基于PCK視角的數(shù)學(xué)原理的教學(xué)設(shè)計(jì)
——以勾股定理為例

范芬瑞，韓龍淑

一、數(shù)學(xué)原理的教學(xué)有待進(jìn)一步加強(qiáng)

數(shù)學(xué)原理是數(shù)學(xué)概念具有某種性質(zhì)或者數(shù)學(xué)概念之間具有某種關(guān)系的判斷，數(shù)學(xué)公式、法則、性質(zhì)、公理、定理等統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)原理。數(shù)學(xué)原理是中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的核心，在數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要的地位。［1］

勾股定理是著名的數(shù)學(xué)定理，勾股定理在數(shù)學(xué)發(fā)展史上具有重大的意義，它的證明是論證數(shù)學(xué)的發(fā)端；勾股定理還導(dǎo)致了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，拓寬了人們對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)。

勾股定理的教學(xué)一般在八年級(jí),正是學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)推理論證能力的重要階段，也是具體形象思維向抽象思維過渡的時(shí)期。勾股定理的教學(xué)是難點(diǎn)，讓學(xué)生能夠在思路上比較“自然地”想到證明方法有一定的困難。［2］人教版、北師大版、蘇教版三個(gè)版本的數(shù)學(xué)教材對(duì)勾股定理內(nèi)容的呈現(xiàn)有所不同。在“一標(biāo)多本”的大背景下，教師如何整合各版本教材的特色并創(chuàng)造性地運(yùn)用教材尤為必要。以勾股定理作為數(shù)學(xué)原理的案例，從PCK的“3W+3H”視角對(duì)勾股定理的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。

二、基于PCK的數(shù)學(xué)原理的教學(xué)設(shè)計(jì)思路

（一）PCK的“3W+3H”框架

學(xué)科教學(xué)知識(shí)是《中學(xué)教師專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)》中專業(yè)知識(shí)維度的核心要素。學(xué)科教學(xué)知識(shí)（Pedagogical Content Knowledge）簡(jiǎn)稱PCK，由美國學(xué)者舒爾曼首先提出，他認(rèn)為PCK是教師的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)、學(xué)科內(nèi)容知識(shí)和教育學(xué)的整合。之后格羅斯曼對(duì)PCK進(jìn)行了闡釋，包括：教學(xué)目的、學(xué)生經(jīng)驗(yàn)和潛在困難、課程內(nèi)容與其他內(nèi)容的聯(lián)系、教學(xué)策略和表征知識(shí)。［3］

教學(xué)設(shè)計(jì)包括教學(xué)內(nèi)容分析、教學(xué)目標(biāo)分析、學(xué)情分析、教學(xué)方法與媒體、教學(xué)過程、教學(xué)評(píng)價(jià)等，是教師PCK水平的集中反映。鑒于目前教師對(duì)“為什么教學(xué)”新內(nèi)容缺乏足夠的認(rèn)識(shí)，致使新學(xué)習(xí)內(nèi)容產(chǎn)生的必要性和教學(xué)價(jià)值體現(xiàn)不夠，學(xué)生未能感悟到學(xué)習(xí)新知識(shí)的現(xiàn)實(shí)需要和數(shù)學(xué)需要，不易形成認(rèn)知和情感的內(nèi)在學(xué)習(xí)需求，本研究中把“為什么教學(xué)”單獨(dú)列為PCK的一個(gè)要素，將PCK的要素梳理為六個(gè)維度，分別是教學(xué)內(nèi)容的價(jià)值（Why）、教學(xué)內(nèi)容（What）、教學(xué)目標(biāo)（Where）、學(xué)生的現(xiàn)實(shí)（How）、教學(xué)策略（How）和教學(xué)評(píng)價(jià)（How），簡(jiǎn)稱“3W+3H”。

（二）基于PCK的“3W+3H”視角進(jìn)行勾股定理的內(nèi)容解析

教學(xué)內(nèi)容即教學(xué)什么（What），重在挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。勾股定理是對(duì)直角三角形性質(zhì)三邊之間數(shù)量關(guān)系的進(jìn)一步研究，可理解為勾股定理的代數(shù)意義：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。勾股定理的幾何意義是：以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積等于以兩直角邊為邊長(zhǎng)的正方形面積之和。通過勾股定理的學(xué)習(xí)培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)。

教學(xué)目標(biāo)（Where），即三維目標(biāo)的整合?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）對(duì)勾股定理的教學(xué)要求是探索，即要求學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)并能理性認(rèn)識(shí)勾股定理。經(jīng)歷勾股定理的論證過程，培養(yǎng)合情推理和演繹推理的能力，感悟數(shù)形結(jié)合和從特殊到一般的思想，感知數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。在探索活動(dòng)中，培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)的探索精神和理性精神，體驗(yàn)獲得結(jié)論的快樂。［4］(P34)

學(xué)生的現(xiàn)實(shí)（How），指學(xué)生已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、方法和思維基礎(chǔ)。學(xué)生學(xué)習(xí)勾股定理之前熟悉“認(rèn)識(shí)三角形”的內(nèi)容，比如“在三角形中兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊”。學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)，學(xué)生可以通過觀察，動(dòng)手操作和動(dòng)腦思考“在特殊的三角形——直角三角形中，三邊有什么特殊關(guān)系呢”來發(fā)現(xiàn)勾股定理。其難點(diǎn)是獲得理性認(rèn)識(shí)，激發(fā)學(xué)生的求知欲。

教學(xué)策略即如何教學(xué)（How），依據(jù)教學(xué)目標(biāo)中過程性目標(biāo)動(dòng)詞“探索”的含義為發(fā)現(xiàn)勾股定理并獲得理性認(rèn)識(shí)，因此勾股定理的教學(xué)采用啟發(fā)性講授和發(fā)現(xiàn)教學(xué)法等教學(xué)方法的綜合，運(yùn)用PPT和板書等輔助教學(xué)。教學(xué)策略包括讓學(xué)生經(jīng)歷猜想、直觀感知和推理論證過程。

教學(xué)評(píng)價(jià)即教學(xué)的如何（How），通過當(dāng)堂檢測(cè)、課后作業(yè)測(cè)驗(yàn)等評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)勾股定理的掌握情況和教師的教學(xué)是否達(dá)到教學(xué)目標(biāo)。

三、基于PCK視角的勾股定理的教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）創(chuàng)設(shè)疑難情境提出問題

從垂直于地面的電線桿上拉一條鋼繩到地面，若鋼繩在電線桿的固定點(diǎn)距離地面8m，在地面的固定點(diǎn)距離電線桿底部6m，那么鋼繩需要多長(zhǎng)？

通過實(shí)際問題創(chuàng)設(shè)疑難情境，啟迪學(xué)生并分析問題。已知直角三角形中的兩直角邊長(zhǎng)分別為8m和6m，求斜邊的長(zhǎng)。顯然是已知直角三角形兩直角邊求斜邊的問題。用現(xiàn)實(shí)問題激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值。這也正是PCK中教學(xué)內(nèi)容的價(jià)值（Why）維度中現(xiàn)實(shí)需要的體現(xiàn)。

（二）理性探究與直觀感知相結(jié)合

運(yùn)用啟發(fā)性提示語：從構(gòu)成三角形的基本條件“兩邊之和大于第三邊”入手，啟發(fā)學(xué)生思考直角三角形作為特殊三角形其三邊之間是否還有進(jìn)一步的關(guān)系。研究問題時(shí)我們常常從特殊到一般，直角三角形中哪個(gè)三角形較特殊呢？自然過渡到考慮腰為1的特殊直角三角形。

結(jié)果顯示，死亡凸顯組中，高自尊者在職業(yè)認(rèn)同及其職業(yè)行為、職業(yè)期望兩個(gè)維度上均顯著高于低自尊者，二者在職業(yè)承諾、職業(yè)價(jià)值觀、職業(yè)情感、職業(yè)認(rèn)知四個(gè)維度上無顯著差異，詳見表 9。

問題1：圖1已知RtΔABC,∠C=90°，兩直角邊長(zhǎng)為1，猜想三邊之間有什么關(guān)系？

圖1

引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已有知識(shí)，推出等腰直角三角形斜邊上的高是斜邊的一半，再利用三角形的面積相等即：，即斜邊的平方等于2。

課標(biāo)中勾股定理的教學(xué)目標(biāo)為探索，即不僅知道勾股定理，還要知道勾股定理是怎么來的，以及與一般三角形的區(qū)別和聯(lián)系并獲得理性認(rèn)識(shí)。要求學(xué)生通過推理對(duì)勾股定理進(jìn)行發(fā)現(xiàn)和猜想。學(xué)生已有的知識(shí)是任意三角形中兩邊之和大于第三邊。那么直角三角形的三邊有沒有其他特殊關(guān)系呢？選用簡(jiǎn)單又特殊的直角三角形——直角邊為1的等腰直角三角形對(duì)勾股定理進(jìn)行探究。通過計(jì)算得到該三角形斜邊的平方為2，已知兩直角邊都為1，從而引導(dǎo)學(xué)生1+1=2可能是直角邊平方和與斜邊平方的關(guān)系。從易到難，讓學(xué)生體會(huì)可以從特殊問題入手來預(yù)測(cè)一般問題。這一設(shè)計(jì)依據(jù)PCK理論中教學(xué)目標(biāo)（Where）和數(shù)學(xué)自身發(fā)展需要（Why）的兩個(gè)維度，再結(jié)合學(xué)生的現(xiàn)實(shí)（How）設(shè)計(jì)問題。

問題2：對(duì)于一般的直角三角形是否也具有這種特殊關(guān)系呢？圖2中直角三角形三邊的平方分別為多少？是否符合上述猜想？請(qǐng)數(shù)方格驗(yàn)證。

圖2

選用直角邊為2的等腰直角三角形和直角邊分別為3和4的一般直角三角形，通過數(shù)方格直觀感知的方法對(duì)上述猜想簡(jiǎn)單驗(yàn)證。同時(shí)也將“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法貫穿于其中。這兩個(gè)問題的設(shè)計(jì)是基于PCK中的教學(xué)策略（How）維度。

通過理性探究和直觀感知活動(dòng)，學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果用a，b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a2+b2=c2。

（三）分解拼補(bǔ)圖形論證勾股定理

對(duì)于某些特殊的直角三角形可以通過數(shù)方格的方法進(jìn)行驗(yàn)證，而面積不能補(bǔ)成整格的用數(shù)方格方法已經(jīng)不夠了，對(duì)于任意直角三角形如圖3，又該如何說明其兩直角邊的平方和等于斜邊的平方呢？由數(shù)方格方法受阻的啟發(fā)使分解拼補(bǔ)圖形的思路自然而然、水到渠成。

圖3

引導(dǎo)學(xué)生受數(shù)方格的啟發(fā)使用勾股弦圖對(duì)勾股定理進(jìn)行證明。通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)：弦圖中大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形面積加上小正方形的面積之和，從而推出勾股定理。這種證明方法在數(shù)方格方法的基礎(chǔ)上更加符合課標(biāo)要求，對(duì)思維層次的要求也更高。設(shè)計(jì)中滲透著數(shù)學(xué)“構(gòu)造思想”和“數(shù)形結(jié)合”思想，是PCK中教學(xué)策略（How）的體現(xiàn)。

（四）回到問題情境，解決實(shí)際問題

數(shù)學(xué)新知識(shí)的產(chǎn)生源于情境，最終還要回到情境。學(xué)生根據(jù)勾股定理求鋼索的長(zhǎng)度的過程既是對(duì)新學(xué)內(nèi)容的鞏固，也是對(duì)學(xué)生勾股定理掌握程度的檢測(cè)。這一過程正是體現(xiàn)了PCK中的應(yīng)用價(jià)值。

（五）鞏固強(qiáng)化把握數(shù)學(xué)原理的本質(zhì)

問題3：在RtΔABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C,的對(duì)邊分別為 a，b，c 已知a=6,b=8.求 c；已知b=15,c=25.求a；已知a=3,c=9.求b。

問題4：如圖4，圖中的三角形全部是直角三角形，四邊形全部是正方形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)是7cm,請(qǐng)計(jì)算A，B，C，D四個(gè)正方形的面積之和是多少？

圖4

設(shè)計(jì)問題3強(qiáng)化對(duì)勾股定理的理解，問題4考查勾股定理的幾何意義。在學(xué)生探究并證明勾股定理之后，及時(shí)鞏固強(qiáng)化對(duì)勾股定理本質(zhì)屬性的理解。這是教學(xué)評(píng)價(jià)即教學(xué)的如何（How）的設(shè)計(jì)。

（六）形成系統(tǒng)化的知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)

學(xué)習(xí)過程是學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識(shí)與新學(xué)習(xí)內(nèi)容相互作用，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程，因此數(shù)學(xué)教學(xué)要使學(xué)生形成組織良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)?；仡櫛竟?jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容并進(jìn)行系統(tǒng)歸納，重在引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)體系（如圖5所示）。有利于完善學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

依據(jù)PCK的“3W+3H”框架對(duì)勾股定理進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，旨在說明數(shù)學(xué)原理的教學(xué)設(shè)計(jì)僅僅憑經(jīng)驗(yàn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，需要一定的理論基礎(chǔ)并有意識(shí)地運(yùn)用其指導(dǎo)教學(xué)設(shè)計(jì)。教師運(yùn)用PCK理論指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)注意：對(duì)PCK的“3W+3H”核心要素的分析要全面與透徹，增加對(duì)數(shù)學(xué)新知識(shí)產(chǎn)生的必要性的分析與設(shè)計(jì)、突出數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)、注重構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)等，從而激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，使學(xué)生擁有數(shù)學(xué)的眼光，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

圖5 勾股定理知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)體系圖