李color三系的導(dǎo)子、廣義導(dǎo)子和擬導(dǎo)子

張 健，曹 燕

(哈爾濱理工大學(xué)理學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150080)

1 預(yù)備知識

文獻[1]研究了李color代數(shù)的廣義導(dǎo)子.文獻[2-4]討論了李三系的廣義導(dǎo)子、Jordanθ-導(dǎo)子和廣義Jordan導(dǎo)子.李超三系和李超代數(shù)的廣義導(dǎo)子的結(jié)論在文獻[5-6]中得以推廣.文獻[7]給出了李color三系的定義.李color三系是李三系和李三超系的推廣，從而一個自然的問題被提出，即李三系上的一些結(jié)果能否推廣到李color三系上.文獻[8]研究了李color三系導(dǎo)子的一些結(jié)果，本文在其基礎(chǔ)上給出了李color三系的導(dǎo)子、廣義導(dǎo)子和擬導(dǎo)子的一些結(jié)果.

本文中F表示特征不為3的任意域.

定義1.1[1]設(shè)G是交換群，F(xiàn)是任意域.映射ε：G×G→F{0}稱為G的斜對稱雙特征標(或交換因子)，如果?α，β，γ∈G，都有下列三個等式成立：

ε(α，β)ε(β，α)=1，

ε(α，β+γ)=ε(α，β)ε(α，γ)，

ε(α+β，γ)=ε(α，γ)ε(β，γ).

在本節(jié)中，如果x，y，z是G-階化向量空間中的齊次元，則以|x|，|y|，|z|∈G表示它們的次數(shù).為方便起見，用ε(x，y)代表ε(|x|，|y|)，用ε(x，y+z)代表ε(|x|，|y|+|z|)，以此類推.此外，符號ε(x，y)若出現(xiàn)便意味著x，y是齊次元.

[Aɡ，Aɡ′]?Aɡ+ɡ′，?ɡ，ɡ′∈G，

[x，y]=-ε(x，y)[y，x]，?x∈A|x|，y∈A|y|，

ε(z，x)[x，[y，z]]+ε(x，y)[y，[z，x]]+ε(y，z)[z，[x，y]]=0，?x∈A|x|，y∈A|y|，z∈A|z|.

對任意x，y，當(dāng)ε(x，y)=(-1)|x||y|時，李color代數(shù)成為李超代數(shù)；當(dāng)ε(x，y)≡1時，李color代數(shù)成為李代數(shù).因此，李color代數(shù)是一類包含李代數(shù)和李超代數(shù)的更廣泛的代數(shù)結(jié)構(gòu).

(1) [x，y，z]=-ε(x，y)[y，x，z]；

(2)ε(z，x)[x，y，z]+ε(x，y)[y，z，x]+ε(y，z)[z，x，y]=0；

(3) [u，v，[x，y，z]]=[[u，v，x]，y，z]+ε(u+v，x)[x，[u，v，y]，z]+ε(u+v，x+y)[x，y，[u，v，z]]，?x，y，z，u，v∈T.

則稱T是color三系.

對任意x，y，當(dāng)ε(x，y)=(-1)|x||y|時，李color三系成為李三超系；當(dāng)ε(x，y)≡1時，李color三系成為李三系.因此，李color三系是一類包含李三系和李三超系的更廣泛的代數(shù)結(jié)構(gòu).

Endθ(T)={D∈End(T)|D(Tμ)?Tθ+μ，?μ∈G}.

[Dθ，Dμ]=DθDμ-ε(θ，μ)DμDθ，?Dθ，Dμ∈End(T).

直接驗證可知關(guān)于此方括號乘法，End(T)是一個李color代數(shù).

定義1.4[7]設(shè)T是域F上的李color三系，D∈Endθ(T)，其中θ∈G.如果

D([x，y，z])=[D(x)，y，z]+ε(θ，x)[x，D(y)，z]+ε(θ，x+y)[x，y，D(z)]，

?x，y，z∈T，則稱D是T的次數(shù)為θ的導(dǎo)子.

[D(x)，y，z]+ε(θ，x)[x，D′(y)，z]+ε(θ，x+y)[x，y，D″(z)]=D?([x，y，z])，

?x，y，z∈T，則稱D是T的次數(shù)為θ的廣義導(dǎo)子.若存在D′∈Endθ(T)，滿足

[D(x)，y，z]+ε(θ，x)[x，D(y)，z]+ε(θ，x+y)[x，y，D(z)]=D′([x，y，z])，?x，y，z∈T，

則稱D是T的次數(shù)為θ的擬導(dǎo)子.

令GDerθ(T)為T的所有次數(shù)為θ的廣義導(dǎo)子的集合，QDerθ(T)為T的所有次數(shù)為θ的齊次擬導(dǎo)子的集合，這里θ∈G，定義

Cθ(T)={D∈Endθ(T)|[D(x)，y，z]=ε(θ，x)[x，D(y)，z]=
ε(θ，x+y)[x，y，D(z)]=D([x，y，z])}，

?x，y，z∈T.令

QCθ(T)={D∈Endθ(T)|[D(x)，y，z]=ε(θ，x)[x，D(y)，z]=ε(θ，x+y)[x，y，D(z)]}，

2 主要結(jié)果

定理2.1設(shè)T是李color三系，則下面結(jié)論成立：

(1) [Der(T)，C(T)]?C(T)；

(2) [QDer(T)，QC(T)]?QC(T)；

(6) G中不存在這樣的4-三角8-點v,使得v關(guān)聯(lián)3個(3,3,8)-面和一個(3,4-,8)-面。

(3) C(T)?QDer(T).

證明(1) ?Dθ∈Derθ(T)，Dμ∈Cμ(T)，?x，y，z∈T，有

[DθDμ(x)，y，z]=Dθ([Dμ(x)，y，z])-ε(θ，μ+x)[Dμ(x)，Dθ(y)，z]-
ε(θ，μ+x+y)[Dμ(x)，y，Dθ(z)]=
DθDμ([x，y，z])-ε(θ，μ+x)ε(μ，x)[x，DμDθ(y)，z]-
ε(θ，μ+x+y)ε(μ，x+y)[x，y，DμDθ(z)].

且

ε(θ，μ)[DμDθ(x)，y，z]=ε(θ，μ)Dμ(Dθ([x，y，z])-
ε(θ，x)[x，Dθ(y)，z]-ε(θ，x+y)[x，y，Dθ(z)])=
ε(θ，μ)DμDθ([x，y，z])-ε(θ，x)ε(μ，x)ε(θ，μ)[x，DμDθ(y)，z]-
ε(θ，x+y)ε(μ，x+y)ε(θ，μ)[x，y，DμDθ(z)].

故

[[Dθ，Dμ](x)，y，z]=DθDμ([x，y，z])-
ε(θ，μ)DμDθ([x，y，z])=[Dθ，Dμ]([x，y，z]).

同理，

[[Dθ，Dμ](x)，y，z]=ε(θ+μ，x)[x，[Dθ，Dμ](y)，z]=
ε(θ+μ，x+y)[x，y，[Dθ，Dμ](z)].

因此[Dθ，Dμ]∈Cθ+μ(T)，于是有[Der(T)，C(T)]?C(T).

結(jié)論(2)的證明類似結(jié)論(1)，此處略去.

(3) ?Dθ∈Cθ(T)，?x，y，z∈T，有

Dθ([x，y，z])=[Dθ(x)，y，z]=ε(θ，x)[x，Dθ(y)，z]=ε(θ，x+y)[x，y，Dθ(z)].

定理2.2設(shè)T是李color三系，則QDer(T)+QC(T)=GDer(T).

證明易見QDer(T)+QC(T)?GDer(T).

(1)

故

即

并且

整理得

(2)

將(1)與(2)式相加得

將(1)與(2)式相減得

同理有

即GDer(T)?QDer(T)+QC(T).

定理2.3設(shè)T是李color三系，則[C(T)，QC(T)]∈End(T，Z(T)).特別地，若Z(T)={0}，則

[C(T)，QC(T)]={0}.

證明?Dθ∈Cθ(T)，Dμ∈QCμ(T)，?x，y，z∈T，有

[[Dθ，Dμ](x)，y，z]=[DθDμ(x)，y，z]-ε(θ，μ)[DμDθ(x)，y，z]=
Dθ([Dμ(x)，y，z])-ε(θ，μ)ε(μ，θ+x)[Dθ(x)，Dμ(y)，z]=
Dθ([Dμ(x)，y，z])-ε(μ，x)Dθ([x，Dμ(y)，z])=
ε(μ，x)Dθ([x，Dμ(y)，z])-ε(μ，x)Dθ([x，Dμ(y)，z])=0.

因此[Dθ，Dμ](x)∈Z(T)，[Dθ，Dμ]∈End(T，Z(T)).若Z(T)={0}，易知[C(T)，QC(T)]={0}.