走進(jìn)中考看“根的判別式”

康海芯

一元二次方程根的判別式是一元二次方程的重要內(nèi)容，也是各地中考的必考知識.縱觀近兩年全國各地中考試題中，這部分內(nèi)容的考查主要包括直接運(yùn)用根的判別式判定方程根的情況、依據(jù)方程根的情況確定字母系數(shù)的取值范圍等，它通常和其他數(shù)學(xué)知識結(jié)合在一起，注重考查同學(xué)們靈活運(yùn)用根的判別式分析問題和解決問題的能力，試題難度不大，分值占全卷的6%左右.為幫助大家了解根的判別式的有關(guān)考點(diǎn)，本文將結(jié)合中考題加以分析.

考點(diǎn)1：不解方程判定方程根的情況

例1 （2017·江蘇揚(yáng)州）一元二次方程x2-7x-2=0的實(shí)數(shù)根的情況是（ ）.

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根

D.不能確定

【分析】先計(jì)算判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況.

解：∵Δ=（-7）2-4×（-2）=57＞0，

∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

故應(yīng)選：A.

【評注】本題直接考查了一元二次方程根的判別式的知識，解答這類問題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根的判別式（b2-4ac）與一元二次方程根的情況之間的關(guān)系.

考點(diǎn)2：根據(jù)方程根的情況判定字母系數(shù)的取值范圍（或值）

例2 （1）（2018·江蘇揚(yáng)州）關(guān)于x的方程mx2-2x+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么m的取值范圍是_______.

【分析】（1）根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根可知兩個(gè)結(jié)論：

①該方程是一元二次方程，即m≠0.

②該方程根的判別式大于0，即Δ＞0.

求解上述兩個(gè)不等式組成的關(guān)于m的不等式組即可得到m的取值范圍；

（2）根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根可得該方程根的判別式等于0，即Δ=0，求解關(guān)于m的一元一次方程，然后代入代數(shù)式求值即可.

解：（1）∵方程mx2-2x+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

【評注】一元二次方程一般形式要求二次項(xiàng)系數(shù)不為0，這一點(diǎn)在此類問題中經(jīng)常被忽視；一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根包含兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根和兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根兩種情況，也需要綜合考慮，不能遺漏.

考點(diǎn)3：判定含有字母系數(shù)方程根的情況

例3 （2018·北京）關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1=0.

（1）當(dāng)b=a+2時(shí)，利用根的判別式判斷方程根的情況.

（2）若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，寫出一組滿足條件的a，b的值，并求此時(shí)方程的根.

【分析】（1）先依據(jù)根的判別式求出Δ的表達(dá)式，利用平方的非負(fù)性來判斷Δ的符號，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況.

（2）利用方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根得到Δ=b2-4a=0，設(shè)b=2，a=1，方程變形為x2+2x+1=0，然后解方程即可.

解：（1）因?yàn)閍x2+bx+1=0是一元二次方程，所以a≠0，

當(dāng)b=a+2時(shí)，Δ=b2-4a=（a+2）2-4a=a2+4a+4-4a=a2+4，

∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

（2）∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

即b2=4a，

因?yàn)閍，b的取值不唯一，如b=2，a=1，則方程變形為x2+2x+1=0.

解得x1=x2=-1.

【評注】利用根的判別式判定含有字母系數(shù)的一元二次方程根的情況時(shí)，常用的解法是利用配方法對判別式進(jìn)行變形，根據(jù)平方的非負(fù)性證明即可.

考點(diǎn)4：根據(jù)一元二次方程方程根的情況確定方程的根

例4 （2018·福建）已知關(guān)于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，下列判斷正確的是（ ）.

A.1一定不是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根

B.0一定不是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根

C.1和-1都是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根

D.1和-1不都是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根

【分析】根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根可得出Δ=0，即4b2-4（a+1）2=0，得到b=a+1或b=-（a+1）.當(dāng)b=a+1時(shí)，-1是方程x2+bx+a=0的根；當(dāng)b=-（a+1）時(shí)，1是方程x2+bx+a=0的根.再結(jié)合a+1≠-（a+1），可得出1和-1不都是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根.

解：∵關(guān)于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)題意得：

∴b=a+1或b=-（a+1）.

當(dāng)b=a+1時(shí)，有a-b+1=0，此時(shí)-1是方程x2+bx+a=0的根；

當(dāng)b=-（a+1）時(shí)，有a+b+1=0，此時(shí)1是方程x2+bx+a=0的根.

∴1和-1不都是關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的根.

故應(yīng)選：D.

【評注】本題考查的是一元二次方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的條件下探究根的取值，考查角度新穎.解答這類問題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)根的判別式與方程之間存在的隱含數(shù)量關(guān)系.

考點(diǎn)5：根的判別式與其他知識的綜合

例5 （2018·湖北鄂州）已知關(guān)于x的方程x2-（3k+3）x+2k2+4k+2=0.

（1）求證：無論k為何值時(shí)，原方程都有實(shí)數(shù)根.

（2）若該方程的兩實(shí)數(shù)根x1、x2為一菱形的兩條對角線之長，且x1x2+2x1+2x2=36，求k值及該菱形的面積.

【分析】（1）計(jì)算根的判別式Δ與0的關(guān)系，即可確定原方程根的情況.

（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及已知條件，可構(gòu)造關(guān)于k的方程，可求得k.菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半，即

解：（1）Δ=b2-4ac

∵無論k為何值時(shí)，（k+1）2≥0，

∴無論k為何值時(shí)，原方程都有實(shí)數(shù)根；

（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得：

【評注】關(guān)于x1，x2的對稱式通?？梢赞D(zhuǎn)化成只含x1+x2，x1x2形式的式子，然后將x1+x2=代入.要特別注意一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用的前提條件是方程必須要有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即Δ大于或等于0.