A-B效應(yīng)中開路相位的厘定

李 兵，王明鋒，劉 剛

(溫州大學(xué)數(shù)理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035)

早在1959年，Aharonov Y和Bohm D[1]預(yù)言電子在無電磁場而有電磁勢的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)時(shí)，電子雖然沒有受到力的作用，但電子波的衍射圖樣同樣會(huì)發(fā)生移動(dòng)，從而證明電磁勢在量子物理中是可以被觀察的物理量．A-B效應(yīng)體現(xiàn)了從整體描述物理過程的重要性，體現(xiàn)了物理過程的幾何效應(yīng)．同時(shí)，在非電磁領(lǐng)域，人們也發(fā)現(xiàn)和驗(yàn)證了一些類似A-B效應(yīng)的物理現(xiàn)象[2-5]．1984年，Berry M[6]發(fā)表文章，論證了量子絕熱過程中存在著不可積的相位因子，打開了人們研究相位因子的大門．Aharonov Y和Anandan J[7]推廣了Berry相位，去掉了絕熱過程的限制，在巡回過程中，發(fā)現(xiàn)也存在不可積的相位因子，稱為A-A相位．關(guān)于相位因子的研究方興未艾，著名物理學(xué)家楊振寧[8]指出，20世紀(jì)物理學(xué)主旋律是規(guī)范、相位因子和楊-米爾斯場．另外，利用幾何相位的特性，開拓出了構(gòu)建量子計(jì)算機(jī)的新途徑——幾何量子計(jì)算[9-11]．

本文在A-B效應(yīng)的基礎(chǔ)上，利用相位差的規(guī)范不變性，提出一種定義A-B效應(yīng)中開路相位的思路，在此基礎(chǔ)上，可以很方便地計(jì)算量子效應(yīng)中的不可積相因子．

1 A-B效應(yīng)

1959年，Aharonov Y等[1]預(yù)言電磁矢勢有直接的觀測效應(yīng)，于1960年被Chambers R G[12]的實(shí)驗(yàn)證實(shí)，所以這種現(xiàn)象被命名為A-B效應(yīng)．

實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示，在普通的電子雙縫干涉實(shí)驗(yàn)裝置的雙縫隙和屏之間放置一個(gè)載有電流的半徑為R的長直螺線管．

圖1 A-B效應(yīng)實(shí)驗(yàn)裝置示意圖Fig 1 The Schematic Diagram of Experimental Set-up for A-B Effect

在柱坐標(biāo)（r,φ , z）表示下螺線管內(nèi)產(chǎn)生強(qiáng)度為B沿著z軸（垂直紙面向上）的磁場．磁場強(qiáng)度只有沿著z軸的分量不為0：

矢勢A亦只有沿著φ方向的分量：

因此，螺線管外部，磁場強(qiáng)度為零，但是磁勢并不為零．

在量子力學(xué)中，電荷量為q的粒子在電磁場中運(yùn)動(dòng)的定態(tài)薛定諤方程為：

假設(shè)A和V和時(shí)間無關(guān)，則其形式解可寫為：

所以，到達(dá)右邊顯示屏?xí)r的電子波函數(shù)應(yīng)該寫成經(jīng)過不同路徑的波函數(shù)的線性疊加：

右邊屏上某一點(diǎn)，其干涉條紋的明暗程度取決于在該點(diǎn)處兩個(gè)波函數(shù)相互疊加時(shí)的相位差δ，在忽略因路程差所引起的相位差后，上式中的Φ為路徑1和路徑2所包圍的平面上的總磁通量．由式（6）可以看出電子到達(dá)顯示屏?xí)r的相位差δ只與閉合路徑所圍的磁通量有關(guān)，可以通過調(diào)節(jié)通過通電螺線管的電流大小來控制顯示屏的明暗條紋的移動(dòng)．

2 A-B效應(yīng)的本質(zhì)

A-B效應(yīng)具有深遠(yuǎn)的物理意義．從經(jīng)典物理的觀點(diǎn)看，在A-B效應(yīng)中，電子沒有受到力的作用，但是顯示了力的效果，這個(gè)現(xiàn)象加深了人們對于量子力學(xué)和電磁場的認(rèn)知．

電磁場是一種規(guī)范場，在經(jīng)典物理學(xué)中，電磁場可以用電場強(qiáng)度E和磁場強(qiáng)度B描述，也可以用電磁勢來描述．而電磁勢具有規(guī)范不變性，用A和φ來描述電磁場，可以對矢勢A施加一個(gè)任意函數(shù)的梯度，結(jié)果不影響磁場B，也不影響電場E，也就是說電磁勢具有一種非物理的自由度．做變換：

又

在電動(dòng)力學(xué)中，不同的規(guī)范對應(yīng)著相同的電磁場，所以，當(dāng)對勢做規(guī)范變換時(shí)，由于規(guī)范對稱性的要求，所有的物理量和物理規(guī)律都應(yīng)保存不變．

無自旋荷電粒子在電磁場中運(yùn)動(dòng)的薛定諤方程為：

假設(shè)有一個(gè)只涉及A的空間坐標(biāo)的規(guī)范變換為：

要求薛定諤方程在該變換下保持不變性，則波函數(shù)需要做如下變換：

薛定諤方程形式不變：

所以，對矢勢的規(guī)范變換被吸收到了波函數(shù)的相角中了，而且根據(jù)波函數(shù)的幾率解釋，這一規(guī)范變換也不影響可觀察量：模的平方

因?yàn)槭竸菀?guī)范的任意性，所以，波函數(shù)的相位是一個(gè)不可直接觀測量，一般默認(rèn)利用規(guī)范變化把波函數(shù)的相位換為零．

于A-B效應(yīng)中，經(jīng)過路徑1和路徑2的波函數(shù)為：

因?yàn)橐?guī)范變換的任意性，無法單獨(dú)計(jì)算任何一路的波函數(shù)的相位，也是無意義的．有趣的是，二者的相位差δ是確定的，而且有宏觀觀測效應(yīng)：

這個(gè)相位差和路徑所包圍的磁通量正相關(guān)，而且，顯然，這個(gè)相位差是規(guī)范不變的．

A-B效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)使得人們認(rèn)識(shí)到，利用電磁強(qiáng)度E和磁場強(qiáng)度A描述電磁場，會(huì)丟失物理信息；而用電磁勢描述電磁場，又會(huì)引入一種非物理的不確定度．吳大峻和楊振寧[13]指出，相位因子）才是描述電磁場最恰當(dāng)?shù)奈锢砹?，稱之為規(guī)范場的不可積相位因子．

3 開路相位的厘定

我們知道波函數(shù)的相位因子有電磁規(guī)范貢獻(xiàn)，具有不確定性，無法也沒有必要確定其大小．但是在A-B效應(yīng)中，因?yàn)橄辔徊钍且?guī)范不變的，可以根據(jù)這一點(diǎn)來從數(shù)學(xué)上厘定開路相位的大小．假設(shè)只有一束電子經(jīng)路徑2到達(dá)顯示屏（見圖1），其相位為：

當(dāng)然，這個(gè)相位是不確定的，我們可以虛擬一束電子經(jīng)路徑1到達(dá)顯示屏，其相位為：

這兩束電子的相位都有物理上不確定的規(guī)范自由度，但是它們的差是規(guī)范不變的．可以取某一規(guī)范使得經(jīng)過路徑1的虛擬路的相位為零，即：

所以，

有了這樣一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，可以用閉合回路的相位差來標(biāo)定開路相位的大小．

進(jìn)一步研究任意開路的波函數(shù)的相位，如圖2所示，假設(shè)在通電螺線管前面有一接收屏X，有一束電子經(jīng)路徑X到達(dá)顯示屏，其相位為：

為了確定其相位，假設(shè)有一束電子經(jīng)過上面的縫經(jīng)圖1所示的路徑1到達(dá)顯示屏，設(shè)其相位為Yδ，則：

因?yàn)?，在這種情況下，路徑所包圍的閉合平面的磁通量Φ為零，所以，此時(shí)電子的相位無法確定．所以，電子的路徑?jīng)]有經(jīng)過通電螺線管的位置，則其相位有任意的規(guī)范自由度，無法確定；反之，當(dāng)電子的路徑越過通電螺線管時(shí)，其相位可以經(jīng)由和其組成閉合回路的電子波函數(shù)的相位之差確定．

圖2 任意開路的波函數(shù)的相位Fig 2 The Phase Position of Random Open-circuit Wave Function

4 結(jié) 語

A-B效應(yīng)中磁矢引入的相位差決定于閉合回路所圍面積的磁通量，是規(guī)范不變的物理量．本文在這一基礎(chǔ)上，定義了A-B效應(yīng)中任意開路的相位因子，消除了由于規(guī)范變換引入的非物理的自由度，揭示了A-B效應(yīng)的本質(zhì)，可以用來從另一個(gè)角度計(jì)算量子現(xiàn)象中的不可積相因子.