n級(jí)混合微分系統(tǒng)第二特征值的上界不等式

盧亦平，錢(qián)椿林

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104)

1 主要結(jié)果

設(shè)(a, b)?R是一個(gè)有界區(qū)間，考慮如下n級(jí)混合微分系統(tǒng)

設(shè)任意的ξ=[ξ1ξ2… ξn]T，滿(mǎn)足

式中μ1，μ2，v1，v2為正實(shí)數(shù)。

把問(wèn)題(1)寫(xiě)成矩陣形式，設(shè)

將問(wèn)題(1)化為如下等價(jià)的矩陣形式

微分方程的特征值估計(jì)已有結(jié)果[1-5]。相同階微分系統(tǒng)特征值估計(jì)也有結(jié)果[6]。在本文中，考慮n級(jí)混合微分系統(tǒng)的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題將文獻(xiàn)[7]的2級(jí)混合微分系統(tǒng)推廣到n級(jí)混合微分系統(tǒng)的情形。運(yùn)用文獻(xiàn)[8]中的方法，對(duì)于問(wèn)題(1)獲得了用第一特征值來(lái)估計(jì)第二特征值的上界的不等式，其估計(jì)系數(shù)與區(qū)間的度量無(wú)關(guān)。其結(jié)果在物理學(xué)和力學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，在常微分方程的研究中起著重要的作用[9]。

定理1 設(shè)λ1，λ2是問(wèn)題(1)的第一、第二特征值，且0＜λ1≤λ2，σ=1，2，…，h，則有

注1 取n=2，s1=s，s2=t，p12(x)=p21(x)=0，得到文獻(xiàn)[7]中的式(5)，所以文獻(xiàn)[7]是本文的特例。

2 定理1的證明

設(shè)λ1是問(wèn)題(4)的第一特征值，相應(yīng)于λ1的特征向量函數(shù)為u1，簡(jiǎn)記u=u1，且滿(mǎn)足

利用分部積分和式(6)，得

利用分部積分和式(7)，有

利用式(2)和式(8)，得

利用式(9)，有

利用式(3)和式(7)，得

利用式(11)，有

利用式(12)，得

設(shè) ? (x) = (x ?g)u ，其中

利用分部積分，直接計(jì)算得

利用式(15)知，φ與u廣義正交，且滿(mǎn)足φ(k)(a)=φ(k)(b)=0，k=0，1，…，sn-1。

利用Rayleigh定理，則有

計(jì)算得

利用分部積分和 ? (x) = (x ?g)u ，有

從而有

結(jié)合式(17)和式(18)，得

利用式(19)，有

利用式(16)和式(20)，則有

引理1 設(shè)y是問(wèn)題(4)所對(duì)應(yīng)第一特征值λ1的特征向量函數(shù)u的某一分量，σ=1，2，…，n，i=1，2，…，n，則

引理2 設(shè)λ1是問(wèn)題(4)的第一特征值，則

引理3 對(duì)于φ與λ1，有不等式成立

證明 利用分部積分和 ? (x) = (x ?g)u ，得

利用式(22)，有

利用式(23)，得

利用式(3)和式(11)，得

利用式(24)、式(25)、式(3)、式(11)、引理1(b)和Schwarz 不等式，得

整理上式，可得引理3.

定理1的證明 利用引理2、引理3和式(21)，得到定理1的式(5).

3 結(jié)論

本文利用試驗(yàn)函數(shù)、分部積分和不等式等估計(jì)方法與技巧，考慮n級(jí)混合微分系統(tǒng)第二特征值的上界估計(jì)，獲得了用第一特征值來(lái)估計(jì)第二特征值的上界的不等式，其估計(jì)系數(shù)與區(qū)間的度量無(wú)關(guān)。其結(jié)果在常微分方程的研究和應(yīng)用中起著重要的作用。