力腿的空間模型見圖1。

圖1 張力腿空間模型Fig.1 3D model of tension leg

假設(shè)條件：①梁在線彈性范圍內(nèi)工作，忽略其橫向應(yīng)變；②梁在彎曲過程中，橫截面始終與中性面垂直；③忽略梁繞自身軸線的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)和溫度所引起的應(yīng)變；④海流和波浪沿著同一方向傳播，海流的速度隨著水深變化。

如圖2所示，考慮空間梁的原始長度為L，軸向位移為u(X,t)，橫向位移為v(X,t)，流向位移為w(X,t)，虛線表示初始形狀，實(shí)線表示變形后形狀。

圖2 空間梁中心面的初始形狀和變形后形狀Fig.2 The initial and deformed shape of the center plane of 3D beam

1.2 應(yīng)力、位移和應(yīng)變

根據(jù)Kirchhoff假設(shè)，柔性梁的3個方向的位移可表示為

式中，u1、u2、u3分別為X、Y、Z方向的位移；u(X,t)為中性面軸向（X向）位移；v(X,t)為中性面橫向（Y向)位移；w(X,t)為中性面流向（Z向）位移。

假設(shè)梁的應(yīng)變是小應(yīng)變，并且可以適度旋轉(zhuǎn)，可得

將式（1）、式（2）代入格林應(yīng)變公式得

式中，εij為應(yīng)變。

本文中，(')表示??X；（·）表示?/?t。

1.3 Euler?Lagrange方程

結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能

式中，A為梁的橫截面面積；σ~ij為所受應(yīng)力。

應(yīng)變和應(yīng)力的本構(gòu)方程：

根據(jù)假設(shè)②，變形后橫截面的平面仍與變形后的軸線相垂直，這就導(dǎo)致了泊松比并不會影響到結(jié)果［13］。不考慮泊松比，可得

由于在積分時，Y、Z的奇次項(xiàng)積分為零，Y2、Z2的積分分別是對Z軸和Y軸的截面慣性矩，即

式中，IZ為張力腿橫截面對Z軸的慣性距；IY為張力腿橫截面對Y軸的慣性距。

則式（7）可簡化為

結(jié)構(gòu)的動能：

則Lagrange函數(shù)為

綜合以上，我們就得到了結(jié)構(gòu)的動能、勢能（應(yīng)變能）和相應(yīng)的Lagrange函數(shù)。

1.4 空間動力學(xué)方程的推導(dǎo)和邊界條件

依據(jù)Hamilton原理，有

式中，ts、te分別為起始和結(jié)束時間點(diǎn)；κ為拉格朗日函數(shù)；δW為外力所做的虛功。

δW的表達(dá)式：

式中，fX(X,t)、fY(X,t)、fZ(X,t)分別為結(jié)構(gòu)在X、Y、Z方向所受的均布載荷。

式中，ρ為結(jié)構(gòu)的密度；A為張力腿橫截面面積；E為結(jié)構(gòu)材料的彈性模量。

根據(jù)Hamilton原理式（11），得空間動力學(xué)方程：

式中，fX為結(jié)構(gòu)軸向載荷；fY為結(jié)構(gòu)橫向載荷；fZ為結(jié)構(gòu)流向載荷。

TLP在風(fēng)、浪和流的作用下會發(fā)生復(fù)雜的運(yùn)動。若將平臺看成是一剛體，則其運(yùn)動有6個自由度，分別為縱蕩、橫蕩、垂蕩、橫搖、縱搖和艏搖，并且平臺的運(yùn)動及其所在位置對張力腿的設(shè)計有重要影響。在計算張力腿的響應(yīng)時，通常把平臺運(yùn)動響應(yīng)施加到張力腿的控制方程的邊界條件上。TLP底端為固定鉸支座，頂端為移動鉸支座，限制了平臺的轉(zhuǎn)動和橫蕩，我們考慮平臺縱蕩和垂蕩運(yùn)動［14?15］。

相應(yīng)的邊界條件如下：

式中，UL0為在初始預(yù)張力作用下，頂端所產(chǎn)生的初始位移；T0為張力腿的初始預(yù)張力；U(t)為張力腿平臺垂蕩運(yùn)動形式；W(t)為張力腿平臺縱蕩運(yùn)動形式。

2 結(jié)構(gòu)載荷

2.1 軸向載荷

對于結(jié)構(gòu)的軸向作用力，我們只考慮結(jié)構(gòu)的自重和浮力，可近似表達(dá)為

式中，ρf、ρ分別為海水和結(jié)構(gòu)物密度；Vf、V分別為海水和結(jié)構(gòu)物體積。

2.2 橫向載荷

結(jié)構(gòu)的橫向作用力由兩部分組成，一部分是漩渦脫落過程產(chǎn)生的渦激升力，記為FL(X,t)；另一部分是橫向運(yùn)動產(chǎn)生的流體的阻尼力，記為FD(X,t)，則

渦激升力可近似表達(dá)為漩渦泄放頻率的簡諧函數(shù)，當(dāng)泄放頻率與結(jié)構(gòu)的固有頻率相近時，結(jié)構(gòu)就會發(fā)生諧振。渦激升力：

式中，D為張力腿的直徑；vc為海流速度；U˙z為波浪水質(zhì)點(diǎn)水平速度；CL為升力系數(shù)；ωs為渦激頻率。

水平波速分別采用規(guī)則波和隨機(jī)波兩種，流速沿水深變化。

（1）線性波。線性波的波面方程和波速為

式中，H為波浪高度；Tw為波浪周期；k為波數(shù)，k=2π Lw,Lw為波長；d為平臺吃水深度；ωw為波浪頻率；φn為相位角。

（2）隨機(jī)波。本文采用Pierson?Moskowitz海浪譜（P?M譜）表述隨機(jī)波，其基本形式為

功率譜可以用有效波高Hs表示，Hs可以定義為

隨機(jī)波的波面方程可以看作無數(shù)個振幅不同、波頻不同、初相位隨機(jī)的簡諧波累積疊加而成，但在實(shí)驗(yàn)分析中一般可以選用有限個簡諧波模擬，即

式中，ai為第i個波的波高；ωi為第i個波的頻率?；贏riy波理論可以得到隨機(jī)波的水平波速為

隨機(jī)波的水平加速度為

假設(shè)海流沿水深線性變化，其流速為

式中，X為垂直方向位移。

結(jié)構(gòu)橫向運(yùn)動產(chǎn)生的流體的阻尼力，采用莫里森（Morison）公式描述：

式中，CD為黏性阻力系數(shù)；CA為附加質(zhì)量系數(shù)。

所以，結(jié)構(gòu)的橫向作用力為

2.3 順流向載荷

由于圓柱尾流渦街的形成，對于結(jié)構(gòu)的順流向作用力可以分為兩部分：尾流渦街引起沿流向的脈動拖拽力和波浪的作用力。這樣順流向受力可以表達(dá)成：

式中，CM為慣性力系數(shù)為脈動拖拽力系數(shù)。

3 數(shù)值計算與分析

3.1 定常流線性波結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)

對于采用線性波、線性流的動力學(xué)方程，可以用伽遼金法對方程進(jìn)行變量分離求解。空間模態(tài)方程的求解采用經(jīng)典四階龍格庫塔方法。張力腿計算參數(shù)的選取見表1。

表1 張力腿參數(shù)Tab.1 Parameters of TLP

3.1.1 流速對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響

海流流速對振動響應(yīng)的影響比較復(fù)雜，流速增大使激勵力幅值增大，導(dǎo)致響應(yīng)幅值增大，但流速增大又會使流體的阻尼力增大，導(dǎo)致響應(yīng)幅值減小。

為了觀察海流流速對結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的影響，結(jié)構(gòu)參數(shù)參照表1，其波浪參數(shù)見表2。當(dāng)流體流經(jīng)結(jié)構(gòu)時，雷諾數(shù)Re對漩渦的形成和泄放產(chǎn)生影響。漩渦的泄放頻率fs稱為斯托羅哈爾（Strouhal）頻率，可依據(jù)下式確定：

式中，D為柱體直徑；S為Strouhal數(shù)，是個無因次數(shù)，與雷諾數(shù)Re相關(guān)。

表2 波浪參數(shù)表1Tab.2 Parameter table 1 of wave

當(dāng)Re＜47時，尾部無渦流形成，Re＞400時，有渦流形成，且S≈0.20±0.02。這里取S=0.20。

圖3是流速分別為0.2 m/s、0.6 m/s、1.4 m/s、2.2 m/s下張力腿沿軸線中點(diǎn)處的橫向位移時程曲線圖?？梢园l(fā)現(xiàn)除了圖3a，其余橫向位移振動形式基本一致，并且隨著流速的增大，其位移振動頻率越來越快。圖4是海流流速在0.05～2.5 m/s變化過程中橫向位移振幅的變化。隨著海流流速的增大，橫向位移幅值也逐漸增大，并且發(fā)現(xiàn)在當(dāng)流速為0.45 m/s時，其幅值最大，主要是由于結(jié)構(gòu)的漩渦脫落頻率接近結(jié)構(gòu)的固有頻率，發(fā)生共振，此時的漩渦脫落頻率為0.618 rad/s。

圖3 不同海流流速下張力腿中點(diǎn)處的橫向位移Fig.3 Transverse displacement in the middle of the leg under different current velocity

圖4海流流速對橫向位移振幅的影響Fig.4 Effect of current velocity on transverse displacement

圖5 是流速分別為0.2 m/s、0.4 m/s、0.8 m/s、1.2 m/s下張力腿中點(diǎn)處的順流向的位移時程曲線圖。可以看出海流流速發(fā)生變化，但其位移的振動頻率幾乎不變；隨著海流流速的增大，其位移曲線整體上移。隨著流速增大，考慮和未考慮脈動拖拽力的兩條曲線的位移差值也隨之增大。

圖5 不同海流流速下張力腿中點(diǎn)處順流向位移Fig.5 In line displacement in the middle of the leg under different current velocity

3.1.2 波高對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響

這里主要考慮結(jié)構(gòu)受波浪的單獨(dú)作用，選取表3的參數(shù)，計算張力腿的結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)。

波頻 ωw（rad/s）0.593 8渦激頻率ωs（rad/s）0.62有效波高Hs（m）10，15，20

圖6是僅波浪作用下張力腿中點(diǎn)處的橫向位移時程圖，可以看出，橫向位移隨著波高的增大而增大；而圖7所示波流聯(lián)合作用時，此時海流流速vc=0.45 m/s，發(fā)現(xiàn)波高雖有變化，但其位移曲線都很接近，說明波高對橫向位移響應(yīng)貢獻(xiàn)比較小。圖8是僅波浪作用下張力腿中點(diǎn)處的順流向位移時程圖，可以看出，且波高對結(jié)構(gòu)順流向位移的影響很小。

圖6 僅波浪作用下張力腿中點(diǎn)處橫向位移Fig.6 Transverse displacement in the middle of the leg under wave

圖7 波流聯(lián)合作用下張力腿中點(diǎn)處橫向位移Fig.7 Transverse displacement in the middle of the leg under combined action

圖9 和圖10分別是張力腿在不同波高下的橫向均方根彎曲應(yīng)力和順流向均方根彎曲應(yīng)力。對于圖9，彎曲應(yīng)力隨著波高的增大而增大，在靠近張力腿頂端處其彎曲應(yīng)力最大。在圖9中，波高只對靠近張力腿頂端部分起作用，對結(jié)構(gòu)其余部分幾乎沒有影響。

3.1.3 波浪圓頻率對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響

不考慮海流的作用，選取表1和表4的相關(guān)參數(shù)。圖11為不同波頻與中點(diǎn)處橫向位移的關(guān)系?？梢钥吹剑渲悬c(diǎn)處橫向位移隨著波頻的增大而減小，衰減速度很快。

圖9 橫向均方根彎曲應(yīng)力Fig.9 Transverse MST bending stress of the leg

圖10 順流向均方根彎曲應(yīng)力Fig.10 In line MST bending stress of the leg

表4 波浪參數(shù)表3Tab.4 Parameter table 3 of wave

圖11 不同波頻下張力腿中點(diǎn)處橫向位移Fig.11 Transverse displacement in the middle of the leg under different frequency

3.1.4 升力系數(shù)對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響

選取表1和表5的相關(guān)參數(shù)，計算升力系數(shù)對結(jié)構(gòu)橫向響應(yīng)的影響，如圖12所示。

表5 環(huán)境參數(shù)Tab.5 Parameters of environment

圖12 升力系數(shù)CL與張力腿中點(diǎn)處最大橫向位移的關(guān)系Fig.12 Relationship betweenCLand max transverse displacement in the middle of the leg

由圖12可見，升力系數(shù)在0.01～3變化過程中張力腿中點(diǎn)處橫向位移幅值變化，隨著升力系數(shù)的增大，其橫向最大位移也隨之增大，并且近似于線性增長。

3.1.5 脈動拖拽力系數(shù)對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響

選取表1和表5的參數(shù)，計算脈動拖拽力系數(shù)與張力腿中點(diǎn)處順流向位移幅值的關(guān)系，見圖13。

圖13 脈動拖拽力系數(shù)C′D與順流向位移的關(guān)系Fig.13Relationship betweenC′Dand in line displacement

明顯看出：當(dāng)0＜C′D＜2，順流向位移幅值呈現(xiàn)近似線性增長趨勢；當(dāng)2＜C′D＜3，幅值又呈現(xiàn)減小趨勢，并且兩種趨勢的位移幅值變化均很小。

3.2 隨機(jī)波結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)

對于考慮平臺運(yùn)動的梯度流、隨機(jī)波下的動力學(xué)方程，由于用伽遼金法推導(dǎo)其模態(tài)方程比較復(fù)雜，所以宜采用有限差分法來簡化運(yùn)動方程，再采用四階龍格庫塔方法求解其動力響應(yīng)。

考慮到我國南海流場的特點(diǎn)，選取南海一座典型的張力腿平臺來研究其在南海工況（一年一遇海況和百年一遇海況）下的動力響應(yīng)。南海平臺張力腿的結(jié)構(gòu)參數(shù)和環(huán)境載荷參數(shù)參考文獻(xiàn)［16?17］。

使用線性疊加法來模擬隨機(jī)波的波面時間歷程。圖14和圖15分別為不同有效波高的P?M譜圖和不同波高下的波面時間歷程圖。

圖14 不同有效波高下的P”M頻譜Fig.14 P”M spectrum under different significant wave height

由于在真實(shí)的海洋環(huán)境中，不同水深不同流速會產(chǎn)生多個漩渦脫落頻率，結(jié)構(gòu)的振動會變得復(fù)雜。為了便于分析結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)，本節(jié)僅考慮漩渦脫落頻率等于結(jié)構(gòu)固有頻率，即ωs=0.1555rad/s，取一年一遇海況和百年一遇海況進(jìn)行計算。

圖15 不同有效波高下的波高與時間關(guān)系曲線Fig.15 Wave height and time curve under different significant wave height

圖16 是一年一遇海況和百年一遇海況下張力腿中點(diǎn)處橫向和順流向時間歷程曲線圖。圖17為上述兩種工況下張力腿橫向位移和順流向位移的關(guān)系。順流向振動頻率約為橫向振動頻率的2倍，橫向位移變程約為順流向位移變程的4倍，并且其振動呈現(xiàn)斜8字形狀。

圖16 張力腿中點(diǎn)處橫向和順流向位移Fig.16 Transverse displacement and in line displacement in the middle of the leg

圖17 張力腿中點(diǎn)處v與w關(guān)系Fig.17 Relationship between transverse displacement and in line displacement in the middle of the leg

圖18 是一年一遇海況下張力腿的橫向和順流向的彎曲應(yīng)力均方根圖。張力腿應(yīng)力分布表現(xiàn)為底部和中部的應(yīng)力較小，而在上部的應(yīng)力較大；橫向和順流向的彎曲應(yīng)力最大發(fā)生處都在1 403 m，此時橫向應(yīng)力為14.15 MPa，順流向應(yīng)力為13.76 MPa。

圖19是百年一遇海況下張力腿的均方根彎曲應(yīng)力圖。與圖18一樣，最大應(yīng)力發(fā)生在張力腿頂端處，其橫向最大彎曲應(yīng)力為37.43 MPa，順流向最大彎曲應(yīng)力為25.22 MPa。

圖18 一年一海況遇下張力腿均方根彎曲應(yīng)力圖Fig.18 MST bending stress under a once”in”a year sea condition

圖19 百年一遇海況下張力腿均方根彎曲應(yīng)力圖Fig.19 MST bending stress under a”hundred”year sea condition

4 結(jié)論

（1）海流流速對結(jié)構(gòu)橫向響應(yīng)的影響較大，流速越大，振動頻率越大。漩渦脫落頻率接近固有頻率時，激發(fā)渦激共振；對結(jié)構(gòu)的順流向位移也有明顯影響，流速越大，其位移時程曲線整體上移越快，同時發(fā)現(xiàn)流速越大，其脈動拖拽力對響應(yīng)就越明顯。

（2）考慮波高的變化，發(fā)現(xiàn)波高對結(jié)構(gòu)沿軸線方向中點(diǎn)處橫向和順流向位移的影響不明顯；但是對頂部彎曲應(yīng)力的影響顯著，波高越大，其彎曲應(yīng)力越大。

（3）考慮波浪圓頻率的變化，發(fā)現(xiàn)波浪圓頻率越大，結(jié)構(gòu)中點(diǎn)處橫向位移越小，而且減小速率很快；對其順流向位移的影響不明顯。

（4）結(jié)構(gòu)橫向位移隨著橫向升力系數(shù)增大而增大，呈線性增長；順流向位移對脈動拖拽力系數(shù)的變化不敏感。