應(yīng)對(duì)“b b2 2
--4 4acac”，你準(zhǔn)備好了么？

姜鴻雁

在學(xué)習(xí)一元二次方程時(shí)，根的判別式“b2-4ac”掌握方程根情況的“生死大權(quán)”.我們知道，不解方程，可以直接根據(jù)它的符號(hào)，判斷方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)；反之也成立.但在解決問(wèn)題的過(guò)程中，難免遇到字母系數(shù)等一些“突發(fā)事件”，稍不留神便會(huì)出錯(cuò).現(xiàn)把幾個(gè)典型錯(cuò)誤列出來(lái)，進(jìn)行剖析，相信你以后定能成功繞開(kāi)它們！

例1 關(guān)于x的方程ax2+3x-1=0有實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍.

【錯(cuò)解1】由題意得：a≠0且b2-4ac≥0，即9+4a≥0，解得且a≠0；

【錯(cuò)解2】由題意得：b2-4ac≥0，解得

【剖析錯(cuò)誤】“錯(cuò)解1”錯(cuò)在哪？題目是“若關(guān)于x的方程……有實(shí)數(shù)根……”，本方程一定是一元二次方程嗎？可能是一元一次方程嗎？若是，一元一次方程定有實(shí)數(shù)根哦.看來(lái)“路”只有一條：分類討論！“錯(cuò)解2”錯(cuò)誤原因：只有在“一元二次方程”的前提下，才能用“b2-4ac”解決問(wèn)題，所以顯然不對(duì).

【正解】①當(dāng)a=0時(shí)，原方程是一元一次方程，定有實(shí)數(shù)根；②當(dāng)a≠0時(shí)，原方程是一元二次方程，因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)根，則b2-4ac≥0，即9+4a≥0，得所以且a≠0.綜上

【反思】最終答案竟然與錯(cuò)解2相同！怎么回事？怎么理解“正解”把兩種情況合并的結(jié)果？運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，利用數(shù)軸觀察是好辦法.情況②的解集可以用圖1表示（因?yàn)閍不等于0，所以用“空圈”表示），恰好情況①“a=0”將圖1中的“空圈”“補(bǔ)上”，所以最終答案是a

圖1

變式1 關(guān)于x的方程ax2+3x-1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍.

【分析與解答】對(duì)于本題，乍一讀下來(lái)，與例1“長(zhǎng)”得很像，是不是也需要討論？再仔細(xì)讀題，“……有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”，既然有“兩個(gè)實(shí)數(shù)根”，則表明原方程定是一元二次方程，所以可得：a≠0且b2-4ac≥0，則a的取值范圍是且a≠0.

例2 求證：關(guān)于x的一元二次方程x2-有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

【剖析錯(cuò)誤】眾所周知，b2-4ac的符號(hào)與方程根的情況之間存在等價(jià)關(guān)系，本題是“求證……”，即“原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”是要證明的結(jié)論，也就是證明b2-4ac＞0是目標(biāo)，而非已知條件.理順條件與結(jié)論，自然也不會(huì)出現(xiàn)一元二次不等式“解不下去”的情況.如何證明k2+k+1＞0？用配方法是很好的出路.