平面中一種保長度的曲線流

張海霞，孫澤鎮(zhèn)

(溫州大學(xué)數(shù)理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035)

近年來，受外力影響的曲線發(fā)展問題受到了有關(guān)學(xué)者的關(guān)注．文獻(xiàn)[1-4]所研究的著名的平面曲線收縮流，證明了在曲線發(fā)展過程中，平面上的初始閉凸曲線仍保持凸性，并且變得越來越圓，最后，在有限的時間內(nèi)，收縮成一個圓點．Gage[5]研究了平面上一種保面積流，這種流在發(fā)展過程中保持面積不變，曲線長度減小，保持凸性，最終收斂到一個圓．在Gage保面積流的基礎(chǔ)上，Mao等[6]又提出了新的保面積流．文獻(xiàn)[7-9]介紹了平面上三種不同類型的保長度流．Jiang和Pan[10]研究了一種曲線長度減小但其所圍區(qū)域面積不斷增大的非局部平面曲線，證明了曲線在發(fā)展過程中仍保持凸性且最終發(fā)展成一個圓．

本文的主要結(jié)論如下：

定理1 假設(shè) F0（u）是平面上的一條光滑的閉的凸曲線，是一簇平面曲線且滿足：

其中0≤α≤1．那么對任意的 t ∈ [ 0,+ ∞) ，曲線流問題（2）都有全局解，曲線保持凸性，曲線的長度保持不變和所圍區(qū)域的面積增大，并且在發(fā)展的過程中，曲線變得越來越圓，當(dāng)時間t趨于無窮時，曲線在 C0范數(shù)下收斂到有限圓．

1 預(yù)備知識

由于改變發(fā)展方程的切向向量只影響曲線的參數(shù)表示，而不影響曲線的最終幾何形狀[3,11]，所以可以選擇一個適當(dāng)?shù)那邢蛳蛄?m =m（u, t）來簡化曲線的幾何分析．因此，可以考慮如下與式（2）等價的發(fā)展問題：

注意到曲線的長度L以及它所圍區(qū)域的面積A都是不依賴于m的，一般來說，θ是關(guān)于u和t的函數(shù)，為了使θ和時間t獨立，令方程（7）為0，即為了簡化分析過程，可以將參數(shù)（u, t）變換成參數(shù)（θ, ? ）．

接下來，繼續(xù)討論如下與式（2）等價的發(fā)展問題：

在新的參數(shù)下，T和N都是不依賴于時間t的，并且在參數(shù)θ和?下曲率的發(fā)展方程可以表示如下：

2 主要引理

引理1 如果平面上一條嚴(yán)格凸曲線按照（12）發(fā)展，那么在發(fā)展過程中，曲線的長度不變，面積增大．

證畢．

引理 2 如果平面上一條嚴(yán)格凸曲線按照（12）發(fā)展，且在發(fā)展過程中沒有產(chǎn)生奇點，那么發(fā)展曲線的等周差L2-4Aπ單調(diào)遞減，并且當(dāng)時間t趨于無窮時，等周差收斂到0．

證明：

因此，L2-4Aπ單調(diào)遞減，不等式兩邊同時積分，得到故當(dāng)t→ ∞ ，有 L2- 4 A π → 0 ．

引理3 曲線流（2）的曲率發(fā)展方程可以變換為標(biāo)準(zhǔn)熱方程，且解存在．

證畢．

引理4 如果一條嚴(yán)格閉凸曲線按照（12）發(fā)展，那么它在發(fā)展過程中保持凸性．

證明：因曲率 k0（θ）在區(qū)間［0, 2 π］上有界，所以在區(qū)間［0, 2 π ］上也有界．

假設(shè)在區(qū)間［0, 2 π］上，有 δ ≤ W （θ, 0 ） ≤ M ，由于所以有：

因此，熱傳導(dǎo)方程的解 W （θ, ? ）在區(qū)間［0, 2 π ］× ［ 0 , ∞ ）上一致有界，即存在一個整數(shù)，使得那么存在，當(dāng)）時，有所以

本文中，曲線流的支撐函數(shù)是光滑的，且具有整體存在性，可以利用此特征來推導(dǎo)出曲線的整體存在性．

引理5 支撐函數(shù)p的發(fā)展方程滿足如下方程：

引理6 支撐函數(shù)p滿足如下方程：

且p∈ ［ 0,2π ］ × ［ 0 , ∞ ）．

根據(jù)熱傳導(dǎo)方程的解，可以得到：

即

接下來，將方程（16）變形，可得：

證明：平面上任意一條閉凸曲線都可由支撐函數(shù)唯一地表示，那么）可以表示為那么有：

作參數(shù)變換，令θ =θ（ μ, t ），?=t，則θ滿足如下函數(shù)：

可知θ （μ, t ）是上述方程的唯一解，那么有：

于是引理得證．

3 定理1的證明

如果曲線按照（2）發(fā)展，由引理1和引理4可知，在發(fā)展過程中，曲線的長度保持不變和所圍區(qū)域的面積增大，曲線保持凸性．由引理6和引理7可知，支撐函數(shù)具有長時存在性，因此曲線流（2）也具有長時存在性．由引理3可知，曲率k是可微的．由引理2可知，等周差單調(diào)遞減，當(dāng)t→+∞ ，有 L2- 4 A π → 0 ．根據(jù)Bonnesen不等式[12]有：

于是完成了證明．