“減肥法”妙解大系數(shù)的一元二次方程

江蘇省揚(yáng)州市梅嶺中學(xué)九（10）班 葉初胤

在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，我們遇到了很多用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題的試題.所列的一元二次方程中，一次項(xiàng)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的絕對(duì)值比較大，我們可稱之為“大系數(shù)”.如何妙解含有“大系數(shù)”的一元二次方程？今天我來(lái)介紹一種“減肥法”.

下面的例題是2017年銅仁市中考試卷的第23題，題目如下：

某商店以20元/千克的單價(jià)新進(jìn)一批商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在一段時(shí)間內(nèi)，銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元/千克）之間為一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示.

（1）求y與x的函數(shù)表達(dá)式；

（2）要使銷售利潤(rùn)達(dá)到800元，銷售單價(jià)應(yīng)定為每千克多少元？

【解析】本題考查了一元二次方程在銷售方面的應(yīng)用.

（1）需要分類討論，分0＜x≤20與20≤x≤80兩種情況，當(dāng)20≤x≤80時(shí)，利用待定系數(shù)法，即可得到y(tǒng)與x的函數(shù)表達(dá)式.

（2）根據(jù)“每件商品的利潤(rùn)×銷量數(shù)量=總利潤(rùn)”列出一元二次方程，解方程即可得到銷售單價(jià)，最后按照所要滿足的條件進(jìn)行檢驗(yàn)即可.

解：（1）當(dāng)0＜x≤20時(shí)，y=60；

當(dāng)20≤x≤80時(shí)，設(shè)y與x的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，把點(diǎn)（20，60），（80，0）代入，可得：

∴y與x的函數(shù)表達(dá)式為

（2）若銷售利潤(rùn)達(dá)到800元，根據(jù)題意，得：

化簡(jiǎn)為：x2-100x+2400=0，

解得：x1=40，x2=60.

答：要使銷售利潤(rùn)達(dá)到800元，銷售單價(jià)應(yīng)定為每千克40元或60元.

那么如何妙解“大系數(shù)”方程x2-100x+2400=0呢？其實(shí)用公式法、配方法都是很麻煩的，能力強(qiáng)的同學(xué)可以直接用因式分解法——十字相乘法.

我們可以這樣做：先將一次項(xiàng)系數(shù)除以10，再將常數(shù)項(xiàng)除以100（即10的平方），由此得到了新方程為x2-10x+24=0.再逆向思考或者用“十字相乘法”進(jìn)行因式分解，可知：x2-10x+24=（x-4）（x-6），所以方程x2-10x+24=0易解得：x1=4，x2=6.然后將這兩個(gè)根分別再乘10，就得到了原方程的解：x1=40，x2=60.

這個(gè)方法是不是很巧妙??？那么這里包含著什么原理呢？讓我們來(lái)做驗(yàn)證.

假設(shè)x2-px+q=0的兩個(gè)根分別為m、n，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到m+n=p，mn=q.如果一個(gè)含有“大系數(shù)”的方程x2-bx+c=0的兩根分別是m、n的k倍，則x2-bx+c=0的兩個(gè)根分別為km、kn，那么兩根之和為b=km+kn=k（m+n）=kp，兩根之積為c=km×kn=k2（mn）=k2q.我們?cè)侔褍蓚€(gè)方程列表對(duì)比：

兩根之積q c=k2q方程___x2-px+q=0_____x2-bx+c=0____方程的兩根_m，n________km，kn______兩根之和p b=kp

由此可見，我們將方程x2-bx+c=0的一次項(xiàng)系數(shù)除以k，并把常數(shù)項(xiàng)除以k2，由此得到新方程為x2-px+q=0，而方程x2-bx+c=0的兩個(gè)根分別為方程x2-px+q=0的兩個(gè)根的k倍.這就是“減肥法”的妙處所在.

好了，下面請(qǐng)你也來(lái)試一試，請(qǐng)用才學(xué)到的“減肥法”妙解下面的中考題：

（2018·遵義）在水果銷售旺季，某水果店購(gòu)進(jìn)一優(yōu)質(zhì)水果，進(jìn)價(jià)為20元/千克，售價(jià)不低于20元/千克，且不超過(guò)32元/千克.根據(jù)銷售情況，發(fā)現(xiàn)該水果一天的銷售量y（千克）與該天的售價(jià)x（元/千克）滿足如下表所示的一次函數(shù)關(guān)系._____________________________

售價(jià)x（元/千克）…22.6 24 25.2 26…銷售量y（千克）…34.8 32 29.6 28…

（1）某天這種水果的售價(jià)為23.5元/千克，求當(dāng)天該水果的銷售量.

（2）如果某天銷售這種水果獲利150元，那么該天水果的售價(jià)為多少元？

【解析】（1）根據(jù)表格內(nèi)的數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法可求出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，再代入x=23.5即可求出結(jié)論；

（2）根據(jù)總利潤(rùn)=每千克利潤(rùn)×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論.

解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，

將點(diǎn)（22.6，34.8）、（24，32）代入y=kx+b，得

∴y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y=-2x+80.

當(dāng)x=23.5時(shí)，y=-2x+80=33.

答：當(dāng)天該水果的銷售量為33千克.

（2）根據(jù)題意得：（x-20）（-2x+80）=150，

整理得：x2-60x+875=0，

解得：x1=35，x2=25.

答：如果某天銷售這種水果獲利150元，那么該天水果的售價(jià)為25元.

請(qǐng)你認(rèn)真思考一下，在解方程x2-60x+875=0時(shí)，先將一次項(xiàng)系數(shù)除以多少，再將常數(shù)項(xiàng)除以多少，就可以用“減肥法”求得這個(gè)方程的根？

下面，請(qǐng)你用所學(xué)的“減肥法”解決一道今年的中考題.

（2018·德州）為積極響應(yīng)新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換，提高公司經(jīng)濟(jì)效益，某科技公司近期研發(fā)出一種新型高科技設(shè)備，每臺(tái)設(shè)備成本價(jià)為30萬(wàn)元.經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每臺(tái)售價(jià)為40萬(wàn)元時(shí)，年銷售量為600臺(tái)；每臺(tái)售價(jià)為45萬(wàn)元時(shí)，年銷售量為550臺(tái).假定該設(shè)備的年銷售量y（單位：臺(tái)）和銷售單價(jià)x（單位：萬(wàn)元）成一次函數(shù)關(guān)系.

（1）求年銷售量y與銷售單價(jià)x的函數(shù)表達(dá)式.

（2）根據(jù)相關(guān)規(guī)定，此設(shè)備的銷售單價(jià)不得高于70萬(wàn)元，如果該公司想獲得10000萬(wàn)元的年利潤(rùn)，則該設(shè)備的銷售單價(jià)應(yīng)是多少萬(wàn)元？

參考答案：

解：（1）設(shè)年銷售量y與銷售單價(jià)x的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b（k≠0），

將點(diǎn)（40，600）、（45，550）代入y=kx+b，得：

∴年銷售量y與銷售單價(jià)x的函數(shù)表達(dá)式為y=-10x+1000.

（2）設(shè)此設(shè)備的銷售單價(jià)為x萬(wàn)元/臺(tái)，則每臺(tái)設(shè)備的利潤(rùn)為（x-30）萬(wàn)元，銷售數(shù)量為（-10x+1000）臺(tái)，根據(jù)題意，得：

整理，得：x2-130x+4000=0，

解得：x1=50，x2=80.

∵此設(shè)備的銷售單價(jià)不得高于70萬(wàn)元，

∴x=50.

答：該設(shè)備的銷售單價(jià)應(yīng)是50萬(wàn)元/臺(tái).

教師點(diǎn)評(píng)

數(shù)學(xué)的樂(lè)趣在于深入研究和橫向聯(lián)系.這篇文章結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，探究了“減肥法”解決“大系數(shù)”方程的依據(jù)和一般方法，是對(duì)一元二次方程的四種通用解法的有效補(bǔ)充.